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1、19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介 量子力学量子力学 建立于建立于 1923 1927 年间，两个等年间，两个等价的理论价的理论 矩阵矩阵力学和力学和波动波动力学力学.相对论量子力学相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程速运动的粒子的波动方程.薛薛定定谔（谔（18871961）奥地利奥地利物理学家物理学家.1926年建立了以薛定谔方程年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学为基础的波动力学,并建立了量子并建立了量子力学的近似方法力学的近似方法.19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介一一 波函数波函数 概率密度概率密度1）经典的波与波
2、函数经典的波与波函数 电磁波电磁波 机械波机械波 经典波为经典波为实实函数函数19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介对于与自由粒子对应的平面波，还具有微粒性对于与自由粒子对应的平面波，还具有微粒性,将德布罗意关系式将德布罗意关系式 得到与自由实物粒子对应的平面物质波复数表达式：得到与自由实物粒子对应的平面物质波复数表达式：代入上式，代入上式，2）量子力学波函数（量子力学波函数（复函数复函数）19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介 这便是描述能量为这便是描述能量为 E 动量为动量为 P 的自由粒子的德的自由粒子的德布罗意波布罗意波而而 或或 便称为便称为波函数波函数它它既不是既不是
3、y(位移位移)，又不是，又不是 E(电矢量电矢量)。波函数波函数是什么？是什么？19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介3）波函数的物理意义（统计解释）波函数的物理意义（统计解释）光光波波波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度强度微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多，微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多，物物质质波波波动：电子波的强度波动：电子波的强度 (波函数模的平方波函数模的平方)微粒：微粒：结论：结论：某时刻在空间某地点，粒子出现的几率正比某时刻在空间某地点，粒子出现的几率正比于该时刻、该地点波函数模的平方。于该时刻、该地点波函数
4、模的平方。19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介波函数是什么呢？波函数是什么呢？与粒子（某时刻、在空间某处）出现的几与粒子（某时刻、在空间某处）出现的几率成正比。率成正比。某一时刻出现在某点附近在体积元某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子中的粒子的的概率为概率为概率密度概率密度 表示在某处表示在某处单位单位体积内粒子出现的体积内粒子出现的概率概率.正实数正实数物质波是什么呢？物质波是什么呢？不是机械波不是电磁波而是不是机械波不是电磁波而是几率波几率波!19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的的,
5、波函数所反映的只是微观粒子运动的统计规律。波函数所反映的只是微观粒子运动的统计规律。宏观物体：宏观物体：讨论它的讨论它的位置位置在哪里。在哪里。微观粒子：微观粒子：研究它在那里出现的研究它在那里出现的几率几率有多大。有多大。波函数的归一化条件波函数的归一化条件表示某时刻、在空间某地点附表示某时刻、在空间某地点附近单位体积内粒子出现的几率近单位体积内粒子出现的几率.几率密度：几率密度：因因 与粒子某时刻、在空间某处出现的几率成正比与粒子某时刻、在空间某处出现的几率成正比且粒子在某区域出现的几率又正比于该区域的大小，且粒子在某区域出现的几率又正比于该区域的大小，19-8 19-8 量子力学简介量子
6、力学简介几率密度几率密度这就是波函数的归一化条件这就是波函数的归一化条件所以某时刻、在（所以某时刻、在（x,y,z）附近的体积元附近的体积元 dV 中，中，出现粒子的几率为：出现粒子的几率为：归一化条件归一化条件 某一时刻在整个空间内发现粒子的某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为概率为19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介4.波函数的标准条件和归一化条件波函数的标准条件和归一化条件单值单值:一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的几率应有一定的量值粒子出现的几率应有一定的量值.连续、有限：连续、有限：归一化：归一化：1.自由粒子自由粒子 一维
7、一维 定态定态 薛定谔方程薛定谔方程即：一维空间自由粒子的振幅方程。即：一维空间自由粒子的振幅方程。从物理、数学上看，归纳为：从物理、数学上看，归纳为：二薛定谔方程（二薛定谔方程（1925 年年）可归一化可归一化;和和 连续连续;19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介自由粒子：自由粒子：没有外场没有外场作用，具有作用，具有能量能量 E（恒量）恒量）、动量动量 P（恒量）的自由运动的粒子，粒子在恒量）的自由运动的粒子，粒子在某处某处出现出现的的几率不几率不随时间随时间变化。变化。一个沿一个沿 x 轴（一维）运动的自由粒子，具有确轴（一维）运动的自由粒子，具有确定的定的 动量：动量：能量：能
8、量：它的平面它的平面波函数波函数是：是：19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介振幅函数振幅函数也称也称波函数波函数将将 (x)对对x 取二阶导数：取二阶导数：将将 2mE 代入代入19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介 这就是一维空间、自由粒子的振幅方程，因为这就是一维空间、自由粒子的振幅方程，因为 (x)只是坐标的函数，与时间无关，所以只是坐标的函数，与时间无关，所以 (x)描述的是粒描述的是粒 子在空间的一种稳定（定态）的分布。子在空间的一种稳定（定态）的分布。式称为式称为自由粒子一维、定态、薛定谔方程自由粒子一维、定态、薛定谔方程。所以，所以，19-8 19-8 量子力学简介
