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1、多面体题根多面体题根 解正方体解正方体一、正方体高考十年一、正方体高考十年二、正四面体与正方体二、正四面体与正方体三、正方体成为十年大难题三、正方体成为十年大难题四、解正方体四、解正方体五、解正四面体五、解正四面体1一、正方体高考十年一、正方体高考十年 十年来，立体几何的考题一般呈十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大一小一大”的形式的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一分数约占全卷总分的八分之一至七分之一.立几题的难度一般在立几题的难度一般在0.550.55左右，属中档考题，是广大考左右，属中档考题，是广大考生生“上线竞争上线竞争”时势在必夺的时势在必夺的“成败线成败线”或或“生死线生
2、死线”.十年的立几高考，考的都是多面体十年的立几高考，考的都是多面体.其中：其中：（1 1）直接考正方体的题目占了三分之一；）直接考正方体的题目占了三分之一；（2 2）间接考正方体的题目也占了三分之一）间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题正方体出题.正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话2解解 析析外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝不能是它的不能是它的(C)(C)约
3、约6 6倍或倍或(D)(D)约约9 9倍，否定倍，否定(C)(C)，(D)(D)；也不可能与其近似；也不可能与其近似相等，否定相等，否定(A)(A)，正确答案只能是，正确答案只能是(B).(B).（1995年）年）正方体的全面积为正方体的全面积为a2，则其外接球的表面积为，则其外接球的表面积为考题考题 1 （正方体与其外接球）（正方体与其外接球）3考题考题 2 （正方体中的线面关系）（正方体中的线面关系）小问题很多，但都不难小问题很多，但都不难.熟悉正方体各棱、各侧面间位置关熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答系的考生，都能迅速作答.如解答（如解答（1），只要知道棱），只要知道
4、棱AD与与后侧面垂直就够了后侧面垂直就够了.说说 明明（1997年）如图，在正方体年）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是BB1、CD的中点的中点（1）证明）证明ADD1F；（2）求）求AE与与D1F所成的角；所成的角；（3）证明面）证明面AED 面面A1FD1；（4）设）设AA1=2,求三棱锥求三棱锥F-A1ED1的体积的体积 .4考题考题 3 （正方体的侧面展开图）（正方体的侧面展开图）考查空间想象能力考查空间想象能力.如果能从展开图（右上）想如果能从展开图（右上）想到立体图（右），则能立即判定命题到立体图（右），则能立即判定命题、为假，为假，而命题而命题、为
5、真，答案是为真，答案是C.解解 析析（2001年）右图是正方体的平面展开图在这个正方年）右图是正方体的平面展开图在这个正方体中，体中，BM与与ED平行；平行；CN与与BE是异面直线；是异面直线；CN与与BM成成60角；角；DM与与BN垂直垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是以上四个命题中，正确命题的序号是（A）（B）（C）（D）5（2002年）年）在下列四个正方体中，能得出在下列四个正方体中，能得出ABCD的是的是考题考题4 （正方体中主要线段的关系）（正方体中主要线段的关系）射影法：作射影法：作AB在在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为其正确答
6、案为A.平移法：可迅速排除平移法：可迅速排除(B)，(C)，(D)，故选（，故选（A）.解解 析析6（2003年）年）棱长为棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为以这些线段为棱的八面体的体积为 考题考题 5 （正方体与正八面体）（正方体与正八面体）解解 析析将正八面体一分为二，得将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的锥的底面积为正方形面积的 ，再乘，再乘 得得 .答案选答案选C.7 考题考题 6 （正方体中的三角形）（正方体中的三角形）解解 析析在正方体上任选在正方体上任选3个顶点连成三角
7、形可得个顶点连成三角形可得 个三角形，要得直个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过即正方体的一边与过此点的一条面对角线此点的一条面对角线)，共有，共有24个，得个，得 ，所以选，所以选C.8在三棱锥在三棱锥OABC中，三条棱中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是是AB边的中点，则边的中点，则OM与平面与平面ABC所成角的正弦所成角的正弦值是值是 考题考题 7 2006年四川卷第年四川卷第13题题正方体的一正方体的一“角角”如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，E
