4概率论与数理统计.ppt-淘文阁

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1、1(四)王柱 2013.03.112样本空间样本空间随机试验随机试验 E必然必然事件，事件，基本基本事事件，件，不可能不可能事件事件。包含关系，包含关系，相等关系。相等关系。随机随机事件事件 A A A第一章第一章概率论的基本概念概率论的基本概念相交关系，相交关系，互斥关系，互斥关系，对立关系。对立关系。并并（和）事件，（和）事件，交交（积）（积）事件，事件，补补（对立）事件（对立）事件。（差差事件）事件）3运算原理运算原理：交换交换结合结合分配分配对偶对偶41。P(A)0;非负性非负性2。P()=1;完全性完全性3。可列可加性可列可加性称为概率空间，是指称为概率空间，是指在随机试验在随

2、机试验E的样本空间的样本空间上上,对每个事件对每个事件A赋予赋予一个实数一个实数,记为记为P(A),称为事件称为事件A的概率的概率,如果这如果这个集合函数个集合函数P()满足下列条件满足下列条件:即可列个即可列个 Ai,i=1,2,.，则有则有 *概率概率的定义(,A A,P),P)5有性质有性质：1。P()=02。有穷可加有穷可加3。P(A)14。5。6。加法公式。加法公式。也可写成也可写成6(S,A A,P)为概率空间。为概率空间。A,B为两个事件，且为两个事件，且P(A)0。则称。则称 P(B|A)=P(AB)/P(A)为为“在事件在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的发

4、1，B2，,Bn为为的一个的一个划分划分。也叫。也叫完备事件组完备事件组。定理；定理；随机试验随机试验E的样本空间为的样本空间为。B1，B2，,Bn为为的一个的一个划分划分。且且P(Bi)0,i=1,n。A为为E的一个事件的一个事件,则则 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|Bn)P(Bn)称为称为全概率公式。全概率公式。8定理；定理；随机试验随机试验E的样本空间为的样本空间为。(,A A,P),P)A A A为为E的一个事件的一个事件,P(A)0。B1，B2，,Bn为为S的一个划分。的一个划分。且且P(Bi)0,i=1,n。则。则P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/P(

5、A)=P(A|Bi)P(Bi)/P(A|B1)P(B1)+P(A|Bn)P(Bn)称为称为贝叶斯公式。贝叶斯公式。9例例04-104-1八八支支枪枪中中，有有三三支支未未经经试试射射校校正正，五五支支已已经经试试射射校校正正。校校正正过过的的枪枪射射击击时时，中中靶靶的的概概率率为为0.8，未未校校正正的的枪枪射射击击时时，中中靶靶的的概概率率为为0.3，今今从从8支支枪枪中中任任取取一一支支射射击击中中靶靶。问问所所用用这这枪枪是是校校正正过过的概率是多少？的概率是多少？解解设设事事件件 B =射射击击中中靶靶，A1 =任任取取一一枪枪是是校校正过的正过的，A2 =任取一枪是未校正过的任取

6、一枪是未校正过的。则则故所求概率为故所求概率为10独立性独立性定义；定义；A,B为两事件。如果等式为两事件。如果等式 P(AB)=P(A)P(B)成立成立,则称则称A,B为互相独立为互相独立的事件。的事件。可以证明，可以证明，A与与B互相独立，则互相独立，则Ac与与B，A与与Bc，Ac与与Bc互相独立。互相独立。定理；定理；A,B为两事件，且为两事件，且P(A)0。则则“A与与B相互独立相互独立”与与“P(B|A)=P(B)”等价等价。11一般一般,A1，A2，,An为为E的一组的一组n个事件。个事件。相似的可定义：相似的可定义：两两两两、三三三三、.，及及n个相互独立个相互独立。定义；定义；

7、A,B,C为三个事件。如果三个等式为三个事件。如果三个等式 P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)成立成立,则称则称A,B,C为为两两独立两两独立的事件。的事件。若再加一个等式若再加一个等式 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立成立,则称则称A,B,C为互相独立为互相独立的事件。的事件。12例例04-204-2若若生生产产某某产产品品经经过过5道道工工序序，每每道道工工序序的的不不合合格格率率分分别别为为0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,假假定定工工序序之之间间是是相相互互独独立立的的，求求该该产产品品的的合合格率和不合格率。

