3.4_向量组的极大无关组.ppt

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1、第第3.43.4节节 向量组的极大向量组的极大 线性无关组线性无关组主要内容主要内容:一等价向量组一等价向量组二向量组的极大线性无关组二向量组的极大线性无关组三三 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系一、等价向量组一、等价向量组定义定义1:如果向量组如果向量组 中的每一个向量中的每一个向量 都都可以由向量组可以由向量组线性表示,那么就称向量组线性表示,那么就称向量组A可以由向量组可以由向量组B线性表示。线性表示。若同时向量组若同时向量组B 也可以由向量组也可以由向量组A线性表示,就称线性表示,就称向量组向量组A与向量组与向量组B等价。等价。即即自反性:自反性:一个向量组与其自身等价

2、;一个向量组与其自身等价;对称性:对称性:若向量组若向量组 与与 等价,则等价,则 和和 等价;等价;传递性:传递性:与与 等价等价,与与 等价,则等价,则 与与 等价。等价。等价向量组的基本性质等价向量组的基本性质定理:定理:设设与与 是两个向量组,如果是两个向量组,如果(2)则向量组则向量组 必线性相关。必线性相关。推论推论1:如果向量组如果向量组 可以由向量组可以由向量组线性表示,并且线性表示,并且线性无关,那么线性无关,那么推论推论2:两个线性无关的等价的向量组,必包含相同个数的向量。两个线性无关的等价的向量组,必包含相同个数的向量。(1)向量组向量组线性表示;线性表示;可以由向量组可

3、以由向量组二、向量组的极大线性无关组二、向量组的极大线性无关组定义定义2:注注:(1)只含零向量的向量组没有极大无关组)只含零向量的向量组没有极大无关组.简称简称极大无关组。极大无关组。对向量组对向量组A,如果在如果在A中有中有r个向量个向量满足:满足:(2)任意)任意r1个向量都线性相关。(如果有的话)个向量都线性相关。(如果有的话)线性无关。线性无关。(1)那么称部分组那么称部分组 为向量组为向量组 的一个的一个极大线性无关组。极大线性无关组。(2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。(3)一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性)一个

4、向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示表示例如:例如:在向量组在向量组 中,中,首先首先线性无关,线性无关,又又线性相关,线性相关,所以所以组成的部分组是极大无关组。组成的部分组是极大无关组。还可以验证还可以验证也是一个极大无关组。也是一个极大无关组。注:注:一个向量组的一个向量组的极大无关组极大无关组一般一般不是唯一的。不是唯一的。极大无关组的一个基本性质:极大无关组的一个基本性质:任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又,向量组的极大无关组不唯一,而每一个极大无关组都又,向量组的极大无关组不唯一,而每一个极大无关组都与向量组等价,所以:

5、与向量组等价,所以:向量组的任意两个极大无关组都是等价的。向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量,可得等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量,可得一个向量组的任意两个极大无关组等价,一个向量组的任意两个极大无关组等价,且所含向量的个数相同。且所含向量的个数相同。定理:定理:三、向量组的秩与矩阵秩的关系三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义定义3:向量组的极大无关组所含向量的个数向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个称为这个向量组的秩向量组的秩,记作记作例如:例如:向量组向量组 的的秩为秩为2。1.向量组的秩向量组的秩(4)等价的向量组必有相同的秩

6、。)等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论:关于向量组的秩的结论:(1)零向量组的秩为)零向量组的秩为0。(2)向量组)向量组线性无关线性无关向量组向量组线性相关线性相关(3)如果向量组)如果向量组可以由向量组可以由向量组线性表示,则线性表示,则注:注:两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩,并且其中一个可以被另一个两个向量组有相同的秩,并且其中一个可以被另一个 线性表示,则这两个向量组等价。线性表示,则这两个向量组等价。2.矩阵的秩矩阵的秩2.1.行秩、列秩、矩阵的秩行秩、列秩、矩阵的秩把把矩阵的每一行看成一个向量,则矩阵可被认为由这

7、些矩阵的每一行看成一个向量,则矩阵可被认为由这些行向量行向量组成,组成,把矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵可被认为由这些把矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵可被认为由这些列向量列向量组成。组成。定义定义4:矩阵的行向量的秩,就称为矩阵的行向量的秩,就称为矩阵的行秩矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩,就称为矩阵的列向量的秩,就称为矩阵的列秩矩阵的列秩。例如:例如:矩阵矩阵的行向量组是的行向量组是可以证明,可以证明,是是A的的行向量组行向量组的一个的一个极大无关组极大无关组,因为,由因为,由即即可知可知即即线性无关线性无关;而而为零为零向量,包含零向量的向量组线性无关,向量,包含零向量的向量组线性无关,线