9、量子力学简介2.粒子一维粒子一维 定态定态 薛定谔方程薛定谔方程粒子在势场中作一维运动粒子在势场中作一维运动总能量总能量 在在势场势场中中一维一维运动粒子的运动粒子的定态定态薛定谔方程薛定谔方程19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介 在在三维三维势场中运动粒子的势场中运动粒子的定态定态薛定谔方程薛定谔方程拉普拉斯算子拉普拉斯算子定态定态薛定谔方程薛定谔方程定态定态波函数波函数19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介一般定态薛定谔方程的意义一般定态薛定谔方程的意义:质量为质量为 m(不考虑相对论效应不考虑相对论效应),并在势场中运动并在势场中运动的一个粒子的一个粒子,有一个有一个波函数
10、波函数与它的运动的与它的运动的稳定状态稳定状态相相联系联系,这个这个波函数满足薛定谔方程。波函数满足薛定谔方程。这个方程的每一个解这个方程的每一个解 (x,y,z),表示粒子运表示粒子运动的某一个稳定状态动的某一个稳定状态.与这个解相应的常数与这个解相应的常数E(参数参数),就是就是粒子在这个粒子在这个稳定状态的稳定状态的能量。能量。同时说明同时说明,根据题设的根据题设的Ep,还要算出还要算出 (x,y,z)合理合理:单值、连续、有限、归一化单值、连续、有限、归一化。因此，因此，只有只有 E 为一些特定的值时，方程才有解，这些为一些特定的值时，方程才有解，这些 E 值叫本征值，与这些值叫本征值
11、，与这些 E 值对应的波函数值对应的波函数 (x,y,z)叫本征函数。叫本征函数。19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介总之，总之，解薛定谔方程解薛定谔方程，就是就是求出：求出：（1）波函数）波函数 （2）与这些状态对应的能量）与这些状态对应的能量 E ，从而动量从而动量 P 。表示粒子所处的各个可能稳定状态。表示粒子所处的各个可能稳定状态。1）能量能量 E 不随时间变化；不随时间变化；2）概率密度概率密度 不随时间变化不随时间变化.定态波函数性质定态波函数性质19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介三三 一维势阱问题一维势阱问题粒子粒子势能势能 满足的满足的边界边界条件条件 1）是
12、固体物理金属中自由电子的简化模型；是固体物理金属中自由电子的简化模型；2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来在其中以简洁的形式表示出来.意义意义薛定谔方程薛定谔方程19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介 波函数的波函数的标准条件：标准条件：单值、有限和连续单值、有限和连续.19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介量子数量子数 基态基态能量能量 激发态激发态能量能量 一维无限深方势阱中粒子的一维无限深方势阱中粒子的能量能量是是量子化量子化的的.19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介结论：结论：1）能量是量子化的）
13、能量是量子化的这是量子力学中解薛定谔方程得这是量子力学中解薛定谔方程得到的必然结果，不是（玻尔理论中的）人为的假设。到的必然结果，不是（玻尔理论中的）人为的假设。2）粒子的零点能（即粒子的最低能量状态）。）粒子的零点能（即粒子的最低能量状态）。（与与 a 有关，居然与有关，居然与 v 无关！）无关！）经典理论中粒子的能量可以为零，经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱量子理论认为势阱中的粒子能量不可能为零中的粒子能量不可能为零。动能！动能！（因因 E p=0）19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介3）相邻两能级的能量差：可以证明）相邻两能级的能量差：可以证明 当势阱的当势阱的宽度
14、宽度 a 小小到原子的尺度，到原子的尺度，E 很大，很大，当势阱的当势阱的宽度宽度 a 大大到宏观的尺度，到宏观的尺度，E 很小，很小，可把能量看成连续，量子理论可把能量看成连续，量子理论回到了经典回到了经典理论。理论。能量的能量的量子化显著。量子化显著。能量能量量子化不显著量子化不显著。19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介 归一化归一化条件条件量子数量子数19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介 概率密度概率密度 能量能量 波动方程波动方程 波函数波函数 量子数量子数19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介四对应原理四对应原理 在某
15、些在某些极限极限的条件下，量子规律可以的条件下，量子规律可以转化转化为经为经典规律典规律.势阱中相邻势阱中相邻能级能级之之差差能量能量 能级能级相对相对间隔间隔当当 时，时，能量视为，能量视为连续连续变化变化.19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介例：例：电子在电子在 的势阱中的势阱中.（近似于连续近似于连续）当当 时时,（能量分立能量分立）当当 很大时，很大时，量子效应不，量子效应不明显，能量可视为明显，能量可视为连续连续变化，此即为变化，此即为经典对应经典对应.物理意义物理意义19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介五一维方势垒五一维方势垒 隧道效应隧道效应 一维方势垒一维方势垒
16、粒子的能量粒子的能量隧道效应隧道效应 从左方射入从左方射入的粒子，在各区的粒子，在各区域内的波函数域内的波函数19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介 粒子的能量虽粒子的能量虽不不足以足以超越势垒超越势垒,但在势垒中似但在势垒中似乎有一个隧道乎有一个隧道,能使少量能使少量粒子穿过而进入粒子穿过而进入 的区域的区域,所以人们形象地所以人们形象地称之为称之为隧道效应隧道效应.隧道效应的本质隧道效应的本质:来源于微观粒子的波粒二相性来源于微观粒子的波粒二相性.1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微镜成了扫描遂穿显微镜(STM),可观测固体表面原子可观测固体表面原子排列的状况排列的状况.1986年宾尼希又研制了原子力显微镜年宾尼希又研制了原子力显微镜.应用应用 19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介碘原子在铂晶体碘原子在铂晶体上的吸附上的吸附硅表面的硅原子排列硅表面的硅原子排列砷化钾表面的砷原子排列砷化钾表面的砷原子排列观看原子观看原子19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介石墨晶体表面原子的石墨晶体表面原子的STM照片照片19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介量量子子阱阱4848个个Fe原子形成原子形成“量子围栏量子围栏”，围栏中的，围栏中的电子形成驻波电子形成驻波.