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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 函数的幂级数展开 由泰勒公式知道,可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和.如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数,就为函数的研究提供了一种新的方法.返回返回返回返回二、初等函数的幂级数展开式一、泰勒级数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、泰勒级数在第六章在第六章3的泰勒定理中曾指出的泰勒定理中曾指出,若函数若函数f在点在点x0 的某邻域内存在直至的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数阶的连续导数,则则这里为这里为拉格朗日型余项拉格朗日型余项返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于余
2、由于余项项是关于是关于 的高的高阶阶无无穷穷小小,因此因此 在点在点 附近附近 f 可用可用(1)式右式右边边的多的多项项式来近似代替式来近似代替,这是泰勒公式带来的重要结论这是泰勒公式带来的重要结论.再再进进一步一步,设设函数函数 f 在在 处处存在任意存在任意阶导阶导数数,就就 可以由函数可以由函数 f 得到一个幂级数得到一个幂级数 其中其中 在在x与与x0之间之间,称称(1)式为式为 f 在点在点的泰勒公式的泰勒公式.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页通常称通常称(3)式式为为 f 在在 处处的的泰勒泰勒级级数数.对对于于级级数数(3)是否能在点是否能在点 附近确切地表达附
3、近确切地表达 f,或者或者说级说级数数(3)在点在点 附近的和函数是否就是附近的和函数是否就是 f 本身本身,这就是本节这就是本节 所要着重讨论的问题所要着重讨论的问题.请先看一个例子请先看一个例子.例例1 由于函数由于函数在在处处的任意的任意阶导阶导数都等于数都等于0(见见第六章第六章4 第第 二段末尾二段末尾),即即 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此 f 在在 的泰勒级数为的泰勒级数为 显显然它在然它在 上收上收敛敛,且其和函数且其和函数.由由 此看到此看到,对一切对一切 都有都有.上例说明上例说明,具有任意阶导数的函数具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不其泰勒级数
4、并不 都能收敛于该函数本身都能收敛于该函数本身,哪怕在很小的一个邻域内哪怕在很小的一个邻域内.那么怎样的函数那么怎样的函数,其泰勒级数才能收敛于它本身呢其泰勒级数才能收敛于它本身呢?返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理14.11 设设 f 在点在点 具有任意具有任意阶导阶导数数,那么那么 f 在在 区区间间 上等于它的泰勒上等于它的泰勒级级数的和函数的数的和函数的 充分条件是充分条件是:对对一切一切满满足不等式足不等式 的的,有有 这里这里 是是f 在点在点 泰勒公式的余项泰勒公式的余项.本定理的证明可以直接从第六章本定理的证明可以直接从第六章3泰勒定理推出泰勒定理推出.如
5、果如果 f 能在点能在点 的某的某邻邻域上等于其泰勒域上等于其泰勒级级数的和函数的和函 数数,则则称函数称函数 f 在点在点的的这这一一邻邻域内可以展开成泰域内可以展开成泰勒级数勒级数,并称等式并称等式返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的右的右边为边为 f 在在 处处的泰勒展开式的泰勒展开式,或或幂级幂级数展数展 开式开式.由级数的逐项求导性质可得由级数的逐项求导性质可得:若若 f 为幂级为幂级数数在收在收敛敛区区间间 上的和上的和函函数数,则则 就是就是 f 在在 上的泰勒展开式上的泰勒展开式,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即幂级数展开式是惟一的即幂级数展开式
6、是惟一的.在在实际应实际应用上用上,主要主要讨论讨论函数在函数在 处处的展开式的展开式,这时这时(3)式就变成式就变成称为麦克劳林级数称为麦克劳林级数.从定理从定理14.11知道知道,余项对确定函数能否展开为幂级余项对确定函数能否展开为幂级 数是极数是极为为重要的重要的,下面我下面我们们重新写出当重新写出当 时时的的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,以便以便于后面的讨论于后面的讨论.它们分别是它们分别是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、初等函数的幂级数展开式例例2 求求k次多项式函数
7、次多项式函数的幂级数展开式的幂级数展开式.解解 由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即多项式函数的幂级数展开式就是它本身即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.例例3 求函数求函数 f(x)=ex 的幂级数展开式的幂级数展开式.解解 显见显见 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对任何实数对任何实数 x,都有都有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 所以所以在在上可以展开上可以展开为为麦克麦克劳劳 林级数林级数:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同样可证同样可证(或用逐项求导或用逐项求