8、、P分别是分别是BC、A1D1的中点，的中点，M、N分别是分别是AE、CD1的中点，的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求证：）求证：MN面面ADD1A1；（2）求二面角）求二面角PAED的大小；的大小；（3）求三棱锥）求三棱锥PDEN的体积的体积.考题考题8 2006年四川卷第年四川卷第19题题两正方体的两正方体的“并并”P9如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，P是侧棱是侧棱CC1上的一点，上的一点，CP=m.()试确定试确定m,使得直线使得直线AP与平面与平面BDD1B1所成角的正切值为所成角的正切值为3 ；()在线段在线段A1C1上是否存
9、在一个定点上是否存在一个定点Q，使得对任意的，使得对任意的m，D1Q在平面在平面APD1上上的射影垂直于的射影垂直于AP.并证明你的结论并证明你的结论.分析：分析：熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第()()问，可心算问，可心算出结果为出结果为m=1/3=1/3；对第；对第()()问，可猜出这个问，可猜出这个Q点在点在O1点点.可是由于对可是由于对正方体熟悉不多，因此第正方体熟悉不多，因此第()()小题成了大题，第小题成了大题，第()()小题成了大小题成了大难题难题.考题考题9 （2006年湖北卷第年湖北卷第18题）题）10 考题考题 10（2006年安徽卷
10、第年安徽卷第16题）题）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面，在平面，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻相邻的三个顶点到的距离分别为的三个顶点到的距离分别为1，2和和4，P是正是正方体的其余四个顶点中的一个，则方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面到平面的距离可能是：的距离可能是：3；4；5；6；7以上结论正确的为以上结论正确的为_.（写出所有正确结论的编号）（写出所有正确结论的编号）11二、正四面体与正方体二、正四面体与正方体从从“正方体高考十年正方体高
11、考十年”和和“全国热炒正方体全国热炒正方体”中，我们中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位看到正方体在立体几何中的特殊地位.在实践中，正方在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来作是由正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体的我们认定了正方体是多面体的“根基根基”.我们在思考我们在思考：（1）正方体如何演变出正四面体？）正方体如何演变出正四面体？（2）正方体如何演变出正八面体？）正方体如何演变出正八面体？（3）正方体如何演变出正三棱锥？）正方体如何演变出正三棱锥？（4）正方体如何演变出斜三棱锥？）正方体
12、如何演变出斜三棱锥？正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话12考考 题题 1 （正四面体化作正方体解）（正四面体化作正方体解）说说 明明本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题而是有相当计算量的大题.此时的解法也就沦为拙解此时的解法也就沦为拙解.13拙解拙解 硬碰正四面体硬碰正四面体14联想联想 、的关系的关系正四面体的棱长为正四面体的棱长为 ，这个正四面体岂不是由棱长为，这个正四面体岂不是由棱长为1的正方体的的正方体的6条条“面对角线面对角线”围成？围成？则
13、三棱锥则三棱锥BA1C1D是棱长为是棱长为 的正四面体的正四面体.于是正于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决四面体问题可化归为对应的正方体解决.为此，在棱长为为此，在棱长为1的正方体的正方体BD1中，中，（1）过同一顶点）过同一顶点B作作3条面对角线条面对角线BA1、BC1、BD；（2）将顶点）将顶点A1，C1，D依次首尾连结依次首尾连结.A1C1DBACA1B1D1C1DB15妙解妙解 从正方体中变出正四面体从正方体中变出正四面体以以 长为面对角线，可得边长为长为面对角线，可得边长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为，这个正方体的体对角线长为 ，则其外
