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1、关于正四面体与正方体的相关问题归纳1第1页，此课件共32页哦2一、正方体高考十年一、正方体高考十年 十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一.立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死线”.十年的立几高考，考的都是多面体.其中：（1）直接考正方体的题目占了三分之一；（2）间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.第2页，此课件共32页哦3解 析外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝不能是它的外接球的表面积，比起内接正方体的全
2、面积来，自然要大一些，但绝不能是它的(C)(C)约约6 6倍或倍或(D)(D)约约9 9倍，否定倍，否定(C)(C)，(D)(D)；也不可能与其近似相等，否定；也不可能与其近似相等，否定(A)(A)，正确答案只，正确答案只能是能是(B).(B).（1995年）年）正方体的全面积为正方体的全面积为a2，则其外接球的表面积为，则其外接球的表面积为考题 1 （正方体与其外接球）第3页，此课件共32页哦4考题 2 （正方体中的线面关系）小问题很多，但都不难小问题很多，但都不难.熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答生，都能迅速作答.如解答（如解答（1）
3、，只要知道棱），只要知道棱AD与后侧面垂直与后侧面垂直就够了就够了.说 明11EDAFV（1997年）如图，在正方体年）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是BB1、CD的中点的中点（1）证明）证明ADD1F；（2）求）求AE与与D1F所成的角；所成的角；（3）证明面）证明面AED 面面A1FD1；（4）设）设AA1=2,求三棱锥求三棱锥F-A1ED1的体积的体积 .第4页，此课件共32页哦5考题 3 （正方体的侧面展开图）考查空间想象能力考查空间想象能力.如果能从展开图（右上）想到立体如果能从展开图（右上）想到立体图（右），则能立即判定命题、为假，而命题、图（右）
4、，则能立即判定命题、为假，而命题、为真，答案是为真，答案是C.解 析（2001年）右图是正方体的平面展开图在这个正方体中年）右图是正方体的平面展开图在这个正方体中，BM与与ED平行；平行；CN与与BE是异面直线；是异面直线；CN与与BM成成60角；角；DM与与BN垂直垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是以上四个命题中，正确命题的序号是（A）（B）（C）（D）第5页，此课件共32页哦6（2002年）年）在下列四个正方体中，能得出在下列四个正方体中，能得出ABCD的是的是考题4 （正方体中主要线段的关系）射影法：作射影法：作AB在在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确所在平面上的射影，由三
5、垂线定理知其正确答案为答案为A.平移法：可迅速排除平移法：可迅速排除(B)，(C)，(D)，故选（，故选（A）.解 析第6页，此课件共32页哦7（2003年）年）棱长为棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为以这些线段为棱的八面体的体积为 考题 5 （正方体与正八面体）解 析将正八面体一分为二，得将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的锥的底面积为正方形面积的 ，再乘，再乘 得得 .答案选答案选C.213161第7页，此课件共32页哦8 考题 6 （正方体中的三角形）解 析在正方体上任选在正方
6、体上任选3个顶点连成三角形可得个顶点连成三角形可得 个三角形，要得直个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过即正方体的一边与过此点的一条面对角线此点的一条面对角线)，共有，共有24个，得个，得 ，所以选，所以选C.38C2438C第8页，此课件共32页哦9在三棱锥OABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正弦值是 考题 7 2006年四川卷第13题正方体的一“角”如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、C
7、D1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求证：MN面ADD1A1；（2）求二面角PAED的大小；（3）求三棱锥PDEN的体积.考题8 2006年四川卷第19题两正方体的“并”P第9页，此课件共32页哦10如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m.()试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3 ；()在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论.2分析：熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第()问，可心算出结果为m=1/3；对第()问，可猜出这个Q点在O1点.可是由于对
8、正方体熟悉不多，因此第()小题成了大题，第()小题成了大难题.考题9 （2006年湖北卷第18题）第10页，此课件共32页哦11 考题考题 10（2006年安徽卷第年安徽卷第16题）题）NoImage多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3；4；5；6；7以上结论正确的为_.（写出所有正确结论的编号）第11页，此课件共32页哦12二、正四面体与正方体二、正四面体与正方体从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体
9、在立体几何中的特殊地位.在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体的“根基”.我们在思考：（1）正方体如何演变出正四面体？（2）正方体如何演变出正八面体？（3）正方体如何演变出正三棱锥？（4）正方体如何演变出斜三棱锥？第12页，此课件共32页哦13考 题 1 （正四面体化作正方体解）说 明本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题.此时的解法也就沦为拙解.第13页，此课件共32页哦14拙解 硬碰正四面体第14页，此课件共32页哦15联想 、的关系正四面体的棱长为 ，这个正四面体岂不是由棱长为1
10、的正方体的6条“面对角线”围成？2则三棱锥BA1C1D是棱长为 的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决.2为此，在棱长为1的正方体BD1中，（1）过同一顶点B作3条面对角线BA1、BC1、BD；（2）将顶点A1，C1，D依次首尾连结.A1C1DBACA1B1D1C1DB第15页，此课件共32页哦16妙解 从正方体中变出正四面体以 长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为 ，则其外接球的半径为 ，则其外接球的表面积为S=4R2=4()23以 为棱长的正四方体B-A1C1D与以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3.
