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1、 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这能够与另一个图形重合，那么这两个图形两个图形关关于这条直线于这条直线成轴对称成轴对称，这条直线叫做对称轴，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。两个图形中的对应点叫做对称点。如果把一个图形沿着一条直线折叠，如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么直线两旁的部分能够互相重合，那么这个这个图形图形叫做叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线叫做对称，这条直线叫做对称轴。轴。（一）轴对称和轴对称图形（一）轴对称和轴对称图形1 1、概念、概念正方形正方形矩形矩形等边等边
2、三角形三角形菱形菱形圆圆等腰等腰梯形梯形对称轴条数3 3条条4 4条条2 2条条1 1条条无数条无数条2 2条条(2)常见图形对称轴的位置长和宽的中垂线长和宽的中垂线两条邻边的中垂线和两条邻边的中垂线和对角线所在的直线对角线所在的直线三条边的中垂线三条边的中垂线对角线对角线直径所在的直线直径所在的直线一条底的中垂线一条底的中垂线所在的直线所在的直线等腰等腰 三角形三角形画出对称轴1 1条条底边的中垂线底边的中垂线是不是轴对称图形是是是是是是是是是是是是是是轴对称图形轴对称图形两个图形成轴两个图形成轴对称对称图形图形区别区别联系联系一个图形一个图形两个两个全等全等图形图形都能沿着某条直线折叠重合
3、。这条直线都都能沿着某条直线折叠重合。这条直线都是对称轴。是对称轴。如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，把成轴对称的两个图形看成一个整反过来，把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是轴对称图形体，那么它就是轴对称图形。轴对称的性质轴对称的性质:1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 2、轴对称图形的对称轴是任、轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的
4、垂直何一对对应点所连线段的垂直平分线平分线l垂直平分垂直平分AAl垂直平分垂直平分BBl垂直平分垂直平分CC1、由一个平面图形可以得到它关于一条直线、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；一样；2、新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关、新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线于直线l的对称点；的对称点；3、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。轴对称变换的特征轴对称变换的特征:在平面直角坐标系中，关于在平面直角坐标系中，关于x轴对称轴对称的点的
5、点横坐标横坐标相等相等,纵坐标互为纵坐标互为相反数相反数.关关于于y轴对称的点轴对称的点横坐标互为横坐标互为相反数相反数,纵坐纵坐标标相等相等.点（点（x,y）关于关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_.点（点（x,y）关于关于y轴对称的点轴对称的点的坐标为的坐标为_.(x,y)(x,y)线段垂直平分线线段垂直平分线上的点上的点 与这条线段两个端与这条线段两个端点的距离相等。点的距离相等。反之，与线段两个端点的距离相等的点反之，与线段两个端点的距离相等的点在这条在这条线段垂直平分线线段垂直平分线上。上。所以，线段垂直平分线可以看作到线段两所以，线段垂直平分线可以看作到线段两端的距离相等的
