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1、第十九章第十九章 振动振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。广义振动广义振动：任一物理量任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某一数值附近的在某一数值附近的往复变化。往复变化。振动：振动：振动：振动：具有时间周期性的运动。具有时间周期性的运动。19-1 简谐振动简谐振动 物体振动时，离开平衡位置的位移物体振动时，离开平衡位置的位移x(或角位移或角位移 )随时间随时间t 的的变化可表示为余弦函数或正弦函数。变化可表示为余弦函数或正弦函数。一、简谐振动基本方程：一、简谐振动基本方程：1 1 理想模型理想模型理想模型理想模型弹簧振子：弹
2、簧振子：弹簧振子：弹簧振子：弹簧振子也可以取竖直振动情况弹簧振子也可以取竖直振动情况但其坐标原点应取在静止时的平衡位置。但其坐标原点应取在静止时的平衡位置。V3简称谐振动。简称谐振动。振子的受力特点：振子的受力特点：振子的加速度特点：振子的加速度特点：微分方程：微分方程：谐振动的三个判据谐振动的三个判据谐振动的三个判据谐振动的三个判据微分方程的解：微分方程的解：简谐振动方程简谐振动方程2 2 谐振动的位置谐振动的位置谐振动的位置谐振动的位置时间曲线：时间曲线：时间曲线：时间曲线：由振动方程可得简谐振动的由振动方程可得简谐振动的 xt 曲线为：曲线为：t to o3 3 再例再例再例再例单摆：单
3、摆：单摆：单摆：根据转动定律：根据转动定律：其中：其中：对转轴的力矩：对转轴的力矩：其解为：其解为：复摆：复摆：复摆：复摆：（物理摆）（物理摆）由图可知细杆的垂直位为平衡由图可知细杆的垂直位为平衡位，故建立图示坐标系。位，故建立图示坐标系。当细杆在任意偏离竖直位置当细杆在任意偏离竖直位置处，受力如图：处，受力如图：支点位置受力可忽略。支点位置受力可忽略。则此时细杆所受力对支点的矩为：则此时细杆所受力对支点的矩为：例：例：质量为质量为m长为长为L的匀质细杆，上端可自由转动，下端被一轻的匀质细杆，上端可自由转动，下端被一轻 弹簧连着。弹簧的劲度系数为弹簧连着。弹簧的劲度系数为k，细杆处于垂直位置时
4、弹簧细杆处于垂直位置时弹簧 恰好为自由长度。当细杆做微小振动时是何种运动？恰好为自由长度。当细杆做微小振动时是何种运动？解：解：由转动定律可得：由转动定律可得：由转动定律可得：由转动定律可得：上式满足谐振动微分方程，因此，细杆在做谐振动。上式满足谐振动微分方程，因此，细杆在做谐振动。二、简谐振动的速度、加速度：二、简谐振动的速度、加速度：简谐振动方程：简谐振动方程：谐振动振子的速度：谐振动振子的速度：谐振动振子的加速度：谐振动振子的加速度：（1）谐振子的速度、加速度也呈周期性变化，且周期相同。谐振子的速度、加速度也呈周期性变化，且周期相同。但各余弦项中依次增加但各余弦项中依次增加 /2 超前超
5、前超前超前（2）速度幅值速度幅值Vm、加速度幅值加速度幅值am相应的另一式相应的另一式滞后滞后滞后滞后 19-2 谐振动的矢量图示法谐振动的矢量图示法旋转矢量法旋转矢量法V3旋转矢量法的应用十分广泛。旋转矢量法的应用十分广泛。上面的谐振子的谐振方程，上面的谐振子的谐振方程，速度、加速度方程都可以用旋转矢速度、加速度方程都可以用旋转矢量法表示：量法表示：19-3 简谐振动的特征量简谐振动的特征量一、与固有条件有关的物理量：一、与固有条件有关的物理量：周期周期T、频率频率、角频率角频率其中：其中：频率，频率，每秒振动的次数每秒振动的次数 角频率，角频率，2 秒内振动的次数秒内振动的次数T周期，周期
6、，一次完全振动的时间一次完全振动的时间 弹簧振子：弹簧振子：单摆：单摆：二、与初始条件有关的物理量：二、与初始条件有关的物理量：t=0时时,x0,V0振幅振幅A、初位相初位相 1 1 振幅振幅振幅振幅A A：表示了振动物体离开平衡位置的最大距离。表示了振动物体离开平衡位置的最大距离。只能取正值。只能取正值。2 2 位相位相位相位相(t t+):):又称相位、周相。又称相位、周相。决定了物体的振动状态。决定了物体的振动状态。t+xVa振动状态振动状态 0A0-amax振子位于正最大位移，有反向振子位于正最大位移，有反向amax ,V=0/20-Vmax0振子位于平衡位置，有一指向振子位于平衡位置
7、，有一指向 x 的的Vmax-A0amax振子位于负最大位移，有正向振子位于负最大位移，有正向amax ,V=03/20Vmax0振子位于平衡位置，有一指向振子位于平衡位置，有一指向 x 的的Vmax 位相描写了振子在任意时刻的振动状态位相描写了振子在任意时刻的振动状态位相的物理意义位相的物理意义在旋转矢量法中，任意时刻振幅矢量与在旋转矢量法中，任意时刻振幅矢量与x 正向的夹角为其位相正向的夹角为其位相 初始时刻初始时刻 t=0 时，振动位相为：时，振动位相为：描述了描述了 t=0 时刻振子的振动状态时刻振子的振动状态初相的物理意义。初相的物理意义。初相初相初相初相 （初相位）（初相位）（初相
