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1、数值分析 Ch5 Ch5 矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算1.1.引言引言 工程实践中有多种工程实践中有多种振动问题振动问题，如桥梁，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些振动，及一些稳定性分析稳定性分析和相关分析可转和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。化为求矩阵特征值与特征向量的问题。数值分析London,England:Millennium(Wobbly)Bridge(1998-2002,Norman Foster and Partners and Arup Associates)数值分析Idecideth
2、atIhavetowritesomethingtoday,otherwiseIwouldnotknowhowtospeakEnglishhere.lThisisaveryquickstoryaboutabridge.lLondonlaunchedthreemajorconstructionprojectstocelebratethearrivaloftheMillennium.Afterall,Greenwich(pronouncedgreen-ich)issupposedtobe(supposedtobe?!)wheretheprimemeridianlies,andtheplacewher
3、etheMillenniumofficiallystartsintheworld.ThethreeprojectsaretheMillenniumDomeinNorthGreenwich,sofarthelargestsingleroofedstructureintheworld,LondonEyerightacrossWestminster,whichbecomessofarthelargestobservationwheelintheworld,andtheMillenniumBridgethatlinksSoutheastLondonwithSt.PaulsCathedral,which
4、iscurrentlywell.notswinginganymore,itissaid.数值分析lThebridgewasdesignedbyImperialCollege,acollegeofmyformeruniversity.Ontheveryfirstdaythatthebridgewasopentopublic,thereweresimplysomanypeoplegoingtheretowalkfromthesouthbanktoSt.Paulsthattheweightcompletelyexceededthearchitectsexpectation.lTheslenderst
5、eeltrussbridgebegantovibratewithamillionpeopleonthere.Theopeningceremonyendedupinanembarrassingvertigo.lMillenniumleftLondonersahappyadageaboutswingingbridge,meaningfancytechnologythatlooksgoodbutfunctionsinafunnyfashion.lAmIusingtoomanyFshere?Orisitsimplybecausemytonguestartstoswinginthesamedirecti
6、onwhenIamwritingaboutthiswobblybridge?lNexttimeyouvisitLondon,Istronglyrecommendthisplace.Afterall,withalittleswing,thisisashortcuttodashintoSt.Paulsdirectlyfromthesoutheast!数值分析G:Google Matrix,“the worlds largest matrix computation”.4,300,000,000 x:PageRank（网页级别）（网页级别）vector “The$25,000,000,000 Eig
7、envector”搜索引擎搜索引擎数值分析2.幂法幂法 设设A是是n阶矩阵，阶矩阵，x是非零列向量是非零列向量.如果有如果有数数存在，满足存在，满足 ，(1)那么，称那么，称x是矩阵是矩阵A关于特征值关于特征值的特征向的特征向量量.数值分析幂法就是一种求矩阵按模最大特征值的方法幂法就是一种求矩阵按模最大特征值的方法.幂法要求法要求A有完备的特征向量系。即有完备的特征向量系。即A有有n个线性个线性无关的特征向量。在实践中，常遇到的实对称矩阵无关的特征向量。在实践中，常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特的特征值和特征向量如下：征值
8、和特征向量如下：特征值：特征值：特征向量：特征向量：幂法可以求幂法可以求，基本思想很简单，基本思想很简单.数值分析设设线性无关，取初值线性无关，取初值，作迭代，作迭代设：设：则有：则有：数值分析利用利用则则k足够大时，有足够大时，有可见可见几乎仅差一个常数几乎仅差一个常数所以所以任意分量相除任意分量相除特征向量乘以任意数，仍是特征向量特征向量乘以任意数，仍是特征向量数值分析于是，可得到算法：于是，可得到算法：1.给出初值，计算序列给出初值，计算序列2.若序列相邻两个向量各个分量比趋向于常数，则若序列相邻两个向量各个分量比趋向于常数，则数值分析求矩阵求矩阵A的按模最大的特征值的按模最大的特征值解
9、解 取取 x(0)=(1,0)T,计算计算 x(k)=Ax(k-1),结果如下结果如下例例kx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取可取 0.41263,x1 (0.017451,0.014190)T.数值分析在幂法中，我们构造的序列在幂法中，我们构造的序列可以看出可以看出因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或
10、归0.数值分析定理定理规范化规范化数值分析决定收敛的速度，特别决定收敛的速度，特别是是|2/1|希望希望|2/1|越小越好。越小越好。不妨设不妨设 1 2 n，且，且|2|n|。1 2 nOp=(2+n)/2思思路路令令 B=A pI，则有，则有|I A|=|I(B+pI)|=|(p)I B|A p=B。而而 ，所以求，所以求B的特征根收敛的特征根收敛快。快。数值分析3.反幂法反幂法所以，所以，A和和A1的特征值互为倒数的特征值互为倒数求A1的按模最大特征值的按模最大特征值及相应的特征向量及相应的特征向量，就可以求出就可以求出A的按模最小特征值及相应的特征向量。的按模最小特征值及相应的特征向量。数值分析为避免求逆的运算，可以解线性方程组为避免求逆的运算，可以解线性方程组反幂法：反幂法：