6、所有点的端的距离相等的所有点的集合集合。经过线段的中点并且垂直于这条线段直线，叫做这条线段经过线段的中点并且垂直于这条线段直线，叫做这条线段的垂直平分线的垂直平分线11.3 角的平分线角的平分线ODEABPC定理定理1 在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的角的两边的距离相等距离相等。定理定理2 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等距离相等的点，在这个角的平分线上。的点，在这个角的平分线上。角角的的平分线是到角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集合的所有点的集合 12.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定定 理理 线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线
7、上的点和这条线段两个端点的条线段两个端点的距离相等距离相等。逆定理逆定理 和一条线段两个端点和一条线段两个端点距离相距离相等等的点，在这条线段的垂直平分线上。的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可以看作是和线段线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点两个端点距离相等距离相等的所有点的集合的所有点的集合ABMNP点的点的集合是一条射线集合是一条射线点的点的集合是一条直线集合是一条直线你能述说等边三角形与等腰三角形在你能述说等边三角形与等腰三角形在定义，性质和判定的异同吗定义，性质和判定的异同吗?定义定义 性质性质 判定判定 等等 腰腰三三 角角 形形 等等 边边三三 角角 形形有两条
8、边有两条边相等相等1、两边、两角相等、两边、两角相等2、三线合一、三线合一3、一条对称轴、一条对称轴1、三边、三角相等、三边、三角相等2、三线合一、三线合一3、三条对称轴、三条对称轴有三条边有三条边相等相等1、定义、定义2、等角对等边、等角对等边1、定义、定义2、三个角都相等、三个角都相等3、等腰三角形有一、等腰三角形有一个角是个角是600特殊的直角三角形的性质:定理定理:在直角三角形中在直角三角形中,如果有一如果有一个锐角等于个锐角等于30300 0,那么它所对的那么它所对的直角边等于斜边的一半直角边等于斜边的一半.定理定理:在直角三角形中在直角三角形中,如果一如果一条直角边等于斜边的一半条
9、直角边等于斜边的一半,那那么它所对的锐角等于么它所对的锐角等于30300 0.1、下列交通标志中，不是轴对称图形的是（、下列交通标志中，不是轴对称图形的是（）C考查知识点考查知识点:1.1.轴对称图形的定义轴对称图形的定义注意点注意点:1.1.对称轴是一条直线对称轴是一条直线1.1.轴对称性质轴对称性质相关知识点相关知识点:2.2.轴对称图形画法轴对称图形画法2、符合下列条件的图形中属于轴对称图形的是（、符合下列条件的图形中属于轴对称图形的是（）A.能够互相重合的两个图形能够互相重合的两个图形B.一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够互一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合
10、相重合C.沿着一条直线对折，能够互相重合的两个图形沿着一条直线对折，能够互相重合的两个图形D.一个图形绕着某一点旋转一定角度后与原来位置重合。一个图形绕着某一点旋转一定角度后与原来位置重合。B B3、如图，康乐球的球台上有两球、如图，康乐球的球台上有两球P，Q，把球，把球P射向射向台边台边AB，经反射击中球，经反射击中球Q，那么应将球，那么应将球P射向台边射向台边AB上的哪一点？请画出球上的哪一点？请画出球P的射击和反射的路线。的射击和反射的路线。4、在两条公路、在两条公路OX，OY上分别设邮筒上分别设邮筒A和和B，邮递员每天由邮局，邮递员每天由邮局P到邮筒到邮筒A，B取信，然后回到邮局取信，
11、然后回到邮局P，那么，那么A，B的的位置设在何处，才能使邮递员走的路程位置设在何处，才能使邮递员走的路程最短？最短？考查知识点考查知识点:1.1.轴对称问题的应用轴对称问题的应用2.2.作对称点的方法作对称点的方法1.如图，已知如图，已知AC=AD，BC=BD，求证：，求证：AB垂直垂直平分平分CD。考查知识点考查知识点:线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定相关知识点相关知识点:线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质注意点注意点:不必证全等不必证全等3、直角三角形三边的垂直平分线的交点位于三角形的、直角三角形三边的垂直平分线的交点位于三角形的（）A.三角形内三角形内 B.三角形外三角形外
