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1、 单自变量非线性函数单自变量非线性函数按照指数函数形式展开的富氏级数为按照指数函数形式展开的富氏级数为#(7-40)式中式中#(7-41)单自变量非线性函数单自变量非线性函数按照三角函数形式展开的富氏级数为按照三角函数形式展开的富氏级数为#(7-42)式中式中#(7-43)二自变量非线性函数二自变量非线性函数按照指数函数形式展开的富氏级数为按照指数函数形式展开的富氏级数为(7-40)式中式中 (7-41)二自变量非线性函数二自变量非线性函数按照三角函数形式展开的富氏级数为按照三角函数形式展开的富氏级数为 (7-42)式中式中 (7-43)图图 7.1 7.1 机组轴系支撑系统简图（数字为轴瓦编
2、号）机组轴系支撑系统简图（数字为轴瓦编号）（a a）1 1瓦轴振幅值谱瓦轴振幅值谱图图7.9 7.9 中速暖机阶段典型轴振动的幅值谱（约中速暖机阶段典型轴振动的幅值谱（约11001100r/min,r/min,约约1919HzHz）(b)2b)2瓦轴振幅值谱瓦轴振幅值谱 (c)8c)8瓦轴振幅值谱瓦轴振幅值谱（a）有裂纹时振动波形有裂纹时振动波形 （b）有裂纹高精度有裂纹高精度FFT谱谱 主振动与亚谐振动主振动与亚谐振动第六章第六章 平均法平均法6.1 平均法的由来平均法的由来6.2 含非线性弹性力和阻尼力的自治系统含非线性弹性力和阻尼力的自治系统 6.2.1 6.2.1 常数变易法常数变易法
3、 6.2.2 6.2.2 非线性函数直接展开法非线性函数直接展开法6.3 含非线性惯性力的自治系统含非线性惯性力的自治系统（）6.4 含非线性弹性力和阻尼力的非自治系统含非线性弹性力和阻尼力的非自治系统 6.4.1 6.4.1 非共振情况非共振情况 6.4.2 6.4.2 共振情况共振情况6.5 含非线性惯性力的非自治系统含非线性惯性力的非自治系统（）6.1 平均法的由来平均法的由来 平平均均法法是是由由常常数数变变易易法法演演变变而而来来的的非非线线性性方方程程的的一一种种独独特特的的近近似似解解法法。为为此此，这这里里首首先先介介绍绍常常数数变变易易法法。根根据据常常微微分分方方程程的的基
4、基本本知知识识，若若已已知知齐齐次次线线性性方方程程的的基基本本解解，根根据据常常数数变变易易法法可可以以求求出出非非齐次线性方程的解。微分方程组右边可以分成两个部分，即齐次线性方程的解。微分方程组右边可以分成两个部分，即 (6-1)略去略去 和和 ，得简化方程式，得简化方程式(称为派生方程称为派生方程)(6-2)假设方程假设方程(6-2)的通解为已知，即的通解为已知，即(6-3)上式中的上式中的 和和 为积分常数，这一简化方程式的解称为派生解为积分常数，这一简化方程式的解称为派生解 常常数数变变易易法法就就是是将将派派生生解解中中所所含含积积分分常常数数 、看看作作是是新新的的因因变变量，再
5、作为原始方程的解，这时，量，再作为原始方程的解，这时，(6-1)式可写为式可写为 (6-4)因为因为 、是方程是方程(6-2)的解，所以的解，所以 (6-5)因而可以写成因而可以写成(6-6)由由于于 、是是该该方方程程的的通通解解，它它必必须须满满足足任任意意给给定定的的初初始始条条件件，所以有所以有 (6-7)因此，从方程因此，从方程(6-6)可解得两个变易的常数满足：可解得两个变易的常数满足：(6-8)如如果果方方程程(6-2)是是可可解解的的，即即(6-3)式式可可以以得得出出，那那么么根根据据(6-8)问问题题也也就就解解决决了了。(6-3)式式可可以以看看作作是是将将因因变变量量(
