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1、立体几何中的综合问题立体几何中的综合问题解答题解答题专项四专项四考情分析:从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式加以考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.向量法求解空间几何问题的步骤:建、设、求、算、取.1.建:建立空间直角坐标系,以三条互相垂直的直线的交点为原点,没有三条垂线时需要作辅助线,建立右手直角
2、坐标系(尽可能使得较多的关键点落在坐标轴或者坐标平面内);2.设:设出所需的点的坐标,得出所需要的向量坐标;3.求:求出所需平面的法向量;4.算:运用向量的数量积,验证平行与垂直,利用线面角公式求线面角,或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值;5.取:根据题意或者二面角、线面角的取值范围得出答案.考考向向1 空间空间位置关系的证明与线面角位置关系的证明与线面角例1.如图,在等腰直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的高,沿CD将ACD折起,使点A到达点P的位置,如图,PBD=60,E,F,H分别为PB,BC,PD的中点,G为CF的中点.(1)求证:GH平面DEF;(2)求直线GH与平面PBC所成角
3、的正弦值.(1)证明:如图,连接BH,交DE于点M,连接MF.因为ABC是等腰直角三角形,CD是斜边AB上的高,所以AD=DB,即PD=DB.因为PBD=60,所以PBD是等边三角形.因为E,H分别为PB,PD的中点,所以M是等边三角形PBD的中心,所以MFGH.又MF平面DEF,GH平面DEF,所以GH平面DEF.规律方法 利用空间向量求线面角的解题模型 对点训练1如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,B1C=,ABB1C.(1)求证:平面ABB1A1平面ABC;(2)若点P在棱BB1上,且直线CP与平面ACC1A1所成角的正弦值为 ,求BP的长.(1)证明:如图,取AB的中点D
4、,连接CD,B1D.因为三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,所以ABCD,CD=,BD=1.又因为ABB1C,且CDB1C=C,所以AB平面B1CD.又因为B1D平面B1CD,所以ABB1D.所以CD2+B1D2=B1C2,所以CDB1D.又因为ABB1D,ABCD=D,所以B1D平面ABC.又因为B1D平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解:以D为原点,DC,DA,DB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,考向考向2 空间空间位置关系的证明与二面角位置关系的证明与二面角例2如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为直角梯形,
5、ABCD,ABBC,DD1底面ABCD,AB=2BC=2CD=2DD1=4D1C1,P为棱CC1的中点.(1)证明:AC平面B1DP;(2)求二面角B1-DP-C的余弦值.又QC平面B1DP,B1P平面B1DP,QC平面B1DP,同理可得OQ平面B1DP,又OQQC=Q,平面B1DP平面OQC.又AC平面OQC,AC平面B1DP.规律方法 利用法向量求二面角的余弦时,由于法向量的方向不同,两个法向量的夹角与二面角的大小可能相等,也可能互补.所以两个法向量的夹角的余弦值与二面角的余弦值可能存在正负号的差异.对点训练2如图所示,四边形ABCD为等腰梯形,ADBC,且AD=BC=a,BAD=135,
6、AEBC于点E,F为BE的中点.将ABE沿着AE折起至ABE的位置,得到如图所示的四棱锥B-ADCE.(1)求证:AF平面BCD;(2)若平面ABE平面AECD,求二面角B-CD-E的余弦值.(1)证明:取BC的中点G,连接FG,DG.F为BE的中点,ADFG,AD=FG,四边形ADGF为平行四边形,AFDG.AF平面BCD,DG平面BCD,AF平面BCD.(2)解:易证EA,EB,EC两两垂直,故以点E为原点,EB为x轴,EC为y轴,EA为z轴,建立空间直角坐标系,B(a,0,0),D(0,a,a),C(0,2a,0),考向考向3 翻翻折与展开问题折与展开问题例3如图,四边形ABCD是边长为
7、2的正方形,AP=PD,将PAD沿AD折起使平面PAD平面ABCD.(1)若M为PC上一点,且满足BMPD,求证:PDAM;(1)证明:因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,AB平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以PDAB.又PDBM,ABBM=B,所以PD平面ABM,又AM平面ABM,所以PDAM.(2)解:取AD中点O,连接OP,因为AP=PD,所以OPAD.又平面PAD平面ABCD,所以OP平面ABCD.规律方法 1.翻折问题的两个解题策略 2.“展开问题”是“折叠问题”的逆向思维、逆过程,“展开问题”是指将立体图形的表面(或部分表面)按
8、一定的要求铺成平面图形,再利用平面图形的性质解决立体问题的一类题型.解决展开问题的关键是:确定需要展开立体图形中的哪几个面(有时需要分类讨论),以及利用什么平面定理来解决对应的立体图形问题.对点训练3如图,在四棱锥P-ABCD的展开图中,点P分别对应点P1,P2,P3,P4,已知点A,D均在线段P1P3上,且P1P3P2C,P1P3P2C=D,四边形ABCP2为等腰梯形,ABCP2,AB=CP2.(1)若M为线段BC的中点,证明:BC平面PDM;(2)求二面角A-PB-C的余弦值.(1)证明:由P1P3P2C,P1P3P2C=D,可知PD,AD,CD两两相互垂直.因为ADCD=D,所以PD平面
