《江苏省南通市2022-2023学年高三上学期期中学情检测数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南通市2022-2023学年高三上学期期中学情检测数学试题含答案.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高三数学第 1页（共 4 页）20222023 学年度第一学期期中学情检测高 三 数 学一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知4 5 6 7A，6 7 8B，若UAB，则()UCAB A6 7，B4 5 6 7 8，C4 58，D2 已知复数2i()zaa R，且2z是纯虚数，则z A2 2B0C2D23 已知角满足23sin8cos，则sin(2)2A79B79C13D2 234 随着我县“三河六岸”工程主要设施的陆续建
2、成，我县的城市生态功能得到恢复，城市景观风貌持续改善，居民的幸福感不断提升该工程中的某圆拱的跨度是96 m，拱高是 16 m，则该圆拱所在圆的半径是A64 mB80 mC100 mD40 m5已知等差数列na的公差不为 0，且3100aa，则集合|115nx xan，的子集个数是A152B9C1024D5126在平面直角坐标系xOy中，已知(3 4)P，长度为 2 的线段 AB 的端点分别落在x轴和y轴上，则PA PB 的取值范围是注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，包含单选题（18）多选题 912，填空题（第 13 题第 16 题，共 80 分）、解答题
3、（第 1722 题，共 70 分）。本次考试时间 120 分钟，满分 150 分、考试结束后，请将答题卡交回。2答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。3答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。4如有作图需要，可用 2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。江苏省南通市高三数学第 2页（共 4 页）A26，B3 5，C4 6，D15 35，7已知两个圆锥的母线长均为 6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是
4、1:2，则它们的体积之和是A3516 23B32 516 23C16 709D(3516 2)8已知ee1a，1sineb，22e 12ec，则AabcBcbaCbacDacb二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9 已知函数()2sin()(0)4f xxb的最小正周期T满足322T，且(1)8P，是()f x的一个对称中心，则A2B()f x的值域是2 2，C8x是()f x的一条对称轴D()4f x是偶函数10在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良
5、马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢则A 驽马第七日行九十四里B 第七日良马先至齐C 第八日二马相逢D 二马相逢时良马行一千三百九十五里11已知实数x，y满足224xyxy，则A22y B4 34 333xyC44xyD22883xy12设定义在R上的函数()f x和()g x的导数分别为()f x和()g x，若(2)(1)2f xgx，()(1)f xg x，且(1)g x为奇函数，则A(1)0gB()g x的图象关于直线2x 对称高三数学第 3页（共 4 页）C20211()0kg
6、kD(1)0f 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上卡相应位置上13 在ABC中，三边长是公差为2的等差数列，若ABC是钝角三角形，则其最短边长可以为（写写出一个满足条件的值即可出一个满足条件的值即可）14已知20()(1)1xxf xf xx，则2(log 12)f15如图是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线已知该模型左、右两侧的两段曲线AB与CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双
7、曲线的对称中心对称，且30AB cm，20AD cm，则该双曲线的离心率是 16在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD若四棱锥PABCD的体积为9，且其顶点均在球O上，则当球O的体积取得最小值时，AP，此时球心O到平面PBD的距离是四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且sincos0aBbA，cos2cos5BC（1）求tanB；（2）若边AB上的高为 1，求ABC 的面积18（12 分）已知nS为正项数列na的前n项和，且1
8、1a，当2n时，21(1)2nnnnnSn S（1）证明nSn为等差数列，并求na的通项公式；（2）若3tannnba，求数列1nnb b的前n项和nT高三数学第 4页（共 4 页）19（12 分）如图所示，在四棱锥 ABCDE 中，ABC是等边三角形，CDBE，BDCD，22ADBECD，6DE（1）记平面ACD与平面ABE的交线为l，证明：lCD；（2）求二面角DBEA的余弦值20（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在抛物线2:4C xy上，抛物线C在A，B处的切线分别为1l，2l，且1l，2l交于点P（1）若点(02)P，求AB的长；（2）从下面中选取一个作为条件，证明另外
