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1、常用统计量及其分布统计量及其分布问题的提出样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时,往往不是直接使用样本本身,而是针对不同的问题构造样本的适当函数,利用这些样本的函数进行统计推断。即用样本去推断总体情况,需要对样本进行一定的“加工”,这就要构造一些样本的适当函数,它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来。这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。它是完全由样本所决定的量。统计量及其分布一.统计量的定义设是来自总体 X 的一个样本,12,nXXX),(21nXXXg是的函数。nXXX21,若 g 是连续函数且 g 中不含任何未知参数,则称是一个统计量。12(,)ng XXX注:统计量是样本的
2、函数,它是一个随机变量。其中:是的样本值nxxx,21nXXX21,称为的观察值),(21nxxxg12(,)ng XXX定义1统计量及其分布几个常用的统计量2名称统计量观察值样本均值样本方差样本标准差样本 k 阶原点矩样本 k 阶中心矩11niiXXn=2211()1niiSXXn=2211()1niiSXXn=11nkkiiAXn=11()nkkiiBXXn=,k=1,2,11niixxn=2211()1niisxxn=2211()1niissxn=11nkkiiaxn=11()nkkiibxxn=统计量及其分布性质：设总体 X 的期望、方差、k 阶矩均存在记：2(),(),()kkE X
3、D XE X=则：1)1,AX=(),E X=()D X=2n 2)若(),kkE X=,()pkkAn 辛钦大数定律3)2(1)nS=21(),niiXX=2nB=2212AAB=11niiXXn=11nkkiiAXn=2211()1niiSXXn=11()nkkiiBXXn=4)2()E S=2,2()E B=21nn 统计量及其分布11niiXXn=11nkkiiAXn=2211()1niiSXXn=11()nkkiiBXXn=证明：3)2212AAB=21()niiXX=221(2)niiiXX XX=+22112nniiiiXXXnX=+=+22212niiXnXnX=+=+221n
4、iiXnX=211()niiXXn=2211niiXXn=即：2212AAB=1niiX=统计量及其分布11niiXXn=11nkkiiAXn=2211()1niiSXXn=11()nkkiiBXXn=证明：4)2()E S=2,2()E B=21nn 21()niiEXX=221niiEXnX=221()()niiE XnE X=22()()nnXEEX=2()()D XE Xn=+2222()()nnn=+=+2(1)n=2()E S=211()1niiEXXn=2 2()()D XE Xn+统计量及其分布注:(1)(5)均是随机变量,实质上它们是样本函数的“数字特征”，与总体的具体分布“无关”，由样本完全决定;