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1、1第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n3.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组二、向量组的秩二、向量组的秩一、极大线性无关组的概念一、极大线性无关组的概念三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系2第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n一、极大线性无关组的概念一、极大线性无关组的概念上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其中线性无关也称为中线性无关也称为线性独立线性独立。系数及右端项构成系数及右端项构成行向量行向量，则线性相关与线性无关的概念实，则线性相关与线
2、性无关的概念实反映了线性方程组中各个方程反映了线性方程组中各个方程是否关联是否关联或或是否独立是否独立。本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么，本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么，(1)该向量组中到底有多少个向量是独立的？该向量组中到底有多少个向量是独立的？(2)具体哪些向量是独立的？具体哪些向量是独立的？(3)其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？如果以线性方程组中各方程的如果以线性方程组中各方程的3第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n一、极大线性无关组的概念一、极大线性无关组的概念定义定义如果向量组如果向量组 中的
3、一个部分组中的一个部分组满足满足:(1)线性无关；线性无关；(2)向量组向量组 中的每一个向量都可由中的每一个向量都可由线性表示，线性表示，(即在即在 中再加一个向量就相关中再加一个向量就相关.)则称则称 为为 的的(一个一个)极大线性极大线性无关组无关组。4第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n则则 是一个极大线性无关组；是一个极大线性无关组；等都是极大线性无关组。等都是极大线性无关组。由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。需要讨论的问题需要讨论的问题(1)一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一？一个向量组中各极大
4、线性无关组的向量个数是否惟一？(2)如何求出向量组的一个极大线性无关组？如何求出向量组的一个极大线性无关组？如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？5第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n设有两个向量组设有两个向量组1.向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示定义定义若向量组若向量组()中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组(I I)线性表示，线性表示，则称则称向量组向量组()()能由向量组能由向量组(I I)线性表示线性表示。此时，对每个向量此时，对每个向量使得使得存在数存在数二、向量组的秩二、向量组的秩6第三章
5、维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n若记若记即有即有其中其中 n 为向量的维数。为向量的维数。则所谓的则所谓的向量组向量组()()能由向量组能由向量组(I I)线性表示线性表示意味着意味着使得使得存在矩阵存在矩阵1.向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩7第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1.向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩例如例如设设向量组向量组 能由能由 线性表示：线性表示：则有则有8第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1.向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示定理定理 设向量组设向量组
6、 可由可由 线性表示，线性表示，二、向量组的秩二、向量组的秩则向量组则向量组 线性相关。线性相关。若若换句话说，若换句话说，若 线性无关，则线性无关，则证明证明(略略)*推论推论n+1 个个 n 维向量一定线性相关。维向量一定线性相关。基本向量基本向量 线性表示线性表示因为任何因为任何 n 维向量都可由维向量都可由 n 维维9第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n 上述定理的直观解释上述定理的直观解释（仅以（仅以 为例）为例）(1)设由两个向量设由两个向量 构成的向量组，通过线性组合得到构成的向量组，通过线性组合得到三个向量三个向量显然，即使显然，即使 是是线性独立线性独立的，也不
7、可能线性组合出的，也不可能线性组合出三个三个性线独立性线独立的向量；的向量；更何况更何况 本身可能是本身可能是线性相关线性相关的。的。因此，向量组因此，向量组 必然是必然是线性相关线性相关的。的。(2)特别地，若特别地，若 “代表代表”某方程组中的两个方程，某方程组中的两个方程，显然，通过线性组合不可能得到更多的独立方程。显然，通过线性组合不可能得到更多的独立方程。10第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1.向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示2.向量组之间的等价向量组之间的等价定义定义 若向量组若向量组 与向量组与向量组 能够相互能够相互线性表示线性表示，此时此时,若记若记
8、其中其中 n 为向量的维数。为向量的维数。则存在矩阵则存在矩阵 和和 使得使得二、向量组的秩二、向量组的秩任何一个向量组与它的极大线性无关组是任何一个向量组与它的极大线性无关组是等价等价的。的。例如例如则称这两个则称这两个向量组向量组等价等价。11第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1.向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩性质性质(1)反身性，反身性，(2)对称性，对称性，(3)传递性，传递性，即向量组自己与自己等价；即向量组自己与自己等价；若若 与与 等价，等价，(I I)()()则则 与与 等价；等价；(I I)()()若若 与与 等价，且等价
9、，且 与与 等价，等价，()()(I I)()()()()则则 与与 等价。等价。(I I)()()2.向量组之间的等价向量组之间的等价12第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1.向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩定理定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量2.向量组之间的等价向量组之间的等价个数相等。个数相等。证明证明等价等价等价等价等价等价等价等价向量组向量组极大线性无关组极大线性无关组向量组向量组极大线性无关组极大线性无关组13第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1.