6、x,y)变变换换成成(,)的转换式。的转换式。例如：若有以下非线性方程例如：若有以下非线性方程 (6-9)其中其中为小参数，把它改写成一阶联立方程为小参数，把它改写成一阶联立方程 (6-10)令令=0,得派生方程：得派生方程：(6-11)其通解为其通解为 (6-12)式中式中,是积分常数。是积分常数。取取这这个个解解作作为为派派生生解解，并并把把,看看作作新新的的变变量量，应应用用常常数数变变易易法，相应于式法，相应于式(6-8),可解出可解出:(6-13)这这种种方方法法是是从从派派生生解解出出发发，应应用用常常数数变变易易来来描描述述非非线线性性项项的的影影响响，称称为为平平均均法法。目目
7、前前有有多多种种平平均均法法，如如常常数数变变易易法法、非非线线性性函函数数直接展开法等。直接展开法等。6.2 含非线性弹性力和阻尼力的自治系统含非线性弹性力和阻尼力的自治系统6.2.1 常数变易法常数变易法 在在平平均均法法中中，把把派派生生解解的的振振幅幅与与相相位位作作为为变变易易的的常常数数,也也就就是是说说对对派派生生解解的的正正弦弦波波加加以以振振幅幅调调制制与与频频率率调调制制来来近近似似表表示示非非线线性性振振动系统的振动。动系统的振动。方方程程(6-13)可可看看作作是是原原方方程程通通过过式式(6-8)进进行行变变量量变变换换后后，得得到到的的关关于于 变变量量的的微微分分
8、方方程程。如如果果我我们们能能精精确确求求出出方方程程(6-13)的的解解，那那么么问问题题就就解解决决了了，但但事事实实上上，往往往往无无法法求求出出方方程程的的精精确确解解。如如果果等等于于零零，那那么么在在稳稳态态振振动动的的情情况况下下，都都是是常常数数；如如果果不不为为零零，但但很很小小，那那末末，将将随随时时间间t 缓缓慢慢变变化化，但但是是仍仍可可以以看看作作平平滑滑变变化化的的量量与与小小的的振振动动变变化化量量迭迭加加而而成成的的。用用平平均均值值，即即平平滑滑变变化化的的量量来来表示表示 ，而略去微小的波动。，而略去微小的波动。当当振振幅幅 用用平平均均值值 表表示示,相相
9、位位角角 用用平平均均值值 表表示示,这这时时式式(6-12)可写为可写为 (6-14)对式对式(6-13)取平均值取平均值 (6-15)当非线性函数已知时，可按上式计算出当非线性函数已知时，可按上式计算出 和和 的平均值。的平均值。假假如如我我们们要要进进一一步步求求出出包包含含高高次次谐谐波波项项在在内内的的改改进进的的一一次次近近似似解解，也也可可以以从从式式(6-13)出出发发，将将（613）中中的的 的的右右端端项项，展为富氏级数：展为富氏级数：(6-16)原先我们所取的平均值相当于上式中仅保留原先我们所取的平均值相当于上式中仅保留 的项，即的项，即 (6-17)式式(6-15)与式
10、与式(6-17)是等价的，如作更进一步的近似，则有是等价的，如作更进一步的近似，则有 (6-18)对式对式(6-16)积分，即可求得积分，即可求得 (6-19)6.2.2 非线性函数直接展开法非线性函数直接展开法 我们还可以先将非线性函数按富氏级数展开，即我们还可以先将非线性函数按富氏级数展开，即 (6-20)其中的富氏系数其中的富氏系数 和和 可由下式求得：可由下式求得：(6-21)由由式式(6-20)可可看看出出,和和 已已在在式式(6-17)中中考考虑虑,式式(6-17)可可写写为为 (6-22)而而将将余余下下的的非非线线性性作作用用力力中中的的常常数数项项 及及高高次次谐谐波波项项代
11、代入入方方程程(6-9),得得 (6-23)该方程的解为该方程的解为 (6-24)因此，方程因此，方程(6-9)的一次近似解为的一次近似解为 (6-25)例例6.2.1 已知如下非线性方程：已知如下非线性方程：解解:令派生解令派生解根据根据(6-13)可得可得按照式（按照式（6-17），有），有积分后得积分后得式式中中之之 为为积积分分常常数数，设设初初始始条条件件为为当当t=0时时，有有x=A,则一次近似为则一次近似为 进而来求改进的一次近似解，由式进而来求改进的一次近似解，由式(6-16)得得 相当于式相当于式(6-19)有有 按照按照(6-25)，经简化得，经简化得 为满足初骀条件为满足