12、 C.斜边的中点斜边的中点 D.不能确定不能确定C C相关问题相关问题:三角形一边上的中点到三角形三顶点三角形一边上的中点到三角形三顶点距离相等距离相等,这个三角形是（这个三角形是（）A.锐角三角形锐角三角形 B.钝角三角形钝角三角形 C.直角三角形直角三角形 D.不能确定不能确定C CACBD5 5、青岛国际帆船中心要修建一处公共服、青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓务设施，使它到三所运动员公寓A A、B B、C C的距离相等。的距离相等。（1 1）若三所运动员公寓）若三所运动员公寓A A、B B、C C的位置的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服如图所示，请你在
13、图中确定这处公共服务设施（用点务设施（用点P P表示）的位置；表示）的位置；（2 2）若）若BAC=66BAC=66，则，则BPC=_BPC=_度。度。6 6、已知、已知AOB=30AOB=30，点，点P P在在AOBAOB内部，内部，P P1 1与与P P关关于于OBOB对称，对称，P P2 2 与与P P关于关于OAOA对称，则对称，则P P1 1，O O，P P2 2三点三点构成的三角形是（）构成的三角形是（）A.A.直角三角形直角三角形 B.B.钝角三角形钝角三角形 C.C.等腰三角形等腰三角形 D.D.等边三角形等边三角形7.如图如图,有有A,B,C三个居民小区的三个居民小区的位置成
14、三角形位置成三角形,现决定在三个小区现决定在三个小区之间修建一个购物超市之间修建一个购物超市,使超市到使超市到三个小区的距离相等三个小区的距离相等,则超市应建则超市应建在何处在何处?8.如图如图,某市有一块由三条马路围某市有一块由三条马路围成的三角形绿地成的三角形绿地,现准备在其中建现准备在其中建一个小亭供人们小憩一个小亭供人们小憩,使小亭中心使小亭中心到三条马路的距离相等到三条马路的距离相等,试确定小试确定小亭中心的位置亭中心的位置.（08中考）中考）在直角坐标系中，在直角坐标系中，ABC的三个顶点的位置如图所示的三个顶点的位置如图所示（1）请画出）请画出ABC关于关于y轴对称的轴对称的AB
15、C（其中（其中ABC分别是分别是A、B、C的对应点）；的对应点）；（2）直接写出）直接写出ABC三点的坐标：三点的坐标：（3）计算）计算ABC的面积。的面积。1ABCxyO1（-2，3）（-3，1）（1，-2）AABBCCA(2,3)A(2,3)B(3,1)B(3,1)C(-1,-2)C(-1,-2)2.如图，如图，ABCABC各顶点的坐标分别为各顶点的坐标分别为A A（0 0，2 2），），B B（1 1，2 2），），C C（1 1，4 4）。）。（1 1）分别作出）分别作出ABCABC关于直线关于直线m:xm:x=-2=-2和和直线直线n:yn:y=x=x对称的图形。对称的图形。（2 2
16、）你能发现它们的对应顶点的坐标）你能发现它们的对应顶点的坐标之间分别有什么关系吗？之间分别有什么关系吗？考点考点:轴对称与坐标轴对称与坐标基础知识基础知识:P(x,yP(x,y)关于关于x x轴对称的坐标是轴对称的坐标是 ;(x,-yx,-y)P(x,yP(x,y)关于关于x x轴对称的坐标是轴对称的坐标是 ;(x,-yx,-y)P(x,yP(x,y)关于关于y y轴对称的坐标是轴对称的坐标是 ;(-(-x,yx,y)P(x,yP(x,y)关于原点对称的坐标是关于原点对称的坐标是 ;(-(-x,-yx,-y)图形图形等腰三角形等腰三角形（腰与底腰与底边边不等）不等）等等边边三角形三角形定定义义
17、性性 质质关系关系等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形形不一定是等边三角形.轴对称图形（轴对称图形（3条条）三个角都相等，三个角都相等，（每边上）三线合一（每边上）三线合一都是都是60 轴对称图形（轴对称图形（1条条）等边对等角等边对等角三线合一三线合一等腰三角形、等边三角形的性质等腰三角形、等边三角形的性质判判 定定两边相等两边相等 三边相等三边相等 或两角相等或两角相等或三角相等或三角相等 有一个角是有一个角是60 的等的等腰三角形腰三角形两边相等的三角形两边相等的三角形三边相等的三角形三边相等的三角形1.ABCABC中，中，A=70
