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1、上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计习题概率论与数理统计习题湘潭大学编教材湘潭大学编教材1湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页第一章第一章 随机事件及概率随机事件及概率2湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P P2323习题习题1.3 试证试证证明：证明：由概率的加法公式得任意的两个事件由概率的加法公式得任意的两个事件A,B有有故有故有3湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P P2323习题习题1.7 在区间在区间(0,1)中随机地抽取两个数，求事中随机地抽取两个数，求事件件“两数之和小于两数之和小于6/5”6/5”的概率。的概率。解：用解：用x,
2、y分别表示从分别表示从(0,1)中取出的中取出的2个数，个数，则样本空间则样本空间为正方形：为正方形：如图所示，如图所示，K为区域：为区域：K所以由几何概率得所以由几何概率得:x+y=6/54湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解：解：设设A=第一次取得红球第一次取得红球，B=第二次取得红球第二次取得红球 P23习题习题1.9 袋中有袋中有1010个球，其中个球，其中8 8个红球，个红球，2 2个白球，个白球，现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下列事件的概率：列事件的概率：(1)(1)两次都取红球；两次都取红球；(2)(2)两次
3、中一次取得红球，另一次取得白球；两次中一次取得红球，另一次取得白球；(3)(3)至少一次取得白球；至少一次取得白球；(4)(4)第二次取得白球。第二次取得白球。5湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解解 (1)P(AB)=P(A)P(B|A)6湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解：解：设设A=甲译出密码甲译出密码,B=乙译出密码乙译出密码,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4则则A,B,C相互独立，且相互独立，且C=丙译出密码丙译出密码.则此密码被译出的概率为则此密码被译出的概率为P23习题习题1.10 甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，甲、乙、丙
4、三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是他们译出的概率分别是1/5，1/3，1/4，试求此密码被试求此密码被译出的概率。译出的概率。7湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P23习题习题1.11 玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱2020只，假设各箱只，假设各箱含含0 0，1 1，2 2只残次品的概率相应为只残次品的概率相应为0.80.8，0.10.1和和0.10.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看意取一箱，而顾客随机地查看4 4只，若无残次品，则只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯购买下该
5、箱玻璃杯,否则退回，求：否则退回，求：(1)(1)顾客买下该箱的概率；顾客买下该箱的概率；(2)(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。8湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解解 (1)(1)设设Ai 一箱玻璃杯中含有一箱玻璃杯中含有i个残次品个残次品,i=0,1,2;B=从一箱玻璃杯中任取从一箱玻璃杯中任取4只无残次品只无残次品,由题设可知由题设可知P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1.根据全概率公式得根据全概率公式得9湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P23习题习题1.12 设设8 8支枪
6、中有支枪中有3 3支未经试射校正，支未经试射校正，5 5支支已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶概率为概率为0.80.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为为0.30.3，现假定从，现假定从8 8支枪中任取一支进行射击，结支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。10湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解解 设设A 经过校正的枪经过校正的枪,C=射击中靶射击中靶,由题设可知由题设可知P(A)=5/8,P(B)=3/8,P(C|A)=0.8,P(
7、C|B)=0.3.根据全概率公式得根据全概率公式得B 未未经校正的枪经校正的枪,11湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P23习题习题1.13 对飞机进行对飞机进行3 3次独立射击次独立射击,第第1 1次射击的命次射击的命中率为中率为0.4、第、第2次为次为0.5、第、第3次为次为0.7.飞机被击中飞机被击中1 1次次而坠落的概率为而坠落的概率为0.2,被击中被击中2 2次而坠落的概率为次而坠落的概率为0.6,若若被击中被击中3 3次飞机必坠落次飞机必坠落,求射击求射击3 3次使飞机坠落的概率次使飞机坠落的概率.设设B=飞机坠落飞机坠落，Ai=飞机被击中飞机被击中i次次,i=1,
8、2,3由全概率公式由全概率公式 则则 B=A1B+A2B+A3B,解解:依题意，依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)12湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页可求得可求得:为求为求P(Ai),将数据代入计算得将数据代入计算得:设设 Hi=飞机被第飞机被第i次射击击中次射击击中,i=1,2,3 P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.13湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页于是于是=0.458=0.360.2+0.41