8、性相关。线性相关。所以向量组所以向量组的秩为的秩为3,所以矩阵所以矩阵A的的行秩行秩为为3。矩阵矩阵A的的列向量组列向量组是是可以验证可以验证线性无关线性无关,而而所以向量组所以向量组的的一个极大无关组是一个极大无关组是所以向量组所以向量组的秩是的秩是3,所以矩阵所以矩阵A的的列秩列秩是是3。问题:问题:矩阵的行秩矩阵的行秩 矩阵的列秩矩阵的列秩引理引理1:矩阵的矩阵的初等行变换初等行变换不改变矩阵的不改变矩阵的行秩行秩。(列)(列)(列)(列)证:证:把把按行分块,设按行分块,设(1)对换矩阵)对换矩阵A的两行的两行A的行向量组所含向量未变,所以向量组的秩不变,的行向量组所含向量未变,所以向

9、量组的秩不变,所以矩阵所以矩阵A的的行秩行秩不变。不变。(2)用非零常数)用非零常数k乘以乘以A的第的第i行行显然,向量组显然,向量组可以由向量组可以由向量组线性表示;线性表示;而而向量组向量组也也可以由向量组可以由向量组线性表示。线性表示。所以矩阵所以矩阵的行向量组与的行向量组与的行向量组等价,的行向量组等价,又又等价的向量组有相同的秩,等价的向量组有相同的秩,的的行秩行秩的的行秩,行秩,即即A的的行秩行秩不变。不变。(3)非零常数)非零常数k乘以第乘以第i行后加到第行后加到第j行上行上显然,显然,中的行向量组中的行向量组可以由可以由的的行向量组线性表示行向量组线性表示而而的的行向量组可以由

10、行向量组可以由中的行向量组线性表示。中的行向量组线性表示。所以两个向量组等价,所以行向量组的秩不变,所以两个向量组等价,所以行向量组的秩不变,所以矩阵的所以矩阵的行秩行秩不变。不变。引理引理2:矩阵的矩阵的初等行变换初等行变换不改变矩阵的不改变矩阵的列秩列秩。(列)(列)(行)(行)证:证:设矩阵设矩阵A经过初等行变换变为经过初等行变换变为B,即即存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵使得使得令令则则把把按按列分块,设列分块,设不妨设不妨设A的列向量组的极大无关组为的列向量组的极大无关组为(可交换列的次序把它们换到前(可交换列的次序把它们换到前r列,矩阵的秩不变)列,矩阵的秩不变)则则下面证明下

11、面证明A的列向量组的的列向量组的极大无关组极大无关组经过经过初等行变换初等行变换变为变为是矩阵是矩阵B的列向量组的的列向量组的极大无关组极大无关组。(1)先证)先证线性无关。线性无关。设数设数使得使得成立成立因为因为P为初等矩阵的乘积,所以为初等矩阵的乘积,所以P可逆。可逆。又又线性无关线性无关线性无关。线性无关。(2)再证)再证B的列向量组中任一向量的列向量组中任一向量可由向量组可由向量组线性表示。线性表示。是是A的列向量组的极大无关组的列向量组的极大无关组所以对于所以对于A中任一列向量中任一列向量都都存在数存在数使得使得等号两边左乘等号两边左乘P有有由由(1)(2)可知可知是是B的列向量组

12、的一个极大的列向量组的一个极大无关组。无关组。所以,所以,B的列秩的列秩rA的列秩的列秩综上,矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。综上,矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理:定理:矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的行秩矩阵的列秩证:证:任何矩阵任何矩阵A都可经过初等变换变为都可经过初等变换变为形式,形式,而而它的行秩为它的行秩为r,列秩也为列秩也为r。又,初等变换不改变矩阵的行秩与列秩,又,初等变换不改变矩阵的行秩与列秩,所以,所以,A的行秩的行秩rA的列秩的列秩定义定义5:矩阵的行秩矩阵的列秩,统称为矩阵的行秩矩阵的列秩,统称为矩阵的秩。矩阵的秩。记为记为r(A),或或rankA,或秩或秩A