18、，要使，要使ABCABC是等腰三角是等腰三角形，形，B的度数应是的度数应是_.解题注意点解题注意点:分类讨论分类讨论答案多个答案多个70700 0或或40400 0 或或55550 02.如图，如图，C、E和和B、D、F分别在分别在GAHGAH的两边上，的两边上，且且AB=BC=CD=DE=EFAB=BC=CD=DE=EF，若，若A=18A=18，则，则 GEFGEF的度的度数是（数是（）A.80A.80 B.90 B.90 C.100 C.100 D.108 D.108B B3.如图，等腰如图，等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，EDED是是ABAB边的垂直边的垂直平分线，若平分线
19、，若BD=BCBD=BC，求，求1 1的度数。的度数。4 4、在、在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ABAB的垂直平分线与的垂直平分线与ACAC所在所在的直线相交，所得锐角为的直线相交，所得锐角为5050，求底角，求底角B B的度数。的度数。解题方法解题方法:列方程求解列方程求解5、如图、如图,在在ABC中中,AB=AC，BAC=1080,ADB=720,DE平分平分ADB,则图中等腰三则图中等腰三角形的个数为（角形的个数为（）A、3个个 B、4个个C、5个个 D、6个个cABCDE等腰三角形的个数问题等腰三角形的个数问题先单一先单一,再组合再组合1.如图，在如图，在ABCABC中，
20、中，AB=ACAB=AC，D D是是BCBC的中点，的中点，点点E E在在ADAD上，试比较上，试比较EBEB与与ECEC的大小，的大小，并说明理由。并说明理由。考查知识点考查知识点:1.1.等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一注意点注意点:不必证全等不必证全等2.2.线段垂直平分线的定义和性质线段垂直平分线的定义和性质2.如图，在五边形如图，在五边形ABCDE中，中，AB=AE，BC=ED，B=EB=E，AMCDAMCD于点于点M M，(1)(1)求证求证:点点M M是是CDCD的中点的中点;(2)(2)连接连接BE,BE,你还能得出哪些结论你还能得出哪些结论?考点考点:1.1.全等三角形全
21、等三角形2.2.等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一G1.（1）如图）如图，A，B，C是直线是直线l上的三点，分上的三点，分别以别以AB，BC为边长在直线为边长在直线l的两侧作等边三角形的两侧作等边三角形ABD和和BCE，连接，连接AE，CD。求证：。求证：AE=CD。（2）对）对中的中的BCEBCE以直线以直线l l为对称轴进行轴对为对称轴进行轴对称变换称变换，连接，连接AE交交BD于点于点F，连接，连接CD交交BE于于点点G（如图（如图），此时），此时AE=CDAE=CD还成立吗？（不必还成立吗？（不必证明）。证明）。（3）在图）在图中，再连接中，再连接FGFG，则，则BFGBFG是什么三
22、是什么三角形呢？（不必证明）。角形呢？（不必证明）。2 2、如图，已知等边三角形、如图，已知等边三角形ABCABC中，中，D D是是ACAC的中点，的中点，E E是是BCBC延长线上一点，且延长线上一点，且CE=CDCE=CD，DMDMBCBC于于M M，求证：点，求证：点M M是是BEBE的中点。的中点。ABCED3、如图、如图,等边等边ABC,D，E分别在分别在BC,BA的延长线上，且的延长线上，且BD=AE求证求证:CE=DEF7、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC，BAC=120120，AC的的垂直平分线垂直平分线EF交交AC于点于点E，交，交BC于点于点F。求证：求证：BF=
23、2CF。AFECB8、如图，在如图，在ABC中，中，ACB=9090，B=1515，AB的的垂直平分线分别交垂直平分线分别交BC、AB于于D、E。求证：求证：DB=2ACBEDAC1、如图，、如图，ABCABC的边的边BCBC的垂直平分线和的垂直平分线和BACBAC的平分线的平分线交于点交于点D D，DEABDEAB于于E E，DFACDFAC于于F F，垂足分别为，垂足分别为E E，F F。判断判断BEBE、CFCF之间有怎样的关系？并说明理由。之间有怎样的关系？并说明理由。综合在哪里综合在哪里?:?:1.1.构造全等三角形构造全等三角形,2.2.线段垂直平分线应用线段垂直平分线应用3.3.