14、接，则其外接球的半径为球的半径为 ，则其外接球的表面积为，则其外接球的表面积为S=4R2=4()23以以 为棱长的正四方体为棱长的正四方体B-A1C1D与以与以1为棱长的正方体为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3.答案为答案为A.16寻根寻根 正方体割出三棱锥正方体割出三棱锥在正方体中割出一个内接正四面体后，还在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下余下”4个正三棱锥个正三棱锥.每个正三棱锥的体积均为每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的，故内接正四面体的体积为体积为1/3.这这5个四面体都与正方体个四面体都与正方体“内接内
15、接”而而“共球共球”.事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有 -12=58个个.至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.17按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在0.4到到0.7之间之间.所以，十年来立几考题所以，十年来立几考题哪怕是解答题也哪怕是解答题也没有出现在压轴题中没有出现在压轴题中.从题序上看，立几大题在从题序上看，立几大题在6个大题的中间部分，立几小个大题的中间部分，立几小题也安排在小题的中间部分题也安排在小题的中间部分.然而，不知是因为是考生疏
16、忽，还是命题人粗心，竟然然而，不知是因为是考生疏忽，还是命题人粗心，竟然在立几考题中弄出了大难题，其难度超过了压轴题的难在立几考题中弄出了大难题，其难度超过了压轴题的难度，从而成为近十年高考难题的高难之最！度，从而成为近十年高考难题的高难之最！三、正方体成为十年大难题三、正方体成为十年大难题正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话18命题命题 将正方体一分为二将正方体一分为二20032003年全国卷第年全国卷第1818题，天津卷第题，天津卷第1818题，河南卷第题，河南卷第1919题等，是当年题等，是当年数学卷的大难题数学卷的大难题.其难度，超过了其难度
17、，超过了当年的压轴题当年的压轴题.在命题人看来，其载体是将正方在命题人看来，其载体是将正方体沿着对角面一分为二，得到了体沿着对角面一分为二，得到了一个再简单不过的直三棱柱一个再简单不过的直三棱柱.图中的点图中的点E E正是正方体的中心正是正方体的中心.19考题考题如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面中，底面是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACB=90.侧棱侧棱AA1，D、E分别是分别是CC1与与A1B的中点，点的中点，点E在平面在平面ABD上的射影是上的射影是ABD的重心的重心G.()求求A1B与平面与平面ABD所成角的大小所成角的大小(结果结果用反三角函数值表示用反
18、三角函数值表示)；()求点求点A1到平面到平面AED的距离的距离.20解解 析析（转下页）（转下页）考场反馈：按出题人给出的图形（右上），答题时无法作辅助线考场反馈：按出题人给出的图形（右上），答题时无法作辅助线.21（转下页）（转下页）解解 析（续上）析（续上）考场反馈：按出题人给出的这种解析，无法在原图上显示考场反馈：按出题人给出的这种解析，无法在原图上显示.22解解 析（续上）析（续上）（解毕）（解毕）阅卷人说：在见到的答卷中，几乎没有看到这种阅卷人说：在见到的答卷中，几乎没有看到这种“标准答案标准答案”.23难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中难点突破：斜二测改图法，把问题转到正
19、方体中.本题难在哪里？从正方体内切出的直三棱柱的本题难在哪里？从正方体内切出的直三棱柱的画法不标准！画法不标准！24难题（难题（0318）的题图探究）的题图探究正方体立体图常见的画法有两种：正方体立体图常见的画法有两种：（1）斜二测法（图右）斜二测法（图右）此法的缺点：此法的缺点：A1、B、C 三点三点“共线共线”导致导致“三线三线”重合重合（2）正等测法（图右）正等测法（图右）此法的缺点：此法的缺点：A、C、C1、A1“共线共线”导致导致“五线五线”重合重合难题的图近乎第二种画法（图右）：难题的图近乎第二种画法（图右）：将正方体的对角面置于正前面将正方体的对角面置于正前面.25四、解正方体四
20、、解正方体正方体既然这么重要，我们就不能把这个正方体既然这么重要，我们就不能把这个“简简单的正方体单的正方体”看得太简单看得太简单.像数学中其他板块的基础内容一样，越简单的像数学中其他板块的基础内容一样，越简单的东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延的东东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延的东西就越多西就越多.我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我们就得趁着正方体很们就得趁着正方体很“简单简单”的时候，把它的的时候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄个清楚明白！个清楚明白！正四面体与正方体例话正四面体与
