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1、1第第 5 5 讲讲 一次方程一次方程( (组组) )重难点 一次方程(组)的应用在元旦期间，某商场计划购进甲、乙两种商品 (1)已知甲、乙两种商品的进价分别为 30 元，70 元，该商场购进甲、乙两种商品共 50 件需要 2 300 元，则 该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商场共投入 9 500 元资金购进这两种商品若干件，这两种商品的进价和售价如下表所示：甲乙进价(元/件)3070 售价(元/件)50100若全部销售完后可获利 5 000 元(利润(售价进价)销量)，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？【思路点拨】 (1)首先找出题目中的等量关系：甲商品数量乙商品数量50；购进
2、甲商品费用购进 乙商品费用2 300.根据题中等量关系，有列一元一次方程和列二元一次方程组两种不同的解法； (2)首先根据题中等量关系：商场购进甲商品费用商场购进乙商品费用9 500；商场销售甲商品利润 商场销售乙商品利润5 000.然后设该商场购进甲商品 a 件、乙商品 b 件，根据题目中等量关系列方程组解答 即可 【自主解答】 解：(1)解法一：(列一元一次方程求解)设该商场购进甲商品 x 件，则购进乙商品(50x) 件根据题意，得 30x70(50x)2 300.解得 x30. 则 50x503020. 答：该商场购进甲商品 30 件，乙商品 20 件 解法二：(列二元一次方程组求解)设
3、该商场购进甲商品 x 件，乙商品 y 件根据题意，得解得xy50， 30x70y2 300，)x30， y20.)答：该商场购进甲商品 30 件，乙商品 20 件 (2)设该商场购进甲商品 a 件，乙商品 b 件根据题意，得解得30a70b9 500， （5030）a（10070）b5 000，)a130， b80.)答：该商场购进甲商品 130 件，乙商品 80 件方法指导 1 1列方程(组)的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量；(2)找关键词；(3)运 用常用数量关系和数学公式；(4)根据题目所述情境找；(5)画线段图列表格 2 2在选择是列一元一次方程还是方程
4、组解题时，若题中两个未知量有比较简单的关系，比如倍数关系、差一 定或和一定时，可以很方便地用一个变量表示出另一个变量，那我们既可以设一个未知数列一元一次方程求解， 也可以设两个未知数列方程组求解相反，若两个未知量比较独立，关系较复杂，难以简洁地用一个变量表示出 另一个变量时，那就设两个未知数列方程组求解【变式训练 1 1】 (2018十堰)我国古代数学著作九章算术卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三： 人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出 8 钱，则剩余 3 钱：如果每人出 7 钱，则差 4 钱问有多少人，物品的价格是多少？设有 x 人，
5、物品的价格为 y 元，可列方程 (组)为(A)A. B. C. D.8x3y 7x4y)8x3y 7x4y)x3 8x4 7y3 8y4 7【变式训练 2 2】 (2018青岛改编)5 月份，甲、乙两个工厂用水量共为 200 吨进入夏季用水高峰期后，两工厂 积极响应国家号召，采取节水措施.6 月份，甲工厂用水量比 5 月份减少了 15%，乙工厂用水量比 5 月份减少了210%，两个工厂 6 月份用水量共为 174 吨，求两个工厂 5 月份的用水量各是多少？ 解：解法一：设甲工厂 5 月份用水量为 x 吨，乙工厂 5 月份用水量为 y 吨，根据题意，得解得xy200， （115%）x（110%）
6、y174，)x120， y80.)解法二：设甲工厂 5 月份用水量为 x 吨，则 (115%)x(110%)(200x)174，解得 x120. 则 200x80. 答：甲工厂 5 月份用水量为 120 吨，乙工厂 5 月份用水量为 80 吨考点 1 1 等式的性质 1 1(2017杭州)设 x，y，c 是实数，下列说法正确的是(B) A若 xy，则 xcyc B若 xy，则 xcycC若 xy，则 x cy cD若，则 2x3yx 2cy 3c考点 2 2 一元一次方程及其解法 2 2(2017南充)如果 a30，那么 a 的值是(B)A3 B3 C. D1 31 33 3若方程 3(2x2
7、)23x 的解与关于 x 的方程 62k2(x3)的解相同，则 k 的值为(B)A. B C. D5 98 95 35 34 4(2018攀枝花)解方程：1.x3 22x1 3解：去分母，得 3(x3)2(2x1)6. 去括号，得 3x94x26. 移项，得x17. 系数化为 1，得 x17.考点 3 3 二元一次方程(组)及其解法5 5(2018北京)方程组的解为(D)xy3， 3x8y14)A. B. C. D.x1 y2)x1 y2)x2 y1)x2 y1)6 6已知关于 x，y 的方程 x2mn24ymn16 是二元一次方程，则 m，n 的值为(A) Am1，n1 Bm1，n1Cm ，
8、n Dm ，n1 34 31 34 37 7(2018乐山)方程组 xy4 的解是(D)x 3y 2A. B. C. D.x3 y2)x6 y4)x2 y3)x3 y2)8 8(2018桂林)若|3x2y1|0，则 x，y 的值为(D)xy23A. B. C. D.x1 y4)x2 y0)x0 y2)x1 y1)9 9(2018淮安)若关于 x，y 的二元一次方程 3xay1 有一个解是则 a4x3， y2，)1010(2018随州)已知是关于 x，y 的二元一次方程组的一组解，则 ab5x2， y1)axby7， axby1)1111(2018包头)若 a3b2，3ab6，则 ba 的值为2
9、1212(2018武汉)解方程组：xy10， 2xy16.)解：，得 x6. 把 x6 代入，得 y4.则方程组的解为x6， y4.)1313(2018嘉兴)用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：x3y5， 4x3y2)解法一：由，得 3x3. 解法二：由得，3x(x3y)2. 把代入，得 3x52. (1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“” ； (2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答 解：(1)解法一中的解题过程有错误， 由，得 3x3“” ， 应为由，得3x3. (2)由，得3x3，解得 x1. 把 x1 代入，得13y5，解得 y2.故原方程组的解是x1，