8、导),在在上有上有例例5 所以所以的麦克劳林级数是的麦克劳林级数是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页用比式判用比式判别别法容易求得法容易求得级级数数(5)的收的收敛敛半径半径,且且 当当时时收收敛敛,时发时发散散,故故级级数数(5)的收的收敛敛域域 是是.下面下面讨论讨论在在上它的余上它的余项项的的极限极限.当当时时,对拉格朗日型余项对拉格朗日型余项,有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当当时时,因因拉格朗日型余拉格朗日型余项项不易估不易估计计,故故改改用柯西型余项用柯西型余项.此时有此时有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就证得在这就证得在上
9、上 的幂级数展开式就是的幂级数展开式就是 (5).将将(5)式中式中 x 换换成成,就得到函数就得到函数 处的泰勒展开式处的泰勒展开式:其收敛域为其收敛域为 例例6讨论二项式函数讨论二项式函数的展开式的展开式.解解 当当为为正整数正整数时时,由二由二项项式定理直接展开式定理直接展开,就得就得 到到 f 的展开式的展开式,这已在前面例这已在前面例2中讨论过中讨论过.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页下面讨论下面讨论不等于正整数时的情形不等于正整数时的情形,这时这时于是于是 的麦克劳林级数是的麦克劳林级数是运用比式法运用比式法,可得可得(6)的收的收敛敛半径半径.在在内内 考察它的柯
10、西型余项考察它的柯西型余项 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由比式判别法由比式判别法,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于于 1所以在所以在 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页论论如下如下:对于收敛区间端点的情形对于收敛区间端点的情形,与与 的取值有关的取值有关,其结其结返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一般来说一般来说,只有比较简单的函数只有比较简单的函数,其幂级数展开式能其幂级数展开式能直接从定义出发直接从定义出发,并根据定理并根据定理14.11求得求得.更多的情更多的情况是从已知的展开式出发况是从已知的展开式出发,通过变量代换、四
11、则运通过变量代换、四则运返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页算或逐项求导、逐项求积等方法算或逐项求导、逐项求积等方法,间接地求得函数间接地求得函数的幂级数展开式的幂级数展开式.注注 求一个函数的幂级数展开式就是确定该幂级数求一个函数的幂级数展开式就是确定该幂级数 各项的系数各项的系数,根据展开式的惟一性根据展开式的惟一性,不管用什么方不管用什么方 法得到的系数都是一样的法得到的系数都是一样的.这就是间接展开的根据这就是间接展开的根据.例例7 以以与与分别代入分别代入(8)与与(9)式式,可得可得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对对于于(10)、(11)分分别别逐逐项
12、项求求积积可得函数可得函数与与 的展开式的展开式:-11-2-112返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此可见由此可见,熟练掌握某些初等函数的展开式熟练掌握某些初等函数的展开式,对求对求 其他一些函数的幂级数展开式是非常方便和有用的其他一些函数的幂级数展开式是非常方便和有用的,特别是例特别是例3 例例7 的结果的结果,对于今后用间接方法求幂对于今后用间接方法求幂 级数展开十分方便级数展开十分方便.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 利用利用,得得处连续处连续,在在处处无定无定义义,例例8 求函数求函数 在在处处的的幂级幂级数展开数展开 式式.返回返回返回返回后页
13、后页后页后页前页前页前页前页而级数而级数 的收敛域为的收敛域为,所以所以注注 严严格地格地说说,上式中的上式中的幂级幂级数在数在 上有和函数上有和函数,而而 只是它在只是它在上的和函数上的和函数.又因为又因为,所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页用类似方法可得用类似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函数表和对数表大家一定非常熟悉三角函数表和对数表,但这些表但这些表 是怎样制作出来的呢是怎样制作出来的呢?例例9 计算计算 的近似值的近似值,精确到精确到 解解 可以在展开式可以在展开式 中令中令,得得 .这这是一个交是一个交错级错级数数,故有故有 返回返回返回返回后页后页后
14、页后页前页前页前页前页.为为了了误误差小于差小于0.0001,就必就必须计须计算算 级数前级数前10000 项的和项的和,收敛得太慢收敛得太慢.为此在为此在(13)式式中中 令令,代入代入(13)式式,有有估计余项估计余项:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页取取,就有就有 因此因此 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函 数数,这是幂级数特有的功能这是幂级数特有的功能.例例10 用间接方法求非初等函数用间接方法求非初等函数的幂级数展开式的幂级数展开式.解解 以以 代替代替 ex 的展
15、开式中的的展开式中的 x,得得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页再逐项求积再逐项求积,就得到就得到 在在上的展开式上的展开式:F(x)用上述级数的部分和逐项逼近的过程用上述级数的部分和逐项逼近的过程,示于示于 下图下图:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页-2-112O-1-0.50.51返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 1.设幂级设幂级数数在在的和函数的和函数为为,问问 在在处的幂级数展开式是什么处的幂级数展开式是什么?2.设函数设函数在在上的幂级数展开式为上的幂级数展开式为若上式右若上式右边边的的幂级幂级数在数在(或或)收收敛敛,能否能否 得出上式在得出上式在(或或)成立成立?(结结合例合例8进进行行讨讨 论论)