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1、 第一章 行列式和线性方程组的求解 1.11.1 二阶二阶,三阶行列式三阶行列式 1.21.2 n 阶行列式的概念阶行列式的概念2011.9.19设二元一次线性方程组为设二元一次线性方程组为 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式 当系数行列式当系数行列式 D 0时时,则方程组有唯则方程组有唯一解一解,其解可表示为其解可表示为:则方程组的解为则方程组的解为例例1 1 求解方程组求解方程组 如果定义三阶行列式如下如果定义三阶行列式如下(对角线法则对角线法则）：那么对三元一次方程组那么对三元一次方程组a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 其中其中例例2 2在系数行列式在
2、系数行列式 D 0 时时,问题：问题：4 阶行列式应如何定义阶行列式应如何定义?a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44问题：问题：怎样定义怎样定义n阶行列式阶行列式?例如例如 12 n 是一个是一个n阶排列阶排列,叫自然排列叫自然排列.全排列的逆序数、对换全排列的逆序数、对换在一个排列在一个排列 中中,如果一个大如果一个大数排在小数的前面数排在小数的前面,则称这两个数构则称这两个数构成一个成一个逆序逆序.一个排列的逆序总数称一个排列的逆序总数称为为逆序数逆序数,表示为表示为l 如果如果为偶数为偶数,则称为则
3、称为偶排列偶排列.为奇数为奇数,则称为则称为奇排列奇排列.定义定义l 如果如果例例3 3因为因为所以所以 23541 是一个奇排列是一个奇排列.例例4 4l 对换对换:在一个排列中互换两个数位置在一个排列中互换两个数位置的的 变动变动(其它数不动其它数不动).).对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.需要进行需要进行 2s+1 次相邻对换次相邻对换.定理定理1 1所以对换改变排列的奇偶性所以对换改变排列的奇偶性.奇排列奇排列s个个偶排列偶排列t个个(1,2)(1,2)对对对对换换换换(1,2)(1,2)对换对换对换对换全部全部 n(2)阶排列中奇偶排列阶排列中奇偶排列各占一半各占一半.定理
4、定理2 2 用排列观点总结三阶行列式用排列观点总结三阶行列式:n 阶行列式的定义阶行列式的定义l为为 3！项代数和项代数和;l 每项为取自不同行列的每项为取自不同行列的3个元素之积个元素之积;l 行按自然顺序取时行按自然顺序取时,每项符号由列标排每项符号由列标排 列的奇偶性决定列的奇偶性决定.定义定义此行列式可简记为此行列式可简记为或或n阶行列式定义阶行列式定义:l为为 n!项代数和项代数和;l 每项为取自不同行列的每项为取自不同行列的n个元素之积个元素之积;l 行按自然顺序取时行按自然顺序取时,每项符号由列标排每项符号由列标排 列的奇偶性决定列的奇偶性决定.1.1.一阶行列式一阶行列式2.2
5、.二、三阶行列式二、三阶行列式不是绝对值！不是绝对值！注意注意对角线法则对角线法则3.3.四阶行列式四阶行列式a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44计算上三角形行计算上三角形行列式列式例例5 5计算行列式计算行列式例例6 6例例7 7 在在下下面面的的四四阶阶行行列列式式中中，求求4 4 和和3 3 的系数。的系数。-a11 -a12 -a13 -a14 -a21 -a22 -a23 -a24 -a31 -a32 -a33 -a34 -a41 -a42 -a43 -a44问题问题:如何决定下面一般项的符号如何决定下面一般项的符号?l 根据这个结论根据这个结论,也可以把行列式表示为也可以把行列式表示为:l 行列式还有其它的定义方式行列式还有其它的定义方式l 一般行列式不用定义来求值一般行列式不用定义来求值l 主要利用行列式性质求值主要利用行列式性质求值