9、ABCD,则PDBC.连接BD,作BECD,点E为垂足,因为AB=CP2,且四边形ABCP2是等腰梯形,所以P2D=DE=EC,所以BD=BC.又AB=BC,所以BC=CD,所以BCD是正三角形.又因为M为BC的中点,所以DMBC.又因为PDDM=D,PD平面PDM,DM平面PDM,所以BC平面PDM.(2)解:以D为坐标原点,以DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.考向考向4 位置位置关系中的探索性问题关系中的探索性问题例4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,四边形ABCD为矩形,AD=2,AB=1,PA=,E为线段BC上一动点.(1)若F为线段P
10、D上一点,PD=3DF,是否存在点E,使得EF平面PAB?若存在,求出CE的长;若不存在,请说明理由.(2)若DEPE,求直线PC与平面PED所成角的余弦值.解:依题意,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.规律方法 存在性问题的两种探索方式 对点训练4如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是AC与BD的交点,点E是线段OD1上的一点.(1)若点E为OD1的中点,求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值;(2)是否存在点E,使得平面CDE平面CD1O?若存在,请指出点E的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.解:(1)不妨设正方体
11、的棱长为2.以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),O(1,1,0).取x0=2,则y0=0,z0=-1,所以p=(2,0,-1)为平面CDE的一个法向量.设直线OD1与平面CDE所成角为,(2)存在,且点E为线段OD1上靠近点O的三等分点.理由如下.假设存在点E,使得平面CDE平面CD1O.同第(1)问建立空间直角坐标系,易知点E不与点O重合,考考向向5 空间空间角中的探索性问题角中的探索性问题例5如图,在五面体ABCDE中,平面BCD平面ABC,ACBC,EDAC,且AC=B
12、C=2ED=2,DC=DB=.(1)求证:平面ABE平面ABC;(2)线段BC上是否存在一点F,(1)证明:如图,设BC的中点为O,过O在平面ABC中作OGAC,G为OG与AB的交点,因为ACBC,所以OGBC.连接OD,因为DC=DB,所以ODBC.又平面BCD平面ABC,平面ABC平面BCD=BC,所以OD平面ABC,所以ODOG,故OG,OB,OD三条直线两两垂直,如图建立空间直角坐标系O-xyz.规律方法 与空间角有关的存在性问题的解题流程 对点训练5如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAB底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ADBC,ABBC,PAB=120,PA=AD=AB=1,
13、BC=2.(1)证明:平面PBC平面PAB;(2)在线段PB上是否存在点M,使得直线AM与平面PBD所成角的正弦值为?若存在,求出线段PM的长度;若不存在,请说明理由.(1)证明:平面PAB平面ABCD,且平面PAB平面ABCD=AB,BCAB,BC平面ABCD,BC平面ABP.又BC平面PBC,平面PBC平面PAB.(2)解:在平面PAB内,过点A作AEAB交PB于点E,则可知AE平面ABCD.以A为坐标原点,分别以直线AB,AD,AE为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由PAB=120,PA=AD=AB=1,BC=2,考向考向6 立体几何立体几何中的最值问题中的最值问题例6如图,在四棱锥
14、P-ABCD中,侧棱PA底面ABCD,ADBC,ABC=90,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB的中点.(1)求证:AM平面PCD;(2)设点N是线段CD上一动点,且DN=DC,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求的值.(1)证明:ABC=90,ADBC,BAD=90,又PA底面ABCD,以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,PA=AB=BC=2,AD=1,A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1),易得平面PAB的一个法向量m=(1,0,0),设直线MN与平面PAB所成的角为,规律方法 与体积、面积有关的最值问题
15、的解题策略空间几何体中的某些对象,如点、线、面,在约束条件下运动,带动相关的长度、面积、体积、几何元素的夹角、距离等发生变化,进而就有相应的最值问题.在空间几何体的变化过程中,通过观察运动点的位置变化,将所求问题转化为某一个相关变量的函数,再求其最大值或最小值.有时也可根据基本不等式解决问题.对点训练6如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,点D在以AP为直径的圆上,平面PAD平面ABCD,PA=2,PB=,平面PBC平面PAD=m.(1)证明:直线m平面PDC;(2)当三棱锥P-ABD体积最大时,求二面角C-PB-A的余弦值.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以ADCD.因为点D在以AP为直径的圆上,所以ADDP,CDDP=D,CD平面PDC,DP平面PDC,所以AD平面PDC.因为ADBC,AD平面PBC,BC平面PBC,所以AD平面PBC.因为平面PBC平面PAD=m,所以ADm,所以直线m平面PDC.