13、。推论:推论:矩阵的矩阵的初等变换初等变换不改变不改变矩阵的秩矩阵的秩。2.2 2.2 矩阵秩的求法矩阵秩的求法.行阶梯形矩阵:行阶梯形矩阵:例如:例如:特点:特点:(1)可划出一条阶梯线,可划出一条阶梯线,线的下方全为零;线的下方全为零;(2)每个台阶只有一行,台阶每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素线的竖线后面的第一个元素为非零元,即非零行的第一为非零元,即非零行的第一个非零元个非零元行最简形矩阵:行最简形矩阵:在行阶梯形矩阵的基础上,还要求非零行的第一个非零元在行阶梯形矩阵的基础上,还要求非零行的第一个非零元为数为数1,且这些,且

14、这些1所在的列的其他元素全都为零。所在的列的其他元素全都为零。例如:例如:注:注:对于任何矩阵,总可以经过有限次初等对于任何矩阵,总可以经过有限次初等行变换行变换把它变把它变为为 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵和和行最简形矩阵行最简形矩阵。例例1 1:对矩阵对矩阵作行初等变换作行初等变换,使成为行阶梯矩阵使成为行阶梯矩阵.解解:解:解:看行秩看行秩例例2 2:求上三角矩阵的秩求上三角矩阵的秩 看看的的线性相关性:线性相关性:线性无关,线性无关,维数增加后得到的维数增加后得到的依然线性无关,依然线性无关,而而与与都都线性无关,线性无关,所以矩阵的秩行向量组的秩所以矩阵的秩行向量组的秩3非零行的行数非零

15、行的行数结论:结论:行阶梯形矩阵的秩非零行的行数行阶梯形矩阵的秩非零行的行数证明:证明:只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行 是线性无关就行了。是线性无关就行了。设设A是一阶梯形矩阵,不为零的行数是是一阶梯形矩阵,不为零的行数是r。因为初等列变换不改变矩阵的秩,所以适当地因为初等列变换不改变矩阵的秩,所以适当地变换列的顺序,不妨设变换列的顺序,不妨设其中其中显然,左上角的显然,左上角的r个个r维行向量线性无关,当分量增加为维行向量线性无关,当分量增加为n维时依然无关,所以矩阵维时依然无关,所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。的非零行的向量是线性无关的。加上

16、任一零行即相关,所以加上任一零行即相关,所以矩阵矩阵A的秩矩阵的秩矩阵A的行的行向量组的秩非零行的行数向量组的秩非零行的行数求矩阵秩的方法:求矩阵秩的方法:把矩阵用把矩阵用初等行变换初等行变换变成变成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵,则行阶梯形,则行阶梯形 矩阵矩阵中非零行的行数中非零行的行数就是原来就是原来矩阵的秩矩阵的秩。例例3:3:求求A的秩。的秩。由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知求向量组的秩、极大无关组的步骤求向量组的秩、极大无关组的步骤.(1)向量组)向量组作列作列向量构成矩阵向量构成矩阵A。(2)初等行变换初等行变换(行(行最简形最简形矩阵)矩阵)r(A)=B的非零

17、行的行数的非零行的行数(3)求出)求出B的列向量组的极大无关组的列向量组的极大无关组(4)A中与中与B的列的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为即为A的极大无关组。的极大无关组。(根据见(根据见引理引理2,幻灯片,幻灯片16)例例4:向量组向量组求向量组的秩和求向量组的秩和一个极大无关组。一个极大无关组。解:解:又因为又因为B的的1,2,5列是列是B的列向量组的一个极大无关组的列向量组的一个极大无关组所以,所以,是是的的一个极大无关组。一个极大无关组。考虑:考虑:是否还有其他的极大无关组?是否还有其他的极大无关组?与与例例5:求向量组:求向量组的

18、的一个极大无关组,并把其余一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示。向量用该极大无关组线性表示。解:解:设设则则B的的1,2列为极大无关组,且列为极大无关组,且所以所以为为所求的一个极大无关组,且所求的一个极大无关组,且2.3 2.3 矩阵秩的性质矩阵秩的性质(1)等价的矩阵,秩相同。等价的矩阵,秩相同。(2)任意矩阵任意矩阵有有(3)任何矩阵与可逆矩阵相乘,秩不变。任何矩阵与可逆矩阵相乘,秩不变。可逆,可逆,有有(4)当当AB=0时,有时,有(证明在习题课讲证明在习题课讲)3.3.矩阵的秩与行列式的关系矩阵的秩与行列式的关系定理定理:n阶方阵阶方阵A,即即A为可逆矩阵(也称为为可逆矩阵(也称为满秩矩阵满秩矩阵)A的的n个行(列)向量线性无关个行(列)向量线性无关A的的n个行(列)向量线性相关个行(列)向量线性相关

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