10、y2.)考点 4 4 一次方程(组)的应用 1414(2018杭州)某次知识竞赛共有 20 道题，规定：每答对一道题得5 分，每答错一道题得2 分，不答的题 得 0 分，已知圆圆这次竞赛得了 60 分，设圆圆答对了 x 道题，答错了 y 道题，则(C) Axy20 Bxy20 C5x2y60 D5x2y60 1515(2018泰安)夏季来临，某超市试销 A，B 两种型号的风扇，两周内共销售 30 台，销售收入 5 300 元，A 型风 扇每台 200 元，B 型风扇每台 150 元，问 A，B 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设 A 型风扇销售了 x 台，B 型风扇销售了 y 台，则根据题意
11、列出方程组为(C)A. B.xy5 300 200x150y30)xy5 300 150x200y30)C. D.xy30 200x150y5 300)xy30 150x200y5 300)1616(2018呼和浩特)文具店销售某种笔袋，每个 18 元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买 一个就可以打九折，价钱 比现在便宜 36 元” ，小华说：“那就多买一个吧，谢谢” ，根据两人的对话可知，小华结 账时实际付款 486 元 1717(2018海南)“绿水青山就是金山银山” ，海南省委省政府高度重视环境生态保护，截至 2017 年底，全省建 立国家级、省级和市县级自然保护区共 4
12、9 个，其中国家级 10 个，省级比市县级多 5 个问省级和市县级自然保 护区各有多少个？4解：设市县级自然保护区有 x 个，则省级自然保护区有(x5)个，根据题意，得 10x5x49，解得 x17. x522. 答：省级自然保护区有 22 个，市县级自然保护区有 17 个1818(2018永州)在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是 小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 x 人，女生人数为 y 人，依题意，得解得xy55， x1.5y5，)x35， y20.)答：小
13、明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 35 人，女生人数为 20 人1919(2018张家界)列方程解应用题 九章算术中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足 三问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出 5 元，则差 45 元；每人出 7 元，则差 3 元求人数和羊价各是多少？ 解：设买羊人数为 x 人，则羊价为(5x45)元，由题意，得 5x457x3，解得 x21. 则 5x45150. 答：买羊人数为 21 人，羊价为 150 元2020(2018长沙)随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促
14、 销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买 6 盒甲 品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需 5 200 元 (1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ (2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒，乙品牌粽子 100 盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元，根据题意，得解得6x3y600， 50 0.8x40 0.75y5 200，)x40， y120.)答：打折前甲品牌粽子每盒 40 元，乙品牌粽子每盒
15、120 元 (2)8040100120800.8401000.751203 640(元) 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了 3 640 元52121(2018台州)甲、乙两运动员在长为 100 m的直道 AB(A，B 为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时 从 A 点起跑，到达 B 点后，立即转身跑向 A 点，到达 A 点后，又立即转身跑向 B 点，.若甲跑步的速度为 5 m/s，乙跑步的速度为 4 m/s，则起跑后 100 s内，两人相遇的次数为(B) A5 B4 C3 D22222(2018德州)对于实数 a，b，定义运算“”：ab例如 43，因为 43.所以 4a2b2，a b
16、， ab，ab，)35.若 x，y 满足方程组则 xy6042324xy8， x2y29，)2323(2018威海)用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4 个矩形纸片围成如图 1 所示的正方形， 其阴影部分的面积为 12；8 个矩形纸片围成如图 2 所示的正方形，其阴影部分的面积为 8；12 个矩形纸片围成如 图 3 所示的正方形，其阴影部分的面积为 44166图 1 图 2 图 32424(2018荆州)九章算术是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五， 直金八两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛，2 只羊，值金 10 两；2 头牛，5 只
17、羊，值金 8 两问 每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金 x 两，y 两，则可列方程组为(A)A. B. C. D.5x2y10 2x5y8)5x2y10 2x5y8)5x2y10 2x5y8)5x2y8 2x5y8)2525(2018邵阳)程大位是我国明朝商人，珠算发明家他 60 岁时完成的直指算法统宗是东方古代数学名著， 详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法书中有如下问题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁 意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚 1 人分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，正好分完，大、小和尚 各有多少人，下列求解结果正确的是(A)A大和尚 25 人，小和尚 75 人 B大和尚 75 人，小和尚 25 人 C大和尚 50 人，小和尚 50 人 D大、小和尚各 100 人 2626(2018安徽)孙子算经中有这样一道题，原文如下： 今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？ 大意为： 今有 100 头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每 3 家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人 家？ 请解答上述问题 解：设城中有 x 户人家，依题意，得x 100，解得 x75.x 36答：城中有 75 户人家