9、一个成立直线AB过抛物线C的焦点；点P在抛物线C的准线上21（12 分）已知32()f xxax()aR，其极小值为4（1）求a的值；（2）若关于x的方程()f xt在(03)，上有两个不相等的实数根1x，2x，求证：1234xx22（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为 2，过点3(1)2A，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N，且94OM ON ，求证：直线l过定点CABDE20222023 学年度第一学期高三期中学情检测数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 4
10、0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C2A3B4B5D6D7A8B二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9AC10AD11BCD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分12ACD。13(26)，内的任意值均可1434163，32四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且sincos0aBbA，cos2cos5
11、BC（1）求tanB；（2）若边AB上的高为 1，求ABC 的面积解：（1）因为sincos0aBbA，所以cossinabAB，在ABC 中，由正弦定理sinsinabAB，所以sincosaaAA，所以sincosAA，所以tan1A，因为(0)A，所以34A2 分在ABC 中，ABC，所以cos2cos()cos2cos()BABBABcos2coscos2sinsin2cossin5BABABBB，所以22222(2cossin)4cos4sincossin55cos5sinBBBBBBBB，所以2224sin4sincoscos(2sincos)0BBBBBB，15 2所以2sinc
12、osBB，所以1tan2B 5 分（2）因为(0)A，34A，所以2sin2A因为边AB上的高sin1bA，所以12sinbA7 分在ABC 中，ABC，所以sinsin()sin()sincoscossinCABABABAB22 52510()252510 在ABC 中，由正弦定理sinsinbcBC，所以102sin101sin55bCcB9 分所以ABC 的面积1121sin2 12222SbcA 10 分另解：过点 C 向AB作垂线，垂足为H在ACH 中，4CAHCAB，1CH，7 分所以1AH，2AC 在BCH 中，1tan2B，1CH，所以1BH，所以1ABBHAH，9 分所以AB
13、C 的面积111 122S 10 分18（12 分）已知nS为正项数列na的前n项和，且11a，当2n时，21(1)2nnnnnSn S（1）证明nSn为等差数列，并求na的通项公式；（2）若3tannnba，求数列1nnb b的前n项和nT解：（1）因为21(1)2nnnnnSn S，所以1112nnSSnn，所以nSn为等差数列2 分因为11111Sa，所以111(1)(1)22nSnnn，所以21()2nSnn，所以22()2nnnS4 分当2n时，22221()()22nnnnnnnaSS22223()()2222nnnnnnnnn，当1n时，3111a，所以3nan6 分（2）因为3
14、tantannnban，所以1tantan(1)nnbbnn8 分因为tan(1)tantan11tantan(1)nnnn，所以tan(1)tantantan(1)1tan1nnnn10 分所以tan(1)tantan2tan1tan3tan2111tan1tan1tan1nnnT tan(1)tan1tan(1)1tan1tan1nnnn12 分19（12 分）如图所示，在四棱锥 ABCDE 中，ABC是等边三角形，CDBE，BDCD，22ADBECD，6DE（1）记平面ACD与平面ABE的交线为l，证明：lCD；（2）求二面角DBEA的余弦值解：（1）在四棱锥 ABCDE 中，CDBE，
15、又因为BE平面ABE，CD平面ABE，所以CD平面ABE2 分又因为平面ACD与平面ABE的交线为l，CD平面ACD，所以lCD4 分（2）因为CDBE，BDCD，所以 BDBE在直角BDE中，因为6DE，2BE，所以2BD 在直角BCD中，因为2BD，2CD，所以2BC 取BC的中点O，连接OA，OD，在等边ABC中，OABC，3OA 在等腰直角DBC中，ODBC，1ODCABDECABzEODyx在OAD中，因为3OA，1OD，2AD，所以ODOA以OC，OD，OA为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz则 O(0，0，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，B(-1，0，0)，
