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1、第第4 4章章 解非线性方程的迭代法解非线性方程的迭代法 本章讨论求非线性方程 (x)=0 (4.1)的根的问题.其中(x)是高次多项式函数或超越函数.如 (x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 (x)=e2x+1-xln(sinx)-2等等.1 二二 分分 法法 设(x)在区间a,b上连续且(a)(b)0,根据连续函数的介值定理,区间a,b上必有方程(x)=0的根,称a,b为方程(x)=0的有根区间.,得到新的有根区间a1,b1,设(x)在区间a,b上连续且(a)(b)0.0abyxy=(x)记a0=a,b0=b,计算若|(x0)|,则取x0;否则,若(a0)(x0)0,取a1=x0,b1
2、=b0 而且有根区间a1,b1长度是有根区间a0,b0长度的一半,x0再对有根区间a1,b1重复上面运算,即:计算若|(x1)|,则取x1;否则,若(a1)(x1)0,取a2=x1,b2=b1,得到新的有根区间a2,b2.x1 而且有根区间a2,b2长度是有根区间a1,b1长度的一半.一直进行下去,直到求出有根区间ak,bk.或者有|(xk)|,或者有此时,再计算可见,k趋向无穷大时,xk收敛于.而且,若要|xk-|,只要此时可取近似根xk.在计算过程中,若出现|(xk)|1,或bk-ak2.则可取xk作为方程(x)=0的近似根,终止运算.例例1 用二分法求x3+4x-7=0在区间1,2内根的
3、近似值,并估计误差.解解 这里(x)=x3+4x-7，(1)(2)=-180,所以(x)=0在1,2区间有唯一根.取x0=1.5,由于(x0)=2.375,得新有根区间1,1.5,x1=1.25,由于(x1)=-0.0468,得新有根区间1.25,1.5,x2=1.375,由于(x2)=1.0996,得新有根区间1.25,1.375,x3=1.3125,由于(x3)=0.511,得新有根区间1.25,1.3125,.x9=1.254882813,得有根区间1.254882813,1.255859375,x10=1.255371094,(x10)=-0.000105285取x10=1.25537
4、1094作为方程根的近似值,且有 只需k5ln210-115.61.即需取x16.如果取精度=10-5,则要使 二分法要求函数在区间a，b上连续，且在区间两端点函数值符号相反，二分法运算简便、可靠、易于在计算机上实现。但是，若方程(x)=0在区间a，b上根多于1个时，也只能求出其中的一个根。另外，若方程(x)=0在区间a，b有重根时，也未必满足(a)(b)0.而且由于二分法收敛的速度不是很快,一般不单独使用,而多用于为其他方法提供一个比较好的初始近似值.2.1 简单迭代法的一般形式简单迭代法的一般形式2 简简 单单 迭迭 代代 法法 首先把方程(x)=0改写成等价(同解)形式 x=(x)(4.
