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1、第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望x+y=z的分布函数的分布函数：考虑随机变量考虑随机变量 设设Z为为连续随机变量连续随机变量 X 与与 Y 的和的和,求求 四、四、X、Y是连续型随机变量时：和的分布是连续型随机变量时：和的分布1.连续变量和的分布函数：连续变量和的分布函数：2.连续变量和的分布密度：连续变量和的分布密度：第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望同理可得：同理可得：或或 特殊地，如果特殊地，如果X 与与Y 独立独立，则，则第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量
2、函数的分布与期望例题例题8-1-1 第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望综合以上几步，得：综合以上几步，得：第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望例例8-1-2（07数学一，数学一，11分）分）第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量
3、函数的分布与期望2.2.平方和的分布平方和的分布 设二维连续随机变量设二维连续随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 f(x,y),寻求寻求 的分布。的分布。考虑考虑 Z 的分布函数：的分布函数：显然有显然有 从而有从而有 第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望设二维连续随机变量设二维连续随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 例例8-1-3解解考虑考虑 Z 的分布函数的分布函数显然有显然有 从而有从而有 第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望3.3.最大值与最小值的分布最大值
4、与最小值的分布 设随机变量设随机变量X与与Y 独立独立，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 (1)最大值的分布最大值的分布(最大小于号，小于都小于）最大小于号，小于都小于）(2)最小值的分布最小值的分布（最小大于号，大于都大于）（最小大于号，大于都大于）第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望推广到有限多个独立随机变量的情形推广到有限多个独立随机变量的情形,有有 特别地特别地,若若 独立同分布独立同分布,设它们的分布函数为设它们的分布函数为 则则 第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望解解各部件的使用寿命各部件的使用寿命 的分布函数的分布函数
5、 先求先求两个串联组的寿命两个串联组的寿命的分布函数的分布函数 某仪器由六个相互独立的部件某仪器由六个相互独立的部件 组成组成,联接方式如图所示。设各部件的使用寿命联接方式如图所示。设各部件的使用寿命服从相同的指数服从相同的指数 求仪器使用寿命的概率密度。求仪器使用寿命的概率密度。分布分布 例例8-1-4第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望再求再求仪器使用寿命仪器使用寿命Z 的分布函数的分布函数 Z 的概率密度为的概率密度为 第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变
6、量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望例题8-2-5（2008数学一，4分）第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望例例8-2-6（2001数学三，数学三，8分）分）第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望二、离散型随机变量的数学期望（均值）二、离散型随机变量的数学期望（均值）1.定义定义：绝对收敛时。绝对收敛时。称称 当级数当级数为随机变量为随机变量 的的数学期望数学期望，又称，又称均均 值值 设设 是一离散型随机变量，其分布列为是一离散型随机变量，其分布列为：2.均值背景与说明均值
7、背景与说明（1）期望源自平均值之意：例如，某班例如，某班20名学生，英语成名学生，英语成绩按照绩按照5分计，该班学生成绩分布为分计，该班学生成绩分布为第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望解解3.例题讲解例题讲解例例8-2-1 设随机变量设随机变量 服从服从“01”分布分布，求数学期望，求数学期望 例例8-2-2 设随机变量设随机变量 ，求数学期望，求数学期望 解解第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望例例8-2-3 设随机
8、变量设随机变量 ，求数学期望，求数学期望 解解例8-3-4:几何分布第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望三三.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 1.定义背景定义背景第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望2.2.定义：定义：设设 为连续型随机变量为连续型随机变量,则则 的数学期望为的数学期望为:其概率密度为其概率密度为 注注注注 假定广义积分绝对收敛假定广义积分绝对收敛,即即 存在存在.例例8-3-1 设随机
9、变量设随机变量 ,求数学期望求数学期望 解解的密度函数为：的密度函数为：3.3.例题讲解：例题讲解：第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望例例8-3-2 设随机变量服从指数分布设随机变量服从指数分布求数学期望求数学期望 的密度函数为：的密度函数为：解解第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望例例8-3-38-3-3设随机变量设随机变量 服从服从柯西分布：柯西分布：求数学期望求数学期望解解不绝对收敛，不绝对收敛，的数学期望不存在的数学期望不存在。即即不存在，不存在，第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望二、随机变量函数的数学期
10、望二、随机变量函数的数学期望1.离散型一维变量函数的均值定义离散型一维变量函数的均值定义则定义随机变量函数则定义随机变量函数 的数学期望为：的数学期望为：2.连续型一维变量函数的均值定义连续型一维变量函数的均值定义第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望注注：假定积分假定积分绝对收敛。绝对收敛。的数学期望为：的数学期望为：则定义随机则定义随机变量函数变量函数 X 的分布密度为的分布密度为 ，例例9-2-1 设随机变量设随机变量 的概率分布为：的概率分布为：求随机变量函求随机变量函 数数 的数学期望的数学期望.-2 -1 01230.100.20 0.250.200.150.10第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望例例9-2-2 解解第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望例例9-2-3 第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望三三.二维随机变量条件下的单变量数学期望二维随机变量条件下的单变量数学期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第八讲第八讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望