8、格率和不合格率。解解设设 =第第i i 道工序生产合格道工序生产合格,则则13例例04-304-3设设某某科科学学工工作作者者每每次次试试验验成成功功的的概概率率是是0.01。试试问问他他要要做做多多少少次次试试验验才才能能十十拿拿九九稳稳的的做做到到试试验验成功成功(假定试验与试验之间是相互独立的假定试验与试验之间是相互独立的)?)?解解设设某某科科学学工工作作者者要要做做 N N 次次试试验验才才能能十十拿拿九九稳稳的的使使试试验验成成功功。又又设设 F F =某某科科学学工工作作者者一一次次试试验验失失败败,C C =某某科科学学工工作作者者N N 次次试试验验失失败败，由由题设知题

9、设知,14例例04-404-4.如下如下之之并并(联起联起)串连电路串连电路并串并串图图设继电器闭合与否相互独立设继电器闭合与否相互独立,每个继电器闭合的每个继电器闭合的概率为概率为p。求。求L至至R为通路的概率为通路的概率?1234LR 注意注意:A=A1A2 A3A4 P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=p2+p2-p4=2p2-p415再看再看串串(连起连起)并联电路并联电路串并图串并图由于由于:A=(A1 A3)(A2 A4)=(A1c A3c)(A2c A4c)c1

10、234LR 设继电器闭合与否相互独立设继电器闭合与否相互独立,每个继电器闭合的每个继电器闭合的概率为概率为p。求。求L至至R为通路的概率为通路的概率?P(A)=1-P(Ac)=1-P(A1c A3c)(A2c A4c)=1-(1-p)2+(1-p)2-(1-p)4=1-2(1-p)2+(1-p)416 独立试验序列独立试验序列假若一串试验具备下列三条：假若一串试验具备下列三条：（1）每一次试验只有两个结果，一个记为）每一次试验只有两个结果，一个记为“成功成功”，一个记为，一个记为“失败失败”，（2）成功的概率）成功的概率 p p 在每次试验中保持不变；在每次试验中保持不变；（3）试验与试验之间

11、是相互独立的。）试验与试验之间是相互独立的。则这一串试验称为则这一串试验称为独立试验序列独立试验序列，也称为，也称为BernoulliBernoulli概型概型。17在独立试验序列中主要考察下面两种事件的概率：在独立试验序列中主要考察下面两种事件的概率：（1）n 次试验中次试验中恰有恰有 k 次次“成功成功”的概率；的概率；（2）第）第 k 次试验次试验首次出现首次出现“成功成功”的概率。的概率。请读者自行证明第请读者自行证明第1种事件的概率为种事件的概率为，此被称为此被称为二项分布二项分布。第第2种事件的概率为种事件的概率为，此被称为此被称为几何分布几何分布。18例例04-5.:将一枚硬

12、币独立的掷两次，引进事件：将一枚硬币独立的掷两次，引进事件：，。则则（a）相互独立。（相互独立。（b）相互独立。相互独立。（c c）两两独立。（两两独立。（d d）两两独立。两两独立。19例例04-604-6.:设设A,BA,B为随机事件，为随机事件，且且，则必有则必有：（A）（B）（C）（D）20第二章第二章随机变量及其随机变量及其分布分布*2.1 随机变量随机变量定义定义2.1.1:随机试验随机试验E,(,A,P)为概率空间。为概率空间。对于每个对于每个e ,都有一个实数都有一个实数X(e)与之对应。与之对应。这样就得到一个这样就得到一个定义在定义在上的单值实函数上的单值实函数X=X

13、(e)。如果对于任意的实数如果对于任意的实数 x,X x 表示表示e|X(e)x,都是属于都是属于A 中的事件。则称中的事件。则称 X 为为随机变量随机变量。21 显然，定义域为显然，定义域为。X(e)所有可能取值的全体，称为所有可能取值的全体，称为值域值域 R。对于任意的对于任意的实数实数集合集合 L，X L 表示表示事件事件 e|X(e)L 。又若又若,(,A A,P)为概率空间。为概率空间。对于任意的对于任意的实数集合实数集合 L，令，令 PX(L)=Pe|X(e)L ,则则(R,R R,PX)也也为概率空间。为概率空间。在其上令在其上令 X*=X*(x)=x，也是，也是随机变量随机变

14、量。注意注意 X 与与 X*取值的概率取值的概率情况相同情况相同22例例04-704-7E:“接连抛三次硬币接连抛三次硬币”“正面出现的次数正面出现的次数”：HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 X=3 2 2 1 2 1 1 0 *=0 1 2 3 *=0 1 2 3 X*=0 1 2 3 X*=0 1 2 3 P PX X =1/8 3/8 3/8 1/8 =1/8 3/8 3/8 1/8 这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在 =S上的单值实函上的单值实函数数 X=X(e)，叫，叫随机变量随机变量。实数集合实数集

