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1、2 2 线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义 与简单性质与简单性质与简单性质与简单性质3 3 维数维数维数维数 基与坐标基与坐标基与坐标基与坐标4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换基变换与坐标变换基变换与坐标变换1 1 集合集合集合集合 映射映射映射映射第六章第六章 线性空间线性空间1为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能一、一、向量的形式书写法向量的形式书写法 二、基变换二、基变换6.4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换三、坐标变换三、坐标变换 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九
2、大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能引入引入 u在在n维线性空间维线性空间V中，任意中，任意n个线性无关的向量都可个线性无关的向量都可 取作线性空间取作线性空间V的一组基的一组基.uV中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的但是在不同基下的坐标一般是不同的.u同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随 着基的改变，向量的坐标是如何变化的着基的改变，向量的坐标是如何变化的.u如何选择适当的基向量使坐标比较简单如何选择适当的基向量使坐标比较简单.问题问题
3、为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能一、向量的形式书写法一、向量的形式书写法 1 1、V为数域为数域P上的上的 n 维线性空间，维线性空间，为为V 中的一组向量，中的一组向量，若，若 则记作则记作为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能则记作则记作 2 2、V为数域为数域 P 上上 n 维线性空间，维线性空间，；为为V中的两组向量，若中的两组向量，若为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育
4、人功能在形式书写法下有下列运算规律在形式书写法下有下列运算规律1)1)若若 线性无关，则线性无关，则 注：注：注：注：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2)2)；为；为V中的两组向量，中的两组向量，矩阵矩阵，则，则；若若 线性无关，则线性无关，则为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能1、定义定义设设V为数域为数域P上上n维线性空间，；维线性空间，；为为V中的两组基，若中的两组基，若即即二、基变换二、基变换为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和
5、党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能则称矩阵则称矩阵 为由基为由基 到基到基 的的过渡矩阵过渡矩阵；称称 或或 为由基为由基 到基到基的的基变换公式基变换公式 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2、有关性质有关性质 1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵证明：若证明：若 为为V的两组基的两组基,且由基且由基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为A，即即又由基又由基 也有一个过渡矩阵也有一个过渡
6、矩阵,设为设为B，即，即比较比较 、两个等式，有两个等式，有为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能都是线性无关的都是线性无关的,即即A是可逆矩阵是可逆矩阵,且且A-1B.反过来，设为反过来，设为P上任一可逆矩阵，上任一可逆矩阵，任取任取V的一组基的一组基于是有于是有为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能由由A可逆，有可逆，有即即 也可由也可由 线性表出线性表出.故故 线性无关，从而也为线性无关，从而也为V的一组基的一组基.并且并且A就是就是 的过渡矩阵
7、的过渡矩阵.2）若由基）若由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A,则由基则由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A-1.为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3）若由基）若由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A,由基由基 过渡矩阵为过渡矩阵为B，则，则由基由基 过渡矩阵为过渡矩阵为AB.事实上事实上,若若则有则有为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能三、坐标变换三、坐标变换 1 1、定义、定义：V为数域为数域P上上n维线性空间维线性空间 为为V中的两组基，且中的两组基，且设设 且且
8、在基在基 与基与基 下的坐标分别为与下的坐标分别为与 ，为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能与与 即即则则或或 称称或或为向量为向量 在基变换在基变换下的下的坐标变换公式坐标变换公式 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例1在在Pn中，求由基中，求由基 到基到基 过渡矩阵其中过渡矩阵其中 解：解：的过渡矩阵及由基的过渡矩阵及由基 到基到基 的的并求向量并求向量 在基在基 下的坐标下的坐标.为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神
9、,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能而，而，为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能到基到基 由基由基的过渡矩阵为的过渡矩阵为 故由基故由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能在基下的坐标就是在基下的坐标就是设在基下的坐标为，则设在基下的坐标为，则所以在基下的坐标为所以在基下的坐标为为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例2在在
10、P4中，求由基中，求由基 到基到基 的过渡矩阵，其中的过渡矩阵，其中 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能解：设解：设 则有则有 或或，为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能从而有从而有 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能由基由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能练习练习：已知的两组基：已知的两组基：求由基的过渡矩阵，求由基的过渡矩阵，并求矩阵在基下的坐标并求矩阵在基下的坐标.为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能解：解：设设A在基下的坐标为在基下的坐标为为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能则则即即A在基在基 下的坐标为下的坐标为为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 作业作业习题习题 9