9、0.6+0.14 1即飞机坠落的概率为即飞机坠落的概率为0.458.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)14湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P24习题习题1.14 某人每次射击的命中率为某人每次射击的命中率为0.6，独立射，独立射击击5次，求：次，求：（1）击中击中3 3次的概率；次的概率；（2 2）至少有）至少有1 1次未击中的概率次未击中的概率.解解:（1)1)(2)(2)考虑至少有考虑至少有1 1次未击中的对立事件，次未击中的对立事件，即每次都击中，其概率为：即每次都击中，其概率为：故至少有故至少有1 1次未击中的概率为
10、次未击中的概率为15湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P24习题习题1.15 某车间有某车间有1212台车床，由于工艺上的原因，台车床，由于工艺上的原因，时常发生故障，设每台车床在任一时刻出故障的概率时常发生故障，设每台车床在任一时刻出故障的概率为为0.30.3，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任一指定时刻有一指定时刻有3 3台以上车床发生故障的概率台以上车床发生故障的概率.解：解：设设A=任一指定时刻有任一指定时刻有3 3台以上车床发生故障台以上车床发生故障,又因为又因为则则A=在任一指定时刻有少于在任一指定时刻有少于3 3台车床发
11、生故障台车床发生故障 16湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页有有0 0台车床发生故障的概率为台车床发生故障的概率为有有1 1台车床发生故障的概率为台车床发生故障的概率为有有2 2台车床发生故障的概率为台车床发生故障的概率为故故17湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P24习题习题1.16 若若1 1人负责维修同类型的设备人负责维修同类型的设备2020台，台，设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生故障的概率都是故障的概率都是0.010.01，维修用不了多长时间，求，维修用不了多长时间，求设备发生故障而不能得到及时处理的概
12、率，若设备发生故障而不能得到及时处理的概率，若3 3人人共同负责维修共同负责维修8080台呢？台呢？18湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解解:(1)设设A=设备发生故障而不能得到及时处理设备发生故障而不能得到及时处理,则则A=在任一时刻至多有在任一时刻至多有1 1台设备发生故障台设备发生故障 故故19湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解解:(2)设设A=设备发生故障而不能得到及时处理设备发生故障而不能得到及时处理,则则A=在任一时刻至多有在任一时刻至多有3 3台设备发生故障台设备发生故障 故故20湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页第二章第二章
13、随机变量及其分布随机变量及其分布21湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P43习题习题2.3 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概率为率为1/21/2。以。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求路口数，求X的概率分布与的概率分布与E1/(1+X)。22湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解解:X的取值为的取值为0,1,2,
14、3PX=0=1/2X的概率分布为的概率分布为X 0 1 2 3P 1/2 1/4 1/8 1/8(2)E1/(X+1)=11/2+1/21/4+1/31/8+1/41/8=67/96PX=1=1/21/2=1/4PX=2=1/21/21/2=1/8PX=3=1/21/21/2=1/823湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P44习题习题2.8 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为求求:(:(1)A;(2)P0.3X0.7;(3)X的概率密度的概率密度f(x)解解:(:(1)F(x)在在x=1点连续点连续,由右连续性得由右连续性得:即即:所以所以,A=1(2)
15、P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4PX=1=F(1)F(10)=1A=024湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页0，x02x，0 x3,则则P(A)=PX3=2/3设设Y表示三次独立观测中表示三次独立观测中A出现的次数出现的次数,则则YB(3,2/3)26湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页所求为所求为PY=2+PY=3=20/27设设Y表示三次独立观测中表示三次独立观测中A出现的次数出现的次数,则则YB(3,2/3)PY2=27湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页内任一子区间上取值的条件概率与该子区间内任一子
16、区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比的长度成正比.P44习题习题2.17 设随机变量设随机变量X的绝对值不大于的绝对值不大于1 1；在事件在事件-1-1X11出现的条件下，出现的条件下，X在在(-1,1)试求试求:(2)(2)X取负值的概率取负值的概率P (1)(1)X的分布函数的分布函数F(x)解解 (1)(2)(2)28湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页F(x)的三性质都不满足的三性质都不满足单调减单调减右不连续右不连续未定义未定义29湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页分布函数分布函数F(x)三性质三性质F(x)的单调不减的单调不减右连续右连续30湘潭
17、大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解解由题设知由题设知设设于是于是(1)当当当当当当上式中令上式中令 得得还可另还可另法求法求 k推导较复杂先做准备工作推导较复杂先做准备工作.31湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页又又于是当于是当 时，时，32湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页(2)(2)33湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页由题设由题设 得得 附附 k 的另一求法的另一求法34湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P45习题习题2.18 设设XB(2,0.3),求下列随机变量的分布律求下列随机变量的分布律 1、Y1=X2