15、合 L=0,1，X L 表示事件表示事件 e|X(e)L =e4 e6 e7 e8 。23随机变量的随机变量的特性特性：1.随试验的结果而取不同的值随试验的结果而取不同的值;2.试验前试验前,能知道它可能的取值范围能知道它可能的取值范围,却不能预知它确切的取值却不能预知它确切的取值;4.取值有一定的概率取值有一定的概率;3.定义域为样本空间定义域为样本空间,值域值域 R;注意注意:与普通函数、概率函数的与普通函数、概率函数的区别区别。例例：“正面数正面数”“呼叫次数呼叫次数”“寿命寿命”24再例:E5:纪录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。纪录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。E6:在一批灯泡

16、中任意抽取一只在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命测试它的寿命。5:0,1,2,3,.6:t|t 0 X5=0,1,2,3,.X6=t|t 0 25定义定义2.2.1:一个随机变量，若它全部可能取到的值是一个随机变量，若它全部可能取到的值是有限个有限个或或可列无限个可列无限个,称为称为离散离散(型型)随机变量随机变量。*2.2 离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布例：“正面数正面数”“呼叫次数呼叫次数”是；是；“寿命寿命”不是。不是。26显然，掌握一个显然，掌握一个离散随机变量离散随机变量 X 的统计规律，的统计规律，必需必需且且只需只需知道知道“X 的所有可能取的值，以及的所有可能

17、取的值，以及取每一个可能值的概率取每一个可能值的概率”。设：离散随机变量可能取的值为设：离散随机变量可能取的值为 xk (k=1,2,)显然显然,1.Pk 0,(k=1,2,)2.。称为称为离散型随机变量离散型随机变量的的概率分布概率分布或或分布律分布律。反之满足这两点的反之满足这两点的 pk 叫概率函数。它一定是叫概率函数。它一定是某个某个离散型随机变量离散型随机变量的的概率分布概率分布或或分布律分布律。X 取可能值的概率为取可能值的概率为 pk=P(X=xk)(k=1,2,)27写为：写为：注意注意：离散型离散型的的概率分布概率分布是属于是属于随机变量随机变量的。概率空间上可以定义多个不

18、同的的。概率空间上可以定义多个不同的随机随机变量变量的的分布。分布。考虑，有考虑，有4个信号灯。个信号灯。P为显红灯的概率。为显红灯的概率。X首次停时已通过的路口数。首次停时已通过的路口数。0 1 2 3 4p qp q2p q3p q4 28（0）、）、(0-1)分布分布定义；定义；随机变量随机变量X只只可能取可能取 0 或或 1 两个两个值。它的分布律是值。它的分布律是 P(X=k)=pkq(1-k),k=0,1 (0p1)称此称此X为服从为服从(0-1)分布。分布。例如例如：性别，合格，扔币，标准。：性别，合格，扔币，标准。29（1）、）、贝努利试验的贝努利试验的二项分布二项分布将随

19、机试验将随机试验E重复进行重复进行n次，若每次次，若每次试验的结果互不影响，即每次试验结果出试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这则称这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的。*设试验设试验E只有两个可能结果只有两个可能结果A和和Ac，P(A)=p,P(Ac)=1-p=q,(0p0 是常数。则是常数。则称称 X 为服从参数为为服从参数为的的泊松泊松分布，记为分布，记为X ()。例例:呼叫次数呼叫次数,印刷错误印刷错误,遗失遗失信件信件,急诊人数急诊人数,交通事故数交通事故数,粒子计数粒子计数,.37 例例2.2.

20、1放放射射性性物物质质在在某某一一段段时时间间内内放放射射的的粒粒子子数数是是服服从从泊泊松松分分布布的的。Rutherford和和Geiger观观察察了了放放射射性性物物质质放放出出的的粒粒子子个个数数的的情情况况，一一共共做做了了26082608次次观观察察，每每次次观观察察的的时时间间是是7.5秒秒,总总共共观观察察到到10094个个粒粒子子，如如表表所所示示。从从表表中中，我我们们看看到到按按算算出出的的跟跟的的频率相当接近。频率相当接近。放射粒子数观察到次数频率按泊松分布计算之概率012345678910 57203383525532408273139 45 27 160

21、.0220.0780.1470.2010.2040.1560.1050.0530.0170.0100.0060.0210.0810.1560.2010.1950.1510.0970.0540.0260.0110.007总计26080.9991.000例例04-904-938放射的粒子数为何服从泊松分布放射的粒子数为何服从泊松分布？首首先先把把体体积积为为 V V 的的某某放放射射性性物物质质设设想想分分割割为为 n n 份份相相同体积同体积的小块，并假定：的小块，并假定：（1）对对于于每每个个特特定定的的小小块块而而言言，在在7.5秒秒内内放放出出两两个个以以上上粒粒子子的的概概率率为为0