10、向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩定理定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量2.向量组之间的等价向量组之间的等价个数相等。个数相等。证明证明即即 可由可由 线性表示，线性表示，因此因此同理同理即得即得且且 线性无关，线性无关，14第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1.向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩推论推论(1)若两个线性无关的向量组等价，则它们所含的向量若两个线性无关的向量组等价，则它们所含的向量2.向量组之间的等价向量组之间的等价个数相等。个数
11、相等。(2)在一个给定的向量组中，各个极大线性无关组所含在一个给定的向量组中，各个极大线性无关组所含的向量个数相等。的向量个数相等。组的向量个数是惟一的。组的向量个数是惟一的。即即一个向量组中各极大线性无关一个向量组中各极大线性无关15第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1.向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示2.向量组之间的等价向量组之间的等价二、向量组的秩二、向量组的秩定义定义一个向量组中的极大线性无关组所含一个向量组中的极大线性无关组所含的向量个数称为的向量个数称为3.向量组的秩向量组的秩向量组的向量组的秩秩。结论结论等价的向量组秩相等。等价的向量组秩相等。16第三章
12、维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1.向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示2.向量组之间的等价向量组之间的等价3.向量组的秩向量组的秩二、向量组的秩二、向量组的秩4.向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系17第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n设设定理定理4.向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系二、向量组的秩二、向量组的秩的秩的秩则则的秩。的秩。通常说，通常说，矩阵的秩矩阵的秩等于等于行秩行秩等于等于列秩列秩(行秩行秩)(列秩列秩)此定理给出了一种求向量组的秩的方法。此定理给出了一种求向量组的秩的方法。18第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线
13、性无关组n证明证明(1)首先证明一个引理：首先证明一个引理：化为标准形化为标准形000其中其中000可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得事实上，对于矩阵事实上，对于矩阵下面利用反证法证明下面利用反证法证明可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得若若列列向量向量 线性无关，线性无关，则存在则存在0000000即即一定存在一定存在19第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n假设假设 则有则有0由由 Q 可逆，有可逆，有 不全为零，不全为零，这与这与 线性无关矛盾，因此引理成立。线性无关矛盾，因此引理成立。证明证明(1)首先证明一个引理：首先证明一个引理：可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得若
14、若列列向量向量 线性无关，线性无关，则存在则存在0020第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n证明证明它的一个极大线性无关组为它的一个极大线性无关组为则存在可逆则存在可逆0记为记为00 0(2)设由矩阵设由矩阵 A 的的列列构成的向量组构成的向量组 的秩为的秩为 s，对矩阵对矩阵 根据引理一定存在可逆阵根据引理一定存在可逆阵 和和 使得使得矩阵矩阵 R，使得，使得00 0即得即得的秩的秩.进一步有进一步有的秩的秩.21第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n4.向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系二、向量组的秩二、向量组的秩推论推论设设 A 为为 mn 阶矩阵
15、，且阶矩阵，且 则有则有(1)当当 r=m 时，时，A 的的行行向量线性无关，向量线性无关，当当 r m 时，时，A 的的行行向量线性相关；向量线性相关；(2)当当 r=n 时，时，A 的的列列向量线性无关，向量线性无关，当当 r n 时，时，A 的的列列向量线性相关；向量线性相关；特别地，方阵特别地，方阵 A 的的行行(列列)向量线性无关的充要条件向量线性无关的充要条件是是22第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 首先介绍几个引例，用来掌握首先介绍几个引例，用来掌握在什么情况下在什么情况下，可以
16、非常，可以非常容易地知道一个容易地知道一个列向量组列向量组的的秩秩、极大线性无关组极大线性无关组以及它以及它们之间的们之间的线性组合关系线性组合关系。引例引例1(1)向量组的秩为向量组的秩为 2;(2)极大线性无关组为极大线性无关组为(3)组合关系组合关系23第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n引例引例2(1)向量组的秩为向量组的秩为 2;(2)极大线性无关组为极大线性无关组为(3)组合关系组合关系(1)向量组的秩为向量组的秩为 3;(2)极大线性无关组为极大线性无关组为引例引例3(3)组合关系组合关系24第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n三、如何求向量组的极大无
17、关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系1.原理原理定理定理设矩阵设矩阵 A 经过经过行行变换得到矩阵变换得到矩阵 B，矩阵矩阵 B 的的列列向量有向量有相同的线性组合关系相同的线性组合关系。证明证明设设则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵 P，使得，使得若若有有若若有有即方程即方程 与与 同解，同解，故故 与与 有有相同的线性组合关系。相同的线性组合关系。则矩阵则矩阵 A 的的列列向量与向量与25第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系1.原理原理2.方法方法(1)无论所给的向量组是行向
18、量还是列向量，都按照无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量列向量排列，并构成矩阵排列，并构成矩阵 A；(2)对矩阵对矩阵 A 进行初等进行初等行变换行变换得到得到行标准形行标准形矩阵矩阵 B；(3)根据矩阵根据矩阵 B 的秩及其列向量的线性组合关系，直接得出的秩及其列向量的线性组合关系，直接得出原向量组的原向量组的秩秩、极大线性无关组极大线性无关组以及以及线性组合关系线性组合关系。26第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n例例 设设 求求(1)向量组的秩向量组的秩;(2)向量组的极大线性无关组；向量组的极大线性无关组；(3)将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。将其余
19、向量表示为极大线性无关组的线性组合。解解行变换行变换27第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n(1)向量组的秩为向量组的秩为 2;(2)极大线性无关组为极大线性无关组为(3)线性组合关系为线性组合关系为行变换行变换28第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n解解行变换行变换例例设设(1)向量组的秩向量组的秩;(2)向量组的极大线性无关组；向量组的极大线性无关组；(3)将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。求求29第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n 由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择不同的极大线性无关组，不同的极大线性无关组，(1)向量组的秩为向量组的秩为 2;(2)极大线性无关组为极大线性无关组为(3)线性组合关系为线性组合关系为行变换行变换行行变换变换，此时只需按要求对矩阵继续进行此时只需按要求对矩阵继续进行比如：比如：30第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n极大线性无关组为极大线性无关组为线性组合关系为线性组合关系为第一种选择第一种选择行变换行变换31第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n行变换行变换第二种选择第二种选择极大线性无关组为极大线性无关组为线性组合关系为线性组合关系为