《2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修1-1.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修1-1.doc（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、12.3.22.3.2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质学习目标：1.了解双曲线的几何性质(重点) 2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等(重点) 3.会用双曲线的几何性质处理简单的问题(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)x2 a2y2 b21(a0，b0)y2 a2x2 b2图形范围xa或xaya或ya对称性对称轴：x轴，y轴，对称中心：原点O顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)离心率e c a渐近线yxb ayxa b2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e.23离心率对双曲线开口大
2、小的影响以双曲线1(a0，b0)为例x2 a2y2 b2e ，故当 的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口c aa2b2a1b2a2b ab a越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大基础自测1判断正误：(1)等轴双曲线的离心率是.( )2(2)方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.( )y2 a2x2 b2b a(3)离心率越大，双曲线1 的渐近线斜率绝对值越大( )x2 a2y2 b22【解析】 (1).因为ab，所以ca，所以e .2c a2(2).由1，得yx，所以渐近线方程为yx.y2 a2x2 b2a ba b(3).由 (e1)，
3、所以e越大，渐近线yx斜率的绝对值越b ac2a2ae21b a大【答案】 (1) (2) (3)2双曲线x21 的渐近线方程为_，离心率e_. y2 3【导学号：95902117】【解析】 a1，b，渐近线方程为yx，33离心率e 2.c a131【答案】 yx 23合 作 探 究攻 重 难由双曲线的标准方程求几何性质求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程思路探究 化为标准 方程形式求出a、b、c得双曲线的 几何性质【自主解答】 把方程nx2my2mn(m0，n0)，化为标准方程1(m0，n0)，x2 my2 n由此可知，实半轴长a
4、，虚半轴长b，c，mnmn焦点坐标(，0)，(，0)，离心率e .mnmnc amnm1nm顶点坐标为(，0)，(，0)渐近线的方程为yxx.mmnmmnm规律方法 1由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a、b的值(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质2(1)由双曲线方程求其几何性质时，要与椭圆区分开，不能混淆，如对椭圆3a2b2c2，而对双曲线则是c2a2b2；对椭圆e ，对双曲线则是e c a1b2a2c a.1b2a2(2)求双曲线的渐近线方程时，只需将双曲线方程中的常数项化为零即可得到跟踪
5、训练1求双曲线x23y2120 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【导学号：95902118】【解】 将方程x23y2120 化为标准方程为1，a2，b2，c4，因此顶点A1(0，2)，A2(0,2)，焦点坐标F1(0，4)，y2 4x2 123F2(0,4)，实轴长 2a4，虚轴长 2b4，离心率e2，渐近线方程为yx.333由双曲线的几何性质求标准方程求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)离心率为 2，焦点到渐近线的距离等于；3(2)顶点间距离为 6，渐近线方程为yx；3 2(3)与双曲线x22y22 有公共的渐近线，且过点M(2，2)思路探究 分析双曲线 的几何
6、性质求a，b，c确定讨论焦点位置求双曲线的标准方程【自主解答】 (1)依题意，b， 2a1，c2，3c a双曲线的方程为x21 或y21.y2 3x2 3(2)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)3 2x2 4y2 9当0 时，a24，2a26 ；49 4当0，b0)和椭圆1 有相同的焦点，且双曲线的离x2 a2y2 b2x2 16y2 9心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_. 【导学号：95902119】【解析】 由题意知，椭圆的焦点坐标是(，0)，离心率是.故在双曲线中c774，e ，故a2，b2c2a23，故所求双曲线的方程是1.72 74c ax2 4y2 3【答案】 1x2 4
7、y2 3双曲线的离心率探究问题1双曲线离心率的定义式是什么？你能从其定义式得到其离心率的范围吗？【提示】 e ，因为c2a2b2，所以ca0，所以e 1.c ac a2利用a，b，c的关系c2a2b2，双曲线的离心率还有其它表达方式吗？【提示】 e或e.3根据探究 2 可知，求双曲线的离心率并不一定要求出a，b，c的具体数值，只要知道a，b，c三个参数中任意两个的比值就可以求出离心率，如果c2ac2a20，那么双曲线的离心率是什么？【提示】 由c2ac2a20 可得 20，即e2e20，(c a)2c a所以(e1)(e2)0，因为e1，所以e2.4如何求双曲线的离心率的取值范围？【提示】 解
8、关于离心率e的不等式，或者利用基本不等式、双曲线上点的坐标的范围求出 或 的取值范围可求离心率的取值范围c ab a5(1)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上x2 a2y2 b2存在一点P使得(PF1PF2)2b23ab，则该双曲线的离心率为_(2)已知双曲线1(a0，b0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上x2 a2y2 b2的任意一点，若的最小值为 8a，则双曲线离心率的取值范围是_PF2 1 PF2思路探究 (1)(PF1PF2)2b23ab4a2b23ab双曲线的定义离心率a，b，c的关系(2)利用双曲线的定义及基本不等式寻找a，c之间的不等关系，
9、可求出双曲线离心率的取值范围【自主解答】 (1)由双曲线的定义知，(PF1PF2)24a2，又(PF1PF2)2b23ab，所以 4a2b23ab，等号两边同除a2，化简得3 40，解得 4，或(b a)2b ab a1(舍去)故离心率e .b ac ac2 a2a2b2 a217(2)因为P为双曲线右支上的任意一点，所以PF12aPF2，所以PF24a24a8a，PF2 1 PF24a2 PF2PF24a2PF2当且仅当PF22a，PF14a，可得 2a4a2c解得e3，又因为双曲线离心率大于 1，故答案为(1,3【答案】 (1) (2)(1,317规律方法 求双曲线离心率的两种方法1直接法
10、：若已知a，c，可直接利用e 求解，若已知a，b，可利用ec a求解.1(ba)22方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2c2a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e ，转化为关于ec a的n次方程求解.跟踪训练3双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为x2 a2y2 b2_【解析】 依题意1，ab.则e22，e.(b a) (b a)c2 a2a2b2 a226【答案】 2构建体系当 堂 达 标固 双 基1双曲线 2x2y28 的实轴长是_【解析】 双曲线的标准方程为1，a24，2a4.x2 4y2 8【答案
11、】 42已知双曲线1(m0)的离心率为，则m_. x2 m23y2 4m2【导学号：95902120】【解析】 这里a2m23，b24m，c2m24m3，2，解得m1 或m3.m24m3 m23【答案】 1 或 33已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1,3)，离心率为的双曲线的标准2方程为_【解析】 由离心率为，e212，即ab，2c2 a2a2b2 a2b2 a2双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2y2(0)，又点P(1,3)在双曲线上，则198，所求双曲线的标准方程为1. y2 8x2 8【答案】 1y2 8x2 84在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(m0)的离心
12、率为，则该双曲线x2 2y2 m62的两条渐近线方程是_7【解析】 a22，b2m，c22m，又e ，e2，即 ，得m1，故c ac2 a23 22m 2渐近线方程为yxx.b a22【答案】 yx225双曲线与椭圆1 有相同的焦点，它的一条渐近线为yx，求双曲线的标准x2 16y2 64方程和离心率. 【导学号：95902121】【解】 由椭圆1，知c2641648，且焦点在y轴上，x2 16y2 64双曲线的一条渐近线为yx，设双曲线方程为1.又y2 a2x2 a2c22a248，a224.所求双曲线的方程为1.y2 24x2 24由 a224，c248，得 e22，又 e0，e.c2a22