24、角平分线应用角平分线应用解关键解关键:以上定理熟悉以上定理熟悉,由已知想到由已知想到6.如图如图,在在ABC中中,BAC=1200,ADBC于点于点D,且且BD+AB=DC,那么那么C的度数为的度数为 .ABCDE2002(08中考中考)将如图将如图(1)的矩形纸片的矩形纸片ABCD按如下步骤操作按如下步骤操作:(1)如图如图(2),以过以过A点的直线为折痕折叠纸片点的直线为折痕折叠纸片,使点使点B恰恰好落在好落在AD边上边上,折痕与折痕与BC边交于点边交于点E;(2)如图如图(3)以过点以过点E的直线为折痕折叠的直线为折痕折叠 纸片纸片,使点使点A恰恰落在交落在交AD边于点边于点F;(3)将
25、纸片展平将纸片展平,那么那么AFE的度数为的度数为()A.600 B.67.50 C.720 D.750注意点注意点:1.1.折叠属于轴对称折叠属于轴对称2.2.折叠前后图形大小和形状不变折叠前后图形大小和形状不变B B2已知：如图，已知：如图，ABC中，中，ABC=45，CDAB于于D，BE平分平分ABC，且，且BEAC于于E，与，与CD相交于相交于F点点,（1）求证：）求证：BF=AC；（2）求证：）求证：CE=BF；DAEFCB4.如图所示，如图所示，A、B是是45网格中的格点网格中的格点（正方形的（正方形的顶点），网格中的每个小正方点），网格中的每个小正方形的形的边长为1，请在在图中清
26、晰中清晰标出使以出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所点的三角形是等腰三角形的所有格点有格点C的位置的位置CC C5.如图如图,在在ABC中中,A=900,AB=AC,BD平分平分ABC,则有下列结论则有下列结论,其中错误的结论有其中错误的结论有()点点D到到BC的距离就是的距离就是AD的长的长;AB+AD=BC;AD=DC点点A关于直线关于直线BD的对称点在的对称点在BC边上边上;A.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个ABCDEC3.已知点已知点A的坐标为（的坐标为（1，-1），在），在y轴上轴上找一点找一点P，使，使POA为等腰三角形为等腰三角形.这样的这样的点点P共有多少
27、个？共有多少个？xyoA（1，-1）实验室实验室P1P2P3P4其中，以其中，以OA为为腰的三角形有腰的三角形有OAP1、OAP2、OAP3，以以OA为腰的三为腰的三角形有角形有OAP47、如图，在如图，在2 22 2正方形格正方形格纸中中，有一个有一个以格点以格点为顶点的点的ABCABC，请你找出格纸中，请你找出格纸中所有与所有与ABCABC成轴对称且也以格点为顶点成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有的三角形，这样的三角形共有_个。个。8、如图，如图，ABEABE与与ACDACD是是ABCABC分别沿着分别沿着ABAB、ACAC边翻边翻折折180180形成的，若形成的，若BAC
28、=150BAC=150，则，则的度数是的度数是_。解题方法解题方法:找对称轴的条数找对称轴的条数1.如图，如图，ABCABC的三个内角分别为的三个内角分别为2020，40和和 120，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？按要求画出图形，并标出角度。？按要求画出图形，并标出角度。1.1.以一个锐角为标准以一个锐角为标准,构造另一个锐角构造另一个锐角解题方法解题方法:2、如图、如图,ABC中中,AB=AC,A=360 你能否剪两刀将你能否剪两刀将ABC分成三个等腰三角形分成三个等腰三角形,请将剪痕画在三角形中请将剪痕画在三角形中,并标角度并标角度ABCABC
29、ABCABC顶角为多少度的等腰三角形是能满足以上要求顶角为多少度的等腰三角形是能满足以上要求?顶角为多少度的等腰三角形是能满足以上要求顶角为多少度的等腰三角形是能满足以上要求?顶角为顶角为1080顶角为顶角为900顶角为顶角为ABC顶角为顶角为7208002002004004008004004006006006006003003006006003003003001.如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABCABC中，中，D D，E E分别是分别是ABAB，ACAC上上的一点，的一点，AD=CEAD=CE，CDCD与与BEBE相交于点相交于点F F。（1 1）求证：）求证：CBE=ACD。（2）
30、求）求CFE的度数。的度数。2.如图，已知如图，已知ABCABC是等边三角形，是等边三角形，D D是是ACAC的中点，的中点，ECBCECBC于点于点C C，CE=BDCE=BD。求证：。求证：ADEADE是等边三角是等边三角形。形。(1)我们学过的点、直线、射线、线段和角是不我们学过的点、直线、射线、线段和角是不是轴对称图形？是轴对称图形？线段是轴对称图形线段是轴对称图形,它的对称轴有二条它的对称轴有二条角是轴对称图形角是轴对称图形,它的对称轴是这个角的平分线它的对称轴是这个角的平分线 所在的直线所在的直线点是轴对称图形点是轴对称图形,它的对称轴有无数条它的对称轴有无数条直线是轴对称图形直线是轴对称图形,它的对称轴有无数它的对称轴有无数条条射线是轴对称图形射线是轴对称图形,它的对称轴只有一条它的对称轴只有一条