8、位）（初相位）t+xVa振动状态振动状态0A0-amax振子位于正最大位移，有反向振子位于正最大位移，有反向amax ,V=0/20-Vmax0振子位于平衡位置，有一指向振子位于平衡位置，有一指向 x 的的Vmax-A0amax振子位于负最大位移，有正向振子位于负最大位移，有正向amax ,V=03/20Vmax0振子位于平衡位置，有一指向振子位于平衡位置，有一指向 x 的的Vmax 定义：定义：若存在两个振动若存在两个振动x1、x2，其位相分别为：，其位相分别为：则称：则称：=2-1 为为相差相差相差相差。且若：且若：称振动称振动x1、x2 同相同相同相同相称振动称振动x1、x2 反相反相反
9、相反相则则 2对应的振动比对应的振动比 1对应的振动对应的振动超前超前超前超前 相应的，相应的，1对应的振动比对应的振动比 2 对应的振动对应的振动滞后滞后滞后滞后 三、谐振动特征量的有关计算：三、谐振动特征量的有关计算：例例1 1：原长为原长为0.50m 的弹簧，上端固定，下端连一质量为的弹簧，上端固定，下端连一质量为 0.10kg 的砝码。砝码静止时，弹簧长的砝码。砝码静止时，弹簧长 0.60m。若将砝码向上推，若将砝码向上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，则砝码做上下运动。使弹簧缩回到原长，然后放手，则砝码做上下运动。（1 1）证明砝码的上下运动为谐振动；）证明砝码的上下运动为谐振动；（2
10、 2）求此谐振的振幅、角频率、频率；）求此谐振的振幅、角频率、频率；（3 3）若从放手时开始计算时间，求此谐振动的）若从放手时开始计算时间，求此谐振动的 运动方程（设正方向向下）运动方程（设正方向向下）解：解：由题设知，弹簧长由题设知，弹簧长0.6m时系统平衡，此时有时系统平衡，此时有其中：其中：x 0=0.1 m以此处为原点建立正向向下的坐标系以此处为原点建立正向向下的坐标系 如图示，则在任意位如图示，则在任意位x,砝码均砝码均受两个力作用：重力受两个力作用：重力mg，弹簧的弹簧的弹性力弹性力 f=k(x+x0)则由牛二律有：则由牛二律有：求此谐振的振幅、角频率、频率求此谐振的振幅、角频率、
11、频率由上述推导可知：由上述推导可知：系统在做谐振。系统在做谐振。若从放手时开始计算时间，求此谐振动若从放手时开始计算时间，求此谐振动的运动方程（设正方向向下）的运动方程（设正方向向下）例例2:如图示，一质点在做谐振动，在一个周期内相继通过相距如图示，一质点在做谐振动，在一个周期内相继通过相距 11cm的的A、B两点，历时两点，历时2.0s，并具有相同的速率；再经历并具有相同的速率；再经历 2.0s后，质点又从另一方向通过后，质点又从另一方向通过B点。点。（1 1）求质点运动的周期和振幅；）求质点运动的周期和振幅；（2 2）写出质点在任意位置）写出质点在任意位置x 处的速率表达式处的速率表达式V
12、(x)解解:(1):(1)由已知，质点在沿同一方向先由已知，质点在沿同一方向先后经过后经过A、B点时速度大小相同，点时速度大小相同，说明说明A、B两点对称于平衡点，两点对称于平衡点，据此做旋转矢量图。据此做旋转矢量图。设与设与A点对应的矢量为点对应的矢量为 t=0 时刻，时刻，由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 4s 为半个周期为半个周期。由简谐振动运动学特征可知：由简谐振动运动学特征可知：分离变量，两边积分，则有：分离变量，两边积分，则有：（2）写出质点在任意位置）写出质点在任意位置x 处的速率表达式处的速率表达式 V(x)例例3:已知已知x0，V0，利用旋转矢量法求初相利用旋转矢量法求初相
13、这类问题的解决分为两步这类问题的解决分为两步(1)先由先由x0找出对应矢量可能出现的两个位置找出对应矢量可能出现的两个位置 (2)(2)根据初速度的水平分量根据初速度的水平分量V0 x 方向做判断方向做判断解：解：（1 1）V0 x 0 说明说明 V0 x 处于处于ox 轴正方轴正方向，即表明此刻振动矢量在向，即表明此刻振动矢量在 ox的的投影将向投影将向 ox 正向运动。正向运动。由于已经设定旋转矢量角频率为逆由于已经设定旋转矢量角频率为逆时针方向，则如图示有：时针方向，则如图示有：（2）同理可得：同理可得：例例4:质点沿质点沿x轴做谐振动轴做谐振动，振幅振幅A=2cm，周期周期T=1s。质点由质点由 处运动到处运动到 处的最短时间为处的最短时间为t1，质点由质点由xq 运动到运动到xp p的最短时间为的最短时间为t2。则则 t1=？,t2=？解：解：