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1、1,第二章 矩阵,线性代数与空间解析几何,2,本章的主要内容,矩阵的概念及运算矩阵的行列式与可逆矩阵*分块矩阵矩阵的初等变换与初等阵*矩阵的秩Gauss消元法及线性方程组有解判别法 矩阵应用举例,3,2.1 矩阵的概念,1 矩阵的定义,由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表,称为,矩阵.,2.1.1.矩阵的概念,简记为,5,当 m=n 时称为n 阶方阵.,矩阵同形它们行数和列数相同.,矩阵相等它们同形且对应元素相等.,2.特殊矩阵,零矩阵:,6,对角矩阵:,单位矩阵:,E ,I 或,数(标)量矩阵:,7,上三角矩阵:,下三角矩阵:,行矩阵:,列矩阵:,8,2.2 矩阵运算,矩阵的线性运算,矩
2、阵的乘法运算,方阵的幂及 行列式的乘法公式,矩阵的转置,9,加 法:,负矩阵:,减 法:,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如,11,2.2.2 数乘,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,12,2.2.3 矩阵乘法,其中,则,13,可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B 的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数后列数.,总结如下:,14,15,16,17,运算性质:,学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什 么熟知的运算规律.特别是乘法运算.,(A是
3、mn的矩阵),18,19,20,21,例1,设,求 AB .,解,注意: 在这个例子中 BA 无意义.,22,例2,则,注意: 在这个例子中,虽然 AB 与 BA 均有意义,但是AB 是 22 矩阵,而BA是 11 矩阵.,23,例3,设,则,注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵,但是 AB = 0.,24,例4,设,求 AB 及 AC.,解,注意: 虽然A不是零矩阵, 而且AB=AC, 但是B不等于C.这说明消去律不成立!,25, 总结一下矩阵乘法的一些反常性质:,未必满足交换律:,未必满足消去律:,可能有零因子:, 如果 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换., 学习矩阵理论,尤其要注意反常性质!,26,矩阵理论引言,历史, 矩阵思想源于求解线性方程组, 矩阵思想产生于中国 (朱世杰等), Matrix概念产生于英国 (Sylvester),应用, 数学(计算数学)各分支, 信息处理系统控制工程技术等,