21、正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话26正方体，（正方体，（）个面，）个面，线面距转（线面距转（）面距，）面距，（）个顶点（）个顶点（）棱。）棱。寻找（寻找（）要根据。）要根据。顶点连线（顶点连线（）条，）条，异面直线求距离，异面直线求距离，一顶（一顶（）线来相交。）线来相交。确定（确定（）是难题。）是难题。三顶确定三角形，三顶确定三角形，正方体，是个宝，正方体，是个宝，要求三顶不共（要求三顶不共（）。）。各种关系藏得巧。各种关系藏得巧。四顶确定四面体，四顶确定四面体，正四面体（正四面体（）条棱，）条棱，要求四顶不共（要求四顶不共（）。）。选自选自6面（面（）线；）线；三种线段结
22、数缘，三种线段结数缘，正八面体（正八面体（）个顶，）个顶，根根1、根、根2和（和（）。）。6面（面（）对得准。）对得准。68 12 28 7 线线 面面点点射影射影垂足垂足6对角对角6中心中心根根3关于正方体关于正方体 你已经知道了多少？你已经知道了多少？关于正方体关于正方体 还有许多许多！还有许多许多！例如，例如，8个顶点中，个顶点中，4顶共面的有（顶共面的有（）个，）个，4顶异面的（顶异面的（）个。）个。正是正是4顶异面的个数，决定了正方体中三棱锥的个数。顶异面的个数，决定了正方体中三棱锥的个数。27五、解正四面体五、解正四面体统计十年的高考立几题，除直接考统计十年的高考立几题，除直接考“
23、解正方体解正方体”的题目比的题目比重最大以外，接下来的就是重最大以外，接下来的就是“解正四面体解正四面体”的题目了的题目了.其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体的上是正方体的“演生体演生体”，通俗地说：正四面体是正方体，通俗地说：正四面体是正方体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了.在十年的高考在十年的高考“正四面体正四面体”中，凡是就中，凡是就“儿子解儿子儿子解儿子”的的解法，都是拙法；凡是由解法，都是拙法；凡是由“老子解儿子老子解儿子”的办法都是妙法！的
24、办法都是妙法！正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话28正四面体棱长设作正四面体棱长设作1，则对应的正方体棱长为，则对应的正方体棱长为底面正三角形高为（底面正三角形高为（）；）；底面正三角形的外半径为（底面正三角形的外半径为（）；）；正三角形的内半径为（正三角形的内半径为（）；）；正四面体的斜高为（正四面体的斜高为（）；）；斜高在底面上的射影为（斜高在底面上的射影为（）；）；斜面与底面成角余弦值（斜面与底面成角余弦值（）；）；正四面体高为（正四面体高为（）；）；外接球半径为（外接球半径为（）；）；内切球半径为（内切球半径为（）.一句话小结一句话小结 正
25、四面体与正方体的对应量只相差一个系数：正四面体与正方体的对应量只相差一个系数：（或（或 ）29（2006年湘卷理年湘卷理9）棱长为）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正正四面体的截面四面体的截面)的面积是的面积是 A.B.C.D.PDA1P.C1B22A1PC1妙解妙解 （找老子解儿子）（找老子解儿子）答案为答案为C30拙解拙解 （就儿子解儿子）（就儿子解儿子）如图所示：即如图所示：即求求三角形三角形PCD的面积的面积.因为因为CD=2，四面体，四面体A-BCD是
26、正三棱锥，是正三棱锥，则则PD=PC，三角形，三角形PCD是等腰三角形是等腰三角形.过过P作作CD的中线交的中线交CD于于Q，则球心在，则球心在PQ上上.连连BQ，AQ，则，则AQ=BQ,因为因为O在在PQ上，上，则则PQ是线段是线段AB的中垂线的中垂线.即即Q是是AB的中点的中点.31（1 1）由正方体变出正四面体；）由正方体变出正四面体；（2 2）由正方体变出正八面体；）由正方体变出正八面体；（3 3）由正方体变出正棱柱、直棱柱；）由正方体变出正棱柱、直棱柱；（4 4）由正方体变出正三棱锥、直三棱锥；）由正方体变出正三棱锥、直三棱锥；（5 5）由正方体变出斜三棱锥：）由正方体变出斜三棱锥：DA1B1C1小结小结 正方体是多面的正方体是多面的“题根题根”ACA1B1D1C1DB正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话32 题生根题生根 根生题根生题 题根、根题不分离题根、根题不分离 有根无题一光杆有根无题一光杆 有题无根一潭泥有题无根一潭泥尾尾 声声正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话正四面体与正方体例话33