5、2)得到迭代序列xk,如果xk,则有=(),即是方程(x)=0的根.取一个合适的初始值x0,然后作迭代 xk+1=(xk),k=0,1,2,(4.3)这种求方程根的方法称为简单迭代法简单迭代法,或逐逐次逼近法次逼近法.其中(x)称为迭代函数迭代函数,式(4.3)称为迭代格式迭代格式.若迭代序列xk 收敛,则称简单迭代法是收敛的简单迭代法是收敛的.解解 改写原方程为等价方程 求方程x3-2x-3=0在1,2内的根.例例2 ,建立迭代格式如果取初值x0=1.9,计算得kxkkxk0123451.91.894536471.893521141.893332331.893297221.893290696
6、789101.893289471.893289251.893289211.893289201.89328920 由计算结果有，x10=x9，因此可取x10=1.89328920.方程也可改写成x=(x3-3)/2,建立迭代格式 xk+1=(xk3-3)/2 ,k=0,1,2,仍取初值x0=1.9,则有 x1=1.9295,x2=2.0917,x3=3.0760,x4=13.0529可见,xk,此迭代格式是发散的.2.2 简单迭代法的收敛条件及收敛阶简单迭代法的收敛条件及收敛阶 首先，(x)应使初值 x0 产生的序列xka,b,即(x)的值域落在定义域内.另外,从几何上看:x xo oy yy=
7、xy=xy=(x)x x0 0 x x1 1x x2 2 x xo oy yy=xy=xy=(x)x x0 0 x x1 1x x2 2x xo oy yy=xy=xy=(x)x x0 0 x x1 1x x2 2x xo oy yy=xy=xy=(x)x x0 0 x x1 1x x2 2 x x4 4x x3 3 1.a(x)b,xa,b;2.|(x)|L0,要使|xk-|,只要 证证 记(x)=(x)-x,则(a)=(a)-a0,(b)=(b)-b0,由(x)的连续性,必存在I,使()=()-=0,即=(),又(x)=(x)-10,所以(x)=0的根唯一.|xk+1-xk|=|(xk)-
8、(xk-1)|=|()(xk-xk-1)|L|xk-xk-1|xk+1-|=|(xk)-()|=|()(xk-)|L|xk-|xk+1-xk|=|(xk+1-)-(xk-)|xk-|-|xk+1-|(1-L)|xk-|求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-3.解解 可以验证方程xex-1=0在区间0.5,0.6内仅有一个根.例例3 改写方程为x=e-x,建立迭代格式 由于(x)=e-x,在0.5,0.6上有|(x)|e-0.50.61.所以迭代法收敛.取初值x0=0.5,计算得kxk|xk-xk-1|kxk|xk-xk-1|0123450.50.606530.545240.57
9、9700.560060.571170.106530.061290.034460.019640.011116789100.564860.568440.566410.567560.566910.006310.003580.002030.001150.00065 所以,取近似根x10=0.56691满足精度要求.如果精度要求为=10-5,则由可知,需要迭代20次.实际上,方程在区间0.55,0.6上有唯一根，而在区间0.55,0.6上有|(x)|e-0.550.581。若取L=0.58，则有 注意：这里迭代次数20是充分的但不是必要的。可知,需要迭代19次.推论推论 若=(),(x)在附近具有一阶连
10、续导数,且|()|0，当x0I=-，+时，迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,都收敛于方程x=(x)在区间I上的唯一根。实际上，由连续性可知,存在L0，0，使对任何xI=-，+都有|(x)|L1.而且，对任何xI=-，+，都有|(x)-|=|(x)-()|=|()(x-)|L|x-|1则称序列xk是p p阶收敛的阶收敛的,称p是收敛阶收敛阶,C是渐近误差常渐近误差常数数.p=1称为线性收敛线性收敛;p1称超线性收敛超线性收敛;p=2称平方收敛平方收敛.设(x)充分光滑,由于|ek+1|=|xk+1-|=|(xk)-()|=|(k)|ek|所以,当()0时,有于是此时,迭代法是m阶收敛的