11、答案为A.2323232第16页，此课件共32页哦17寻根 正方体割出三棱锥在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥.每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3.这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有 -12=58个.至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.48C第17页，此课件共32页哦18按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在0.4到0.7之间.所以，十年来立几考题哪怕是解答题也没有出现在压轴题中.从题序上看，立几大题在6个大题的中间部分，立几小题也安排在小题的中间部分.然而，不知是因为是考生疏忽，还是命
12、题人粗心，竟然在立几考题中弄出了大难题，其难度超过了压轴题的难度，从而成为近十年高考难题的高难之最！三、正方体成为十年大难题三、正方体成为十年大难题第18页，此课件共32页哦19命题 将正方体一分为二2003年全国卷第18题，天津卷第18题，河南卷第19题等，是当年数学卷的大难题.其难度，超过了当年的压轴题.在命题人看来，其载体是将正方体沿着对角面一分为二，得到了一个再简单不过的直三棱柱.图中的点E正是正方体的中心.第19页，此课件共32页哦20考题如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90.侧棱AA1，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是
13、ABD的重心G.()求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；()求点A1到平面AED的距离.第20页，此课件共32页哦21解 析（转下页）考场反馈：按出题人给出的图形（右上），答题时无法作辅助线.第21页，此课件共32页哦22（转下页）解 析（续上）考场反馈：按出题人给出的这种解析，无法在原图上显示.第22页，此课件共32页哦23解 析（续上）（解毕）阅卷人说：在见到的答卷中，几乎没有看到这种“标准答案”.第23页，此课件共32页哦24难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中.本题难在哪里？从正方体内切出的直三棱柱的画法不标准！第24页，此课件共32页哦25难题（0318
14、）的题图探究正方体立体图常见的画法有两种：（1）斜二测法（图右）此法的缺点：A1、B、C 三点“共线”导致“三线”重合（2）正等测法（图右）此法的缺点：A、C、C1、A1“共线”导致“五线”重合难题的图近乎第二种画法（图右）：将正方体的对角面置于正前面.第25页，此课件共32页哦26四、解正方体四、解正方体正方体既然这么重要，我们就不能把这个“简单的正方体”看得太简单.像数学中其他板块的基础内容一样，越简单的东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延的东西就越多.我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我们就得趁着正方体很“简单”的时候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄个清楚明白！第26
15、页，此课件共32页哦27正方体，（）个面，线面距转（）面距，（）个顶点（）棱。寻找（）要根据。顶点连线（）条，异面直线求距离，一顶（）线来相交。确定（）是难题。三顶确定三角形，正方体，是个宝，要求三顶不共（）。各种关系藏得巧。四顶确定四面体，正四面体（）条棱，要求四顶不共（）。选自6面（）线；三种线段结数缘，正八面体（）个顶，根1、根2和（）。6面（）对得准。68 12 28 7 线 面点射影垂足6对角6中心根3关于正方体 你已经知道了多少？关于正方体 还有许多许多！例如，8个顶点中，4顶共面的有（）个，4顶异面的（）个。正是4顶异面的个数，决定了正方体中三棱锥的个数。第27页，此课件共32页
16、哦28五、解正四面体五、解正四面体统计十年的高考立几题，除直接考“解正方体”的题目比重最大以外，接下来的就是“解正四面体”的题目了.其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体的“演生体”，通俗地说：正四面体是正方体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了.在十年的高考“正四面体”中，凡是就“儿子解儿子”的解法，都是拙法；凡是由“老子解儿子”的办法都是妙法！第28页，此课件共32页哦29正四面体棱长设作1，则对应的正方体棱长为底面正三角形高为（）；底面正三角形的外半径为（）；正三角形的内半径为（）；正四面体的斜高为（）；斜高在底面上的射影为（）；斜面与底面成角余弦值（
17、）；正四面体高为（）；外接球半径为（）；内切球半径为（）.22一句话小结 正四面体与正方体的对应量只相差一个系数：（或 ）2224612623336323633136第29页，此课件共32页哦30（2006年湘卷理9）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 A.B.C.D.222323.PDA1P.C1B22A1PC1妙解 （找老子解儿子）2答案为C第30页，此课件共32页哦31拙解 （就儿子解儿子）如图所示：即求三角形PCD的面积.因为CD=2，四面体A-BCD是正三棱锥，则PD=PC，三角形PCD是等腰三角形.过P作CD的中线交CD于Q，则球心在PQ上.连BQ，AQ，则AQ=BQ,因为O在PQ上，则PQ是线段AB的中垂线.即Q是AB的中点.第31页，此课件共32页哦32（1 1）由正方体变出正四面体；）由正方体变出正四面体；（2 2）由正方体变出正八面体；）由正方体变出正八面体；（3 3）由正方体变出正棱柱、直棱柱；）由正方体变出正棱柱、直棱柱；（4 4）由正方体变出正三棱锥、直三棱锥；）由正方体变出正三棱锥、直三棱锥；（5 5）由正方体变出斜三棱锥：）由正方体变出斜三棱锥：DA1B1C1小结小结 正方体是多面的正方体是多面的“题根题根”ACA1B1D1C1DB第32页，此课件共32页哦