16、(003)A，所以(103)AB ，(1 1 0)CD，所以2(22 0)BECD，设 n1(x1，y1，z1)为平面 ABE 的法向量，则 n1AB 0，n1BE 0，得1130 xz，11xy，取11z ，所以1(331)，n为平面 ABE 的一个法向量8 分因为2(00 1)，n为平面 DBE 的法向量，所以1212121777，nncos nn，所以二面角DBEA的余弦值为7712 分20（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在抛物线2:4C xy上，抛物线C在A，B处的切线分别为1l，2l，且1l，2l交于点P（1）若点(02)P，求AB的长；（2）从下面中选取一个作为条
17、件，证明另外一个成立直线AB过抛物线C的焦点；点P在抛物线C的准线上解：（1）设211()4xA x，222()4xB x，因为2:4C xy，所以24xy，所以2xy，所以抛物线C在A处的切线方程是2211111()4222xxxxyxxx，即21124xxyx2 分同理可得抛物线C在A处的切线方程是22224xxyx由2112222424xxyxxxyx，解得121224PPxxxx xy，.4 分因为(02)P，所以12120224PPxxxx xy，所以124 2ABxx6 分（2）：因为211()4xA x，222()4xB x，所以2121111444AFxxkxx，22244BF
18、xkx8 分因为直线AB过抛物线C的焦点，所以2212124444xxxx，所以124x x ，10 分所以1214Px xy，所以点P在抛物线C的准线上12 分：因为点P在抛物线C的准线上，所以1214Px xy，所以124x x 8 分所以2121111444AFxxkxx，所以22212212211122144444444BFAFxxxx xxxxxkkxxx，10 分又因为 F 是公共点，所以A，B，F三点共线，所以直线AB过抛物线C的焦点12 分21（12 分）已知32()f xxax()aR，其极小值为4（1）求a的值；（2）若关于x的方程()f xt在(0 3)，上有两个不相等的
19、实数根1x，2x，求证：1234xx【解】（1）因为32()f xxax，所以2()32fxxax当0a 时，2()30fxx，所以()f x单调递增，没有极值，舍去2 分当0a 时，在区间2()3a，上，()0fx，()f x单调递增，在区间2(0)3a，上，()0fx，()f x单调递减，在区间(0)，上，()0fx，()f x单调递增，所以当0 x 时，()f x的极小值为(0)0f，舍去4 分当0a 时，在区间(0)，上，()0fx，()f x单调递增，在区间2(0)3a，上，()0fx，()f x单调递减，在区间2()3a，上，()0fx，()f x单调递增，所以当23ax 时，()
20、f x的极小值为324()4327afa 所以3a 6 分（2）由（1）知，在区间(0)，上，()0fx，()f x单调递增，在区间(0 2)，上，()0fx，()f x单调递减，在区间(2)，上，()0fx，()f x单调递增，所以不妨设12023xx下面先证124xx即证124xx，因为12023xx，所以2142x，又因为区间(0 2)，上，()f x单调递减，只要证12()(4)f xfx，又因为12()()f xf x，只要证22()(4)f xfx，只要证22()(4)0f xfx设()()(4)(02)g xf xfxx，则2()()(4)3(2)3(4)(4)2)6(2)0g
21、xfxfxx xxxx，所以()g x单调递增，所以()(0)0g xg，所以22()(4)0f xfx9 分下面先证123xx设2()26h xxx，因为32()()56(2)(3)f xh xxxxx xx，在区间(0 2)，上，()()f xh x；在区间(2 3)，上，()()f xh x设33(0)2x，13()()f xh xt，因为11()()f xh x，所以31()()h xh x，所以31xx设4(2 3)x，24()()f xh xt，因为22()()f xh x，所以24()()h xh x，所以42xx因为34()()h xh xt，所以343xx，所以34123xx
22、xx12 分22（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为 2，点3(1)2A，在椭圆C上直线l交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N（1）若点P，Q分别为椭圆的左右顶点，求AMN的面积；（2）若94OM ON ，求证：直线l过定点【解】（1）方法一：设椭圆C的焦距为2c，则1c 不妨设1(1 0)F ，2(1 0)F，所以222330()22AF，221352()22AF，所以12354222AFAFa，解得2a 因为223bac，所以椭圆C的标准方程22143xy 2 分方法二：设椭圆C的焦距为2c，则1c 由2222219141
23、acbabc，解得2a，223bac，所以椭圆C的标准方程22143xy2 分不妨设(2 0)P ，(2 0)Q，则直线 AP 的方程为1(2)2yx，直线 AQ 的方程为3(2)2yx 令0 x，得1My，3Ny，所以3 1 2MN 所以AMN的面积11 2 12S 4 分（2）显然直线 AP，AQ 斜率都存在设直线 AP 的方程为13(1)2yk x令0 x，得132Myk 设直线 AQ 的方程为23(1)2ykx，同理可得232Nyk 因为94OM ON ，所以12121233399()()()22244kkk kkk，所以12123()2k kkk8 分设直线l的方程为3(1)()12m xn y由221433(1)()12yxm xn y，得23322(412)()(126)()63011yynmnmxx，所以12126412mnkkn，1263412mk kn，所以312663()2412412mnmnn，所以831mn，所以18332xy ，解得732xy ，.所以直线l过点3(7)2H，12 分