22、(实实际际上上，放放射射两两个个以以上上的的概概率率很很小很小小很小,可以忽略可以忽略)；而放出一个粒子的概率为；而放出一个粒子的概率为：即即只只跟跟体体积积的的大大小小成成正正比比，而而跟跟那那一一个个小小块块无关，比例系数为无关，比例系数为。39（2）各小块是否放出粒子是相互独立的。）各小块是否放出粒子是相互独立的。在这两条假定下，在这两条假定下，7.5秒内体积为秒内体积为 V V 的某放射性物质放的某放射性物质放出出 k k 个粒子个粒子，可近似地看作，可近似地看作在在 V V 的的 n n 个独立的小个独立的小块中，恰有块中，恰有 k k 块放出粒子块放出粒子（n-k n-k

23、块不放出粒子）块不放出粒子）。于是，放出。于是，放出 k k 个粒子的概率，就可按独立试验序列个粒子的概率，就可按独立试验序列来近似计算。来近似计算。然而，上式只是个近似式。容易理解，把然而，上式只是个近似式。容易理解，把 V V 无限细分，无限细分，就能得到就能得到的精确式。也就是说，的精确式。也就是说，下面，我们来求出这个极限值。记下面，我们来求出这个极限值。记，则则 40泊松泊松定理定理:0 是一常数是一常数,n是任意正整数是任意正整数,设设 npn=,则对于任意固定的非负整数则对于任意固定的非负整数k,有有41证明思路证明思路:对于固定的k,当n 时时,42从而得到从而得到泊松泊松

24、定理定理:注意注意:定理的条件定理的条件 npn=意味着当意味着当 n 很很大时大时pn必定很小。因此，当必定很小。因此，当 n很大、很大、p很很小时，小时，“右边右边”为为“左边左边”的近似式。的近似式。从以上的分析推导过程看出，某一具体问题，只要它符从以上的分析推导过程看出，某一具体问题，只要它符合类似于（合类似于（1）、（）、（2）的条件，那么就会出现服从泊松）的条件，那么就会出现服从泊松分布的随机变量。因此，有很多具体问题，它们的性质分布的随机变量。因此，有很多具体问题，它们的性质虽然各不相同，但它们的随机变量都服从泊松分布。虽然各不相同，但它们的随机变量都服从泊松分布。演示演示12！

25、演示演示13！43 已已知知一一电电话话总总机机每每分分钟钟收收到到传传呼呼次次数数为为一一随随机机变变量量，服服从从的的泊泊松松分分布布，求求(1)(1)每每分分钟钟恰恰有有8次传呼的概率，次传呼的概率，(2)每分钟传呼次数大于每分钟传呼次数大于8的概率。的概率。解解：例例04-1004-1044 已已知知某某自自动动机机床床产产品品的的次次品品率率为为0.001，从从产产品品中中任任取取5000个个，求求这这5000个个产产品品中中次次品品超超过过5的的概率。概率。解：解：设设5000个产品中次品数为个产品中次品数为 ,则则于是所求概率于是所求概率如如果果直直接接按按二二项项分分布布

26、公公式式计计算算，计计算算量量很很大大。由由于于很很大大，很很小小,这时这时不很大不很大,可以利用泊松定理可以利用泊松定理,可得可得例例04-1104-1145例例：某人进行射击，设每次射击命中率为：某人进行射击，设每次射击命中率为 0.02，独，独立射击立射击400次，求至少击中两次的概率。次，求至少击中两次的概率。PX1=1-PX=0-PX=1=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399 =np=8,PX1=1-PX=0-PX=1 =1-e-8-8e-8=0.997 1.一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小,但只要试验次数很

27、多但只要试验次数很多,而且试验是独立地进行的而且试验是独立地进行的,那末这一事件的发生几乎是肯定的。那末这一事件的发生几乎是肯定的。2.如果射手在如果射手在400次射击中次射击中,击中目标的次数击中目标的次数竟不到两次竟不到两次,我们将怀疑我们将怀疑“假设假设”的正确性的正确性,即即认为该射手射击的命中率达不到认为该射手射击的命中率达不到0.02。查指数函数表得查指数函数表得0.000335例例04-1204-1246 由由假设假设推导出推导出“小概率事件小概率事件”;再由此再由此“小概率事件小概率事件”的发生就可以推断的发生就可以推断 “假设假设不成立不成立”。“统计推断原理统计推断原理”47(四)作业作业:习题二习题二 4,5,7演示演示12！演示演示13！484495507再见51 A (,P),P)

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