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1、CH5 CH5 曲线拟合和函数逼近曲线拟合和函数逼近1 1、最小二乘原理和多项式拟合、最小二乘原理和多项式拟合 2 2、一般最小二乘拟合、一般最小二乘拟合 3 3、正交多项式曲线拟合、正交多项式曲线拟合 4 4、最佳平方逼近、最佳平方逼近预备知识预备知识定义定义：若：若 在在a,b上连续，如果上连续，如果当且仅当当且仅当 时成立，则称时成立，则称在在a,b上是上是线性无关的线性无关的，若函数族若函数族 中的任何有限个中的任何有限个线性无关，则称线性无关，则称 为为线性无关函数族。线性无关函数族。预备知识预备知识例例 就是就是a,b上的线性无关函数族上的线性无关函数族称为由称为由 生成的函数集，
2、其中生成的函数集，其中预备知识预备知识定理定理 在在a,b上线性无关的上线性无关的充分必要条件充分必要条件是它的是它的Cramer行列式行列式其中其中内积内积实例：实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表下表是实际测定的是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录是记录:1 最小二乘法最小二乘法 纤维强度随拉伸纤维强度随拉伸倍数增加而增加倍数增加而增加,并且并且24个点大致分个点大致分布在一条直线附近布在一条直线附近,因此可以认为强度因此可以认为强度y与拉伸倍数与拉伸倍数x的主的主要关系应是线性关要关系应是线
3、性关系。系。-(1)如何求如何求0 0，1 1？曲线拟合问题：曲线拟合问题：称为称为平方误差平方误差(偏差偏差)求求y(x)使得使得ri 按按某种标准最小某种标准最小，从而反映数据的总体趋势，称为曲线拟合问题。从而反映数据的总体趋势，称为曲线拟合问题。可选可选:1)1)利用这个极值不易求利用这个极值不易求y(x)2)2)利用上述取极值的想法求利用上述取极值的想法求y(x)的方法即为最小的方法即为最小二乘原理思想。二乘原理思想。一、线性最小二乘拟合一、线性最小二乘拟合已知已知 ，求，求使得使得称为最称为最小二乘拟合问题。其解小二乘拟合问题。其解 称为称为线性最小二乘拟合函数。线性最小二乘拟合函数
4、。二、二、Pn(x)的求解的求解由由可知可知因此可假设因此可假设因此求最小二乘解转化为因此求最小二乘解转化为二次函数二次函数由多元函数取极值的必要条件由多元函数取极值的必要条件得得即即(2)(3)-(4)(4式即为：式即为：)记记则由内积的概念可知则由内积的概念可知-(5)-(6)显然内积满足交换律显然内积满足交换律-(7)将其表示成矩阵形式将其表示成矩阵形式-(8)(8)式称为法方程组式称为法方程组-(4)则则(8)可表示为可表示为-(8)记记三、三、最小二乘拟合最小二乘拟合多项式多项式定义：定义：对于给定的数据对于给定的数据 ，求，求使得使得称为最小二乘拟合多项式。称为最小二乘拟合多项式。
5、此时此时则最小二乘多项式拟合的则最小二乘多项式拟合的法方程组法方程组为为-(9)-(8)最小二乘拟合多项式的存在唯一性最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理定理1 设点设点 互异，则法方程组互异，则法方程组(9)的解存的解存 在且唯一。在且唯一。定理定理2 设设 是法方程组是法方程组(9)的解，则的解，则是最小二乘拟合多项式，即是最小二乘拟合多项式，即例例1.回到本节开始的实例回到本节开始的实例，从散点图可以看出，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数故可选取线性函数法一：法一：利用利用(9)式建立法方程式建立法方程组组解得解得最小
6、偏差为最小偏差为法二：法二：利用一般线性最小二乘拟合的做法，先求利用一般线性最小二乘拟合的做法，先求此例中其基函数为此例中其基函数为即为法方程组即为法方程组例例2.求拟合下列数据的最小二乘解求拟合下列数据的最小二乘解x=0.24,0.65,0.95,1.24,1.73,2.01,2.23,2.52,2.77,2.99y=0.23,-0.26,-1.10,-0.45,0.27,0.10,-0.29,0.24,0.56,1解解:从数据的散点图可以看出从数据的散点图可以看出6.7941 -5.3475 63.2589-5.3475 5.1084 -49.008663.2589-49.0086 100
7、2.5 1.6163-2.382726.7728通过计算通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为用用Gauss列列主元消去法主元消去法,得得 -1.0410 -1.2613 0.030735拟合的最小偏差为拟合的最小偏差为例例3.求拟合下列数据的最小二乘解求拟合下列数据的最小二乘解(用二次多项式用二次多项式)x=-2 -1 0 1 2y=0 -2 -1 1 2练习练习解得最小二乘拟合为：解得最小二乘拟合为：四、非线性最小二乘拟合四、非线性最小二乘拟合思想：非线性思想：非线性线性化线性化例如例如 对拟合函数对拟合函数 两边取对数两边取对数五、利用最小二乘原理求解矛盾方程组五、利用最小二乘原理求解矛盾方程组(不相容不相容)例如例如 求不相容方程组求不相容方程组