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1、第第8章章 流体动力学流体动力学 第八章第八章 流体动力学流体动力学 Fluid dynamics 1 第第8章章 流体动力学流体动力学 连续性方程及其应用连续性方程及其应用 Continuity equation&Its application 第三节第三节 2 第第8章章 流体动力学流体动力学 引言 3 流体和自然界中的其他物质一样，遵循质量守恒定律。连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。其目的是确立流体流速与有效截面面积之间的关系。如无特别说明，本章的研究对象均为：定常流动的流体。第第8章章 流体动力学流体动力学 元流/微小流束的连续性方程 4 如图所示，为一段定常流动的流束。从中
2、选取一段如虚线所示的元流（微小流束），依据质量守恒定律，可得：222111ddddAtuAtu=此式为可压缩流体定常流动时元流的连续性方程。对于不可压缩流体，密度为常数，则有：222111ddAuAu=2211ddAuAu=第第8章章 流体动力学流体动力学 流束/总流的连续性方程 5 总流是元流的集合，因此对可压缩流体定常流动时元流的连续性方程积分，可得：同理，对于不可压缩的总流而言，则有：222111AuAu=2211AuAu=222111ddAuAu=2211ddAuAu=说明：连续性方程对理想流体和黏性流体均适用！第第8章章 流体动力学流体动力学 连续性方程的应用 6 222111AuA
3、u=2211AuAu=d2 v1 d1 v2 例题：例题：有一输水管道有一输水管道,水自截面水自截面1-1流向截面流向截面2-2。测得截面。测得截面1-1的水流平的水流平均流速均流速v1=2m/s，已知，已知d1=0.5m，d2=1m，试求截面，试求截面2-2处的平均流速处的平均流速v2为为多少？多少？【解解】：根据连续性方程，可知：根据连续性方程，可知：22121244ddvv=2212120.520.5/1dvvm sd=第第8章章 流体动力学流体动力学 连续性方程的微分形式 7 如图所示，在如图所示，在非定常流动非定常流动的流场中任的流场中任取一个微元直角平行六面体，其边长取一个微元直角
4、平行六面体，其边长分别为分别为dx、dy和和dz。假设该六面体形心的坐标为假设该六面体形心的坐标为(x,y,z)，在某一瞬时在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为坐标轴的速度分量为(ux,uy,uz)，流体，流体的密度为的密度为。则：沿则：沿x轴方向，六面体左、右两侧的轴方向，六面体左、右两侧的密度和速度可表示为如图所示。密度和速度可表示为如图所示。x y O dx dy dz ux uz uy z 2xxu dxux2dxx+2dxx2xxu dxux+第第8章章 流体动力学流体动力学 连续性方程的微分形式 8 由已知条件可知，在由已知条件可知，在dt时间
5、内，沿时间内，沿x轴轴方向，从左边微元面积方向，从左边微元面积dydz流入的流流入的流体质量为：体质量为：x y O dx dy dz ux uz uy z 2xxu dxux2dxx+2dxx2xxu dxux+tzyxxuuxxxxddd2d2d同理，在同理，在dt时间内，沿时间内，沿x轴方向，从右轴方向，从右边微元面积边微元面积dydz流出的流体质量为：流出的流体质量为：tzyxxuuxxxxddd2d2d+沿沿x轴方向流入轴方向流入-流流出的流体净质量为：出的流体净质量为：tzyxxuxdddd)(第第8章章 流体动力学流体动力学 连续性方程的微分形式 9 由于流体是作为连续介质来研究
6、的，所由于流体是作为连续介质来研究的，所以在以在dt时间内，六面体内三个方向时间内，六面体内三个方向流体流体质量的总变化质量的总变化，唯一的可能是因为六面，唯一的可能是因为六面体内体内流体密度的变化而引起的流体密度的变化而引起的。因此：。因此：x y O dx dy dz ux uz uy z 2xxu dxux2dxx+2dxx2xxu dxux+zyxzyxtttzyxzuyuxuzyxddddddddddd)()()(+=+0)()()(=+zuyuxutzyx此式即可压缩非定常三维流动此式即可压缩非定常三维流动连续性方程的微分形式！连续性方程的微分形式！第第8章章 流体动力学流体动力学
7、 连续性方程的微分形式 10 连续性方程微分形式的连续性方程微分形式的几点说明：几点说明：x y O dx dy dz ux uz uy z 2xxu dxux2dxx+2dxx2xxu dxux+0)()()(=+zuyuxutzyx1)对于定常流动，方程转变为：对于定常流动，方程转变为：0)()()(=+zuyuxuzyx2)对于不可压缩流体定常流动，方程转变为：对于不可压缩流体定常流动，方程转变为：0=+zuyuxuzyx物理意义：物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体体积流量等于零，也就是说，在同
8、一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。积流量与流出的体积流量相等。第第8章章 流体动力学流体动力学 微分连续性方程的应用 11 0)()()(=+zuyuxutzyx0=+zuyuxuzyx例题：假设有一不可压缩流体三维定常流动，假设有一不可压缩流体三维定常流动，其速度分布规律为其速度分布规律为ux=3(x+y3)，uy=4y+z2，uz=x+y+2z。试分析该流动是否连续。试分析该流动是否连续。【解解】：根据不可压缩流体不可压缩流体连续性方程的微分形式，得到：3xux=4yuy=2zuz=09=+zuyuxuzyx不满足方程，该流动不连续不满足方程，该流动不连续 第第8章章 流体动力学流体动力学 连续性方程、适用条件及其应用 连续性方程的微分形式、适用条件及其应用 本节小结本节小结 12