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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 第一章第一章（Existence criterion for limits&Two important limits）二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在的两个准则一、极限存在的两个准则三、内容小结三、内容小结12/31/20221返回返回上页上页下页下页目录目录1.单调有界准则单调有界准则数列数列单调增加单调增加单调减少单调减少准则准则I 单调单调有界有界数列必有极限数列必有极限单调单调上升有上界上升有上界数列必有极限数列必有极限单调单调下降有下界下降有下界数列必有极限数列必有极限说说
2、明明:(1)在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛有界，但有界的数列不一定收敛(2)利用准则利用准则来判定数列收敛必须来判定数列收敛必须同时同时满足满足 数列数列单调单调和和有界有界这两个条件这两个条件12/31/20222返回返回上页上页下页下页目录目录 (3)准则准则只能判定数列极限的存在性，而未给出只能判定数列极限的存在性，而未给出求极限的方法求极限的方法例如，例如，数列数列，虽然有界但不单调；，虽然有界但不单调；，虽然是单调的，但其无界，虽然是单调的，但其无界，易知，这两数列均发散易知，这两数列均发散数列数列(4)对
3、于对于准则准则I，函数极限根据自变量的不同变化过程函数极限根据自变量的不同变化过程也有类似的也有类似的准则，准则，只是准则形式上略有不同只是准则形式上略有不同.例如，例如，准则准则I 设函数设函数在点在点的某个左邻域内单调的某个左邻域内单调在在的左极限的左极限必存在必存在并且有界，则并且有界，则12/31/20223返回返回上页上页下页下页目录目录作为准则作为准则的应用，我们讨论的应用，我们讨论一个重要极限：一个重要极限：首先，证首先，证是单调的是单调的所以，数列所以，数列是单调增加的是单调增加的 12/31/20224返回返回上页上页下页下页目录目录显然，显然，单调性的证明可证得数列单调性的
4、证明可证得数列是单调增加的设数列是单调增加的设数列由于数列由于数列是单调增加的，是单调增加的，所以数列所以数列是单调减少的是单调减少的.又又其次，证其次，证有界有界类似于类似于，则，则则则.综上，综上，根据极限存在准则根据极限存在准则可知，数列是可知，数列是收敛的收敛的.12/31/20225返回返回上页上页下页下页目录目录通常用字母通常用字母来表示这个极限，即来表示这个极限，即也可以证明，当也可以证明，当取实数而趋于取实数而趋于或或时，函数时，函数的极限都存在且都等于的极限都存在且都等于，即，即利用变量代换，可得更一般的形式利用变量代换，可得更一般的形式12/31/20226返回返回上页上页
5、下页下页目录目录例例1解解:例例2 求求解解:12/31/20227返回返回上页上页下页下页目录目录2.夹逼准则夹逼准则准则准则II证证:由由条件条件(2),当当时时,当当时时,令令则当则当时时,有有由由条件条件(1)即即故故 12/31/20228返回返回上页上页下页下页目录目录我们可将我们可将准则准则II推广到函数的情形：推广到函数的情形：准则准则II且且注意注意:准则准则II和和准则准则II统统称为称为夹逼准则夹逼准则.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与关键是构造出关键是构造出利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限12/31/20229返回返回上页上页下页下页目录目录例例3
6、解：解：由由夹逼准则夹逼准则得得12/31/202210返回返回上页上页下页下页目录目录解解:利用夹逼准则利用夹逼准则.且且由由思考题：思考题：？1211lim222=+pppnnnnnnLL12/31/202211返回返回上页上页下页下页目录目录夹逼准则不仅说明了极限存在，夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的而且给出了求极限的方法方法 下面利用它证明另一个重要的下面利用它证明另一个重要的圆扇形圆扇形AOB的面积的面积证证:当当即即亦即亦即时，时，显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积故有故有注注极限公式：极限公式：12/31/202212返回返回上页上页下页下页目录目录
7、例例4 求求解解:例例5 求求（课本例（课本例7）解解:令令则则因此因此原式原式注注:利用变量代换，可得更一般的形式利用变量代换，可得更一般的形式12/31/202214返回返回上页上页下页下页目录目录例例6 求求（课本（课本 例例5）解解:例例7 求求（补充题）（补充题）解解:12/31/202215返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.极限存在的两个准则极限存在的两个准则夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则.2.两个重要极限两个重要极限或或注注:代表相同的表达式12/31/202216返回返回上页上页下页下页目录目录课后练习课后练习习习 题题 1-6 1（2）（）（4）
8、2（2）（）（4）（）（6）3（3）思考与练习思考与练习1.填空题填空题 (14)12/31/202217返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：原原式式=2.求求 12/31/202218返回返回上页上页下页下页目录目录3.证明证明 证明：证明：对任一对任一，有，有，则当，则当时，有时，有于是于是,（1）当）当时，时，由夹逼准则得由夹逼准则得（2）当）当时，时，同样有同样有12/31/202219返回返回上页上页下页下页目录目录故极限存在，故极限存在，4.设设,且且求求解：解：设设则由递推则由递推公式有公式有数列单调递减有下界，数列单调递减有下界，故故利用极限存在准则利用极限存在准则12/31/202220返回返回上页上页下页下页目录目录证证:显然显然证明下述数列有极限证明下述数列有极限.即即单调增单调增,又又存在存在“拆项相拆项相消消”法法 5.设设12/31/202221