18、 2、Y2=X2-2X 3、Y3=3X-X2解：解：X的概率分布为的概率分布为PX=k=0.3k0.72-k k=0,1,2 列表如下：列表如下：X012X2014X2-2X0-103X-X2022概率概率0.490.420.0935湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页Y1 0 1 4P0.49 0.42 0.09Y2 -1 0P0.42 0.58Y3 0 2P0.49 0.51则有则有Y1，Y2，Y3的的分布律分别为分布律分别为36湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P45习题习题2.19 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为求求随机变量随机变量
19、Y=X2的概率密度函数。的概率密度函数。解：解：先求先求Y的分布函数的分布函数FY(y)=PY y=PX2 y当当y0时时,46湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P73习题习题3.10 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 求随机变量求随机变量X的密度函数；的密度函数；求概率求概率PX+Y1.解解:(2):(2)y=xx+y=11/247湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P73习题习题3.13 设设(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为求求Z=X2+Y2的的概率密度。概率密度。48湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解
20、解49湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P P7373习题习题3.3.16 设设(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为求求：(1)P(X0的指数分布，当三个元件都无故障时，的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间求电路正常工作的时间T的概率分布。的概率分布。解解：三个元件都无故障工作时间分别为三个元件都无故障工作时间分别为X,Y,Z,则则 T=min(X,Y,Z),且且X,Y,Z的概率密度都为的概率密度都为60湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页则则 故故T服从参
21、数为服从参数为30的指数分布的指数分布,即概率密度为即概率密度为61湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征62湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解：解：P89习题习题4.1 甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束。假定甲队在每场比赛中获胜的概率为赛结束。假定甲队在每场比赛中获胜的概率为0.6，乙队为乙队为0.4，求比赛场数的数学期望。求比赛场数的数学期望。(场场)63湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页求求解解P90习题习题4.6 已知已知X的密度函数为的密度函数
22、为则则64湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P91习题习题4.12 设设X与与Y相互独立，且相互独立，且解解：求求 65湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页P91习题习题4.14 设在国际市场上每年对我国某种出口设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量商品的需求量是随机变量X(吨吨)，它在，它在 2000,4000 上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇国家挣得外汇3 3万元，但假如销售不出而囤积在仓万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费库，则每吨需浪费保养费1 1万元。问需
23、要组织多少万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。货源，才能使国家收益最大。66湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页下面求下面求EZ，并求使，并求使EZ达到最大的达到最大的y值，值，解：解：设设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于介于2000与与4000之间，用之间，用Z表示国家的收益（万元）表示国家的收益（万元）67湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页即组织即组织35003500吨此种商品是最佳的决策。吨此种商品是最佳的决策。68湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页69湘潭大学数学与计算科学学院上一
24、页上一页下一页下一页p+q=170湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页例例(08)设随机变量设随机变量且且考查：相关系数的性质：考查：相关系数的性质：存在存在a,b,使使以及正态分布数字特征的性质以及正态分布数字特征的性质.则则71湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页解解 选选D.从而从而EY=aEX+b,得得b=1.而而例例(08)设随机变量设随机变量且且则则存在存在a,b,使使由正态分布有由正态分布有 EX=0,DX=1,EY=1,DY=4,72湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页填空题填空题(08)设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为1的泊松分布的泊松分布,则则PX=EX2_.考查：考查：泊松分布的数字特征及其概率分布泊松分布的数字特征及其概率分布.参数为参数为1的泊松分布的的泊松分布的EX=DX=1,从而从而EX2=DX+(EX)2=2,PX=EX2=PX=2=1/2e.73湘潭大学数学与计算科学学院