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1、第二章第二章 线性方程组线性方程组本章将在讨论向量组的线性相关性的基础上，本章将在讨论向量组的线性相关性的基础上，给出齐次线性方程组和非齐次线性方程组解给出齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的判定与求法。的判定与求法。2.1 向量组的线性相关性 在空间在空间(或平面或平面)解析几何中，从有向线段出发，解析几何中，从有向线段出发，引进了向量的概念，并进一步引进了向量的加法和数引进了向量的概念，并进一步引进了向量的加法和数乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对应
2、关系。所以，由所有三维数组构成的集合应关系。所以，由所有三维数组构成的集合 即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而，即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而，点空间的许多几何性质，例如点的共线、共面，直点空间的许多几何性质，例如点的共线、共面，直线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的语言来刻划语言来刻划一、n 维向量的概念几何空间中：几何空间中：点点P的坐标的坐标n 维向量:(有序数组)n 维维行向量行向量 的的分量分量n 维列向量:=ai=bi=(0,0,0)负向量：-=(-a1,-a2,-an)n维向量的线性运算:=(a1,a2,an
3、),=(b1,b2,bn)，+=(a1+b1,a2+b2,an+bn),k =(ka1,ka2,kan),k R.向量相等：=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn)零向量：线性方程组与n维向量的线性运算：定义定义4 4二、向量组的线性相关性定义定义5 5注：注：1、单个向量、单个向量构成的向量组线性相关的充要条件是构成的向量组线性相关的充要条件是该向量该向量为零向量。为零向量。定理定理1 1定理定理2 2若一向量组的部分向量组线性相关若一向量组的部分向量组线性相关,则该向量组也则该向量组也线性相关线性相关.注注:这个定理的等价说法是这个定理的等价说法是:如果一个向量组线性无如果一个向量组
4、线性无关关,则其中任一个部分向量组也必线性无关则其中任一个部分向量组也必线性无关.也即一向量组部分线性相关也即一向量组部分线性相关,则整体必线性相关则整体必线性相关,一向一向量组整体线性无关量组整体线性无关,则其部分组必线性无关则其部分组必线性无关.定理定理3 3 本节讨论几个向量组之间的线性关系本节讨论几个向量组之间的线性关系,并由此并由此引出向量组的极大无关组与向量组的秩的概念引出向量组的极大无关组与向量组的秩的概念,进进而讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系而讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系.三、三、向量组的秩向量组的秩定义定义6 6注注:(1)(1)向量组的极大无关组不是唯一的向量组的极大无关组不是唯一的.(2)(2)同一向量组的两个极大无关组间是等价的同一向量组的两个极大无关组间是等价的;推论推论1任意任意n+1n+1个个n n维向量组必线性相关维向量组必线性相关推论推论2两个等价的线性无关组所含向量个数相同两个等价的线性无关组所含向量个数相同.注注向量组的两个极大无关组所含向量的个数相同定义定义7向量组的极大线性无关组所含向量的向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的个数称为向量组的秩秩.注注规定规定,由零向量组成的向量组的秩为由零向量组成的向量组的秩为0性质性质