11、.所以,当()0时,简单迭代法只具有线性收敛.设()=()=(m-1)()=0,但(m)()0,由于|ek+1|=|xk+1-|=|(xk)-()|所以 下面介绍AitkenAitken加速算法加速算法，此方法可对线性收敛的简单迭代法起到加速作用，而且可应用于其它数值方法中。假设(1)(2)，则有 由于 xk+1-=(1)(xk-)xk+2-=(2)(xk+1-)即 (xk+1-)2(xk-)(xk+2-)xk+12-2xk+1+2xkxk+2-(xk+xk+2)+2 解得 要比序列x k更快地收敛于,可构造如下的Aitken加速算法:则,序列注意,如果第k步发生zk-2yk+xk=0,就终止
12、计算,取xk.如果记 例例4 分别用简单迭代法和Aitken加速算法求方程x=1.6+0.99cosx在x0=/2附近的根.(=1.585471802)取x0=/2,计算结果如下k简单迭代法kAitken算法xk|xk-xk-1|xk|xk-xk-1|012341.570801.61.571091.599711.571380.02920.028910.028620.028330121.57079631.585472581.585471800.014676280.00000078 NewtonNewton迭代法迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛,而且Newt
13、on迭代法还可用来求方程的重根、复根及非线性方程组.3 Newton 迭代法迭代法 3.1 Newton迭代公式迭代公式 设(x)在有根区间a,b上二阶连续可微,x0是根的某个近似值,因为取(x)(x0)+(x0)(x-x0),方程(x)=0近似为 (x0)+(x0)(x-x0)=0若(x0)0,其解为得到根的新的近似值x1,一般地,在xk附近线性化方程为 (xk)+(xk)(x-xk)=0设(xk)0,其解为迭代格式(4.4)称为 NewtonNewton迭代法迭代法.xyox0y=(x)x1x2直线 y=(x0)+(x0)(x-x0)就是 y-(x0)=(x0)(x-x0)Newton迭代
14、法也叫切线法切线法.Newton迭代法相当于取迭代函数3.2 Newton迭代法的收敛性迭代法的收敛性的简单迭代法.因为 如果是(x)=0的单根,即()=0,但()0,则有()=0,从而可知Newton迭代法在根附近是收敛的.因为所以于是有可见,Newton迭代法至少是平方收敛的.若记M2=max|(x)|,m1=min|(x)|.则有|xk+1-|C|xk-|2因此 C|xk+1-|(C|xk-|)2 (C|xk-1-|)4 可见,当C|x0-|1,即|x0-|1/2max|(x)|时,简化Newton迭代法对x0I收敛.通常取M=(x0).简化Newton迭代法一般只具有线性收敛.2.2.
15、割线法割线法 因为oxyy=(x)x0 x1x2x3 为了简化计算(xk),采用迭代格式称为割线割线法法.若(x)在根附近二次连续可微,且()0,可以证明割线法是收敛的,且有割线法收敛的阶为 3.3.计算重根的计算重根的NewtonNewton迭代法迭代法 称是方程(x)=0的m重根,是指(x)=(x-)m h(x),其中h(x)在x=处连续且h()0,若h(x)在处充分可微,则 ()=()=(m-1)()=0,(m)()0由于可见,恰是方程 的单根.应用Newton迭代法可得:称之为带参数带参数m m的的NewtonNewton迭代法迭代法,它是求方程(x)=0m重根的具有平方收敛的迭代法.
16、再看函数:可见,恰是方程u(x)=0的单根,应用Newton迭代法有这是求方程(x)=0重根的具有平方收敛的迭代法,而且不需知道根的重数.例例7 7 利用Newton迭代法求方程 (x)=x4-8.6x3-35.51x2+464.4x-998.46=0的正实根.o ox xy2 24 46 68 81010y=f(x)解 y=(x)的图形为可见,方程在x=4附近有一个重根,在x=7附近有一单根.利用Newton迭代法求方程的单根,取初值x0=7,精度=10-6,计算可得:x4=7.34846923,x5=7.348469229,|x5-x4|=0.000000001可见,迭代5次就得到满足精度
17、的解x5=7.348469229利用求重根的Newton迭代法(4.5)求重根,取x0=4,可得 x3=4.300000,x4=4.300000,|x4-x3|=0.000000006然而若用一般的Newton迭代法(4.5)求重根,取x0=4,虽然也收敛,却需要迭代19次才能得到满足精度要求的解.可见,迭代4次就得到满足精度的解x4=4.300000.利用带参数2的Newton迭代法,取x0=4可得x2=4.2999898.练习题练习题第第102页页 习题习题44-1,4-3,4-4,4-5,4-7,4-8,练习题练习题第第102页页 习题习题44-10，4-12,4-13,课间休息课间休息