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1、2.4.22.4.2抛物线抛物线的简单几的简单几何性质何性质(1)(1)一、温故知新一、温故知新(一一)圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点平面内，到定点F F的距离与到定直线的距离与到定直线l l的距离的距离比为常数比为常数e e的点的轨迹的点的轨迹,当当e1时，是时，是双曲线双曲线.当当0e0)(2)开口向左开口向左 y2=-2px(p0)(3)开口向上开口向上 x2=2py(p0)(4)开口向下开口向下 x2=-2py(p0)范围范围1、由抛物线由抛物线y2=2px（p0）有有所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2=2
2、px（p0）的几何性质的几何性质?y yF Fx xO Ol l对称性对称性2、关于关于x轴轴对称对称即点即点(x,-y)也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2=2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2=2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上,即满足即满足y2=2px，y yF Fx xOOl l顶点顶点3、定义：抛物线与它定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的轴的交点叫做抛物线的的顶点顶点。y2=2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2=2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.y yF Fx xOOl l离心率离心率4、抛物线上
3、的点与焦抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的点的距离和它到准线的距离之比，叫做距离之比，叫做抛物线抛物线的的离心率离心率。由定义知，由定义知，抛物线抛物线y2=2px (p0)的离心率为的离心率为e=1.y yF Fx xO Ol lxyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的称为抛物线的通径，通径，利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通、通径的两个径的两个端点端点可较准确可较准确画出反映抛物线基本特画出反映抛物线基本特征的草图征的草图.|AB|=2p通径通径5、2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物
4、连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线的焦半径焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径公式：焦半径焦半径6、xyOFP 下面请大家推导出下面请大家推导出其余三种标准方程抛物其余三种标准方程抛物线的线的焦半径公式。焦半径公式。通过焦点的直线，与抛物通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦。xOyFA7、焦点弦：、焦点弦：焦点弦公式：焦点弦公式：下面请大家推导出其余三种标准方程下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的抛物线的焦点弦公式。焦点弦公式。B方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点焦焦半径半径焦
5、点弦焦点弦的长度的长度 y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）归纳归纳:(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)、抛物线只有一条对称轴、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条、抛物线只有
6、一个顶点，一个焦点，一条准线；准线；(4)、抛物线的离心率、抛物线的离心率e是确定的为是确定的为,、抛物线的通径为、抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张越大，抛物线的张口越大口越大.由此可得由此可得|y1|=|y2|,，即线段即线段AB关于关于x轴对称。轴对称。因为因为x轴垂直于轴垂直于AB，且且 ，例例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。上，求这个三角形的边长。解：如图，设正三角形解：如图，设正三角形OAB的顶点的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、
7、B(x2,y2),则则又又|OA|=|OB|，所以所以x12+y12=x22+y22即即 x12-x22+2px1-2px2=0,(X12-x22)+2p(x1-x2)=0,yxoAB(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.X10，X20，2p0,X1=X2.所以所以(x1,y1)(x2,y2)|AB|8 8 例例2 2 斜率为斜率为1 1的直线的直线l经过抛物线经过抛物线y2 24 4x的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A、B两点，两点，求线段求线段AB的长的长.O OxyBAF法法1：解出交点坐标；计算弦长：解出交点坐标；计算弦长(运算量一般较大运算量一般较大);法法2：设
8、而不求：设而不求,运用韦达定理运用韦达定理,计算弦长计算弦长(运算量一般运算量一般);法法3：焦半径公式。：焦半径公式。五、归纳总结五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口越大越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：6、光学性质：、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束变成了平行光束.1.1.已知已知A A、B B是抛物线是抛物线 上两点，上两点，O O为坐标原点，若为坐标原点，若 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线ABAB的方的方程是：程是：()()ABOF.yxD D(A)(B)(C)(D)