12、初骀条件,x(0)=A，应有应有 即即 。最后有。最后有 6.4 含非线性弹性力和阻尼力的非自治系统含非线性弹性力和阻尼力的非自治系统对于拟线性方程对于拟线性方程 (6-39)与自治系统相似，设方程的近似解为与自治系统相似，设方程的近似解为 (6-40)式中的式中的、由以下方程决定。由以下方程决定。(6-41)为了用平均法求方程的解，将上式右端按傅立叶级数展开为了用平均法求方程的解，将上式右端按傅立叶级数展开 (6-42)下面分别讨论非共振情况与共振情况。下面分别讨论非共振情况与共振情况。6.4.1 非共振情况非共振情况 与自治系统的情况相似，与自治系统的情况相似，和和可分成缓慢的平均变化的分
13、量可分成缓慢的平均变化的分量 、，以以及及短短促促的的振振动动变变化化分分量量，而而该该平平均均分分量量 、可可近近似似看看成成是是由由式式(6-17)关关于于t的的二二个个周周期期 取取平平均均值值时时得得到到的的以以下下方程确定：方程确定：(6-43)如果已从这个方程解得如果已从这个方程解得 、，则改进的一次近似解为，则改进的一次近似解为 (6-44)将非线性函数直接展为富氏级数，也可导出平均法的基本公式。将非线性函数直接展为富氏级数，也可导出平均法的基本公式。设设 为下述富氏级数展开式为下述富氏级数展开式 (6-45)的系数，则的系数，则 (6-46)利用上式稍作计算，可得略去利用上式稍
14、作计算，可得略去 项的改进的一次近似解：项的改进的一次近似解：(6-47)式中的式中的 、可由式可由式(6-43)的解给出。的解给出。6.4.2 共振情况共振情况 设设 r、s 是互质的整数，对于近共振情况，应满足以下条件是互质的整数，对于近共振情况，应满足以下条件 (6-48)在这种情况下，在在这种情况下，在 和和 中至少有一项使中至少有一项使mr+ns=0,同时有同时有 (6-49)方程方程(6-41)成为成为 (6-50)根据直接展开法，将上式等号后的函数直接展为富氏级数，有根据直接展开法，将上式等号后的函数直接展为富氏级数，有 (6-51)求上式的平均值，平均法只包含求上式的平均值，平
15、均法只包含 项，得到项，得到 (6-52)平平均均法法与与以以前前讲讲过过的的几几种种方方法法的的差差异异是是这这种种方方法法不不能能采采用用简简单单积积法法来来求求解解。若若 和和 已已经经求求出出，则则一一次次近近似似解解完完成成。再再考考虑虑高高阶振动量，可以得如下较精确的解：阶振动量，可以得如下较精确的解：(6-53)于是有于是有 (6-54)下下面面采采用用将将非非线线性性函函数数直直接接展展为为富富氏氏级级数数的的方方法法，直直接接给给出出平平均法的基本公式。均法的基本公式。用用 代替代替 和和 ，并略去高阶小量，得，并略去高阶小量，得 (6-55)这里的结果可以用来讨论主共振，超
16、、次谐波共振等情况。这里的结果可以用来讨论主共振，超、次谐波共振等情况。例例6.4.1 用平均法求以下小阻尼杜芬方程的解。用平均法求以下小阻尼杜芬方程的解。解解:假设假设 其它其它 。同时同时 。除了。除了(0，0)，(2,0),(4,0),(1,1)等以外，当等以外，当=1 时也会时也会 发生共振。发生共振。非共振情况非共振情况：，此时，此时 在这种情况下，当在这种情况下，当 ，方程有以下的稳态解，方程有以下的稳态解可以证明这个解是稳定的。可以证明这个解是稳定的。共振情况共振情况：。可令。可令,这时有这时有 对于定常情况，对于定常情况，,可求出可求出 由上式可求出三个不同大小的振幅由上式可求出三个不同大小的振幅 (即以上方程有的三个解即以上方程有的三个解)。