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1、1第第 1818 讲讲 直角三角形与三角函数直角三角形与三角函数A A 组组 基础题组基础题组一、选择题一、选择题1.(2017 日照)在 RtABC 中,C=90,AB=13,AC=5,则 sin A 的值为( )A.B.C.D.5 1312 135 1212 52.(2018 滨州)在直角三角形中,若勾为 3,股为 4,则弦为 ( )A.5 B.6 C.7 D.83.(2018 临沂)如图,利用标杆 BE 测量建筑物的高度.已知标杆 BE 高 1.2 m,测得 AB=1.6 m.BC=12.4 m.则建筑物 CD 的高是( )A.9.3 m B.10.5 mC.12.4 mD.14 m4.
2、(2017 泰山模拟)直角三角形纸片的两直角边长分别为 6,8,现将ABC 如图那样折叠,使点 A 与点 B 重合,折痕为 DE,则 tanCBE 的值是( )A.B.C.D.24773724135.如图,斜面 AC 的坡度(CD 与 AD 的比)为 12,AC=3米,坡顶有旗杆 BC,旗杆顶端 B 点与5A 点有一条彩带相连.若 AB=10 米,则旗杆 BC 的高度为( )A.5 米B.6 米C.8 米D.(3+)米5二、填空题二、填空题6.如图,在 RtABC 中,C=90,AB=13,AC=7,则 sin B= . 27.(2018 泰安模拟)如图,是矗立在泰安岱庙前的交通警示牌,经测量
3、得到如下数据:AM=4 米,AB=8 米,MAD=45,MBC=30,则警示牌的高 CD 为 米(结果精确到 0.1 米,参考数据:1.41,1.73). 238.(2018 德州)如图,在 44 的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点.ABC 的顶点都在格点上,则BAC 的正弦值是 . 三、解答题三、解答题9.(2018 东营)关于 x 的方程 2x2-5xsin A+2=0 有两个相等的实数根,其中A 是锐角三角形ABC 的一个内角.(1)求 sin A 的值;(2)若关于 y 的方程 y2-10y+k2-4k+29=0 的两个根恰好是ABC 的两边长,求ABC 的周长.B B 组组
4、提升题组提升题组一、选择题一、选择题31.如图,在矩形 ABCD 中,BC=6,CD=3,将BCD 沿对角线 BD 翻折,点 C 落在点 C处,BC交 AD于点 E,则线段 DE 的长为( )A.3 B.15 4C.5 D.1522.(2018 枣庄)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是边 BC 的中点,AEBD,垂足为 F,则 tanBDE 的值是( )A.B.241 4C.D.1 323二、填空题二、填空题3.如图,一只蚂蚁沿着棱长为 2 的正方体表面从点 A 出发,经过 3 个面爬到点 B,如果它运动的路径是最短的,则 AC 的长为 . 4.如图,在ABC 中,BAC=60,ABC=9
5、0,直线 l1l2l3,l1与 l2之间距离是 1,l2与l3之间距离是 2.且 l1、l2、l3分别经过点 A、B、C,则边 AC 的长为 . 4三、解答题三、解答题5.如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,AD=3,点 P 是 AB 边上一点(不与 A,B 重合),连接 CP,过点 P 作PQCP 交 AD 边于点 Q,连接 CQ.(1)当CDQCPQ 时,求 AQ 的长;(2)取 CQ 的中点 M,连接 MD,MP,若 MDMP,求 AQ 的长.6.如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,B=90,AB=8 cm,AD=12 cm,BC=18 cm,点 P 从点 A 出发以 2 cm/s
6、 的速度沿 ADC 运动,点 P 从点 A 出发的同时点 Q 从点 C 出发,以 1 cm/s 的速度向点 B 运动,当点 P 到达点 C 时,点 Q 也停止运动.设点 P,Q 运动的时间为 t 秒.从运动开始,当 t 取何值时,PQC 为直角三角形?第第 1818 讲讲 直角三角形与三角函数直角三角形与三角函数A A 组组 基础题组基础题组5一、选择题一、选择题1.B 在 RtABC 中,由勾股定理得 BC=12,sin A=.故选 B.2- 2 12 132.A 在直角三角形中,勾为 3,股为 4,弦为=5.32+ 42故选 A.3.B EBCD,A=A,ABEACD,=, 即=,1.6
7、1.6 + 12.41.2 CD=10.5 m.故选 B.4.C 根据题意可知 BE=AE.设 CE=x,则 BE=AE=8-x.在 RtBCE 中,根据勾股定理得 BE2=BC2+CE2,即(8-x)2=62+x2,解得 x= .7 4tanCBE= =. 7 4 67 24故选 C.5.A 设 CD=x 米,则 AD=2x 米,由勾股定理可得,AC=x 米.2+ (2)25AC=3米,5x=3,55x=3,即 CD=3 米,AD=23=6 米.在 RtABD 中,BD=8 米,102- 626BC=8-3=5 米.故选 A.二、填空题二、填空题6.答案 7 13解析 在 RtABC 中,C
8、=90,AB=13,AC=7,sin B=. 7 137.答案 2.9解析 由题意可得:AM=4 米,MAD=45,DM=4 米,AM=4 米,AB=8 米,MB=12 米,MBC=30,BC=2MC,MC2+MB2=(2MC)2,MC2+122=(2MC)2,MC=46.92(米),CD=MC-42.9 米.38.答案 55解析 AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AC2+BC2=AB2,ABC 为直角三角形,且ACB=90,则 sinBAC=. 55三、解答题三、解答题9.解析 (1)关于 x 的方程 2x2-5xsin A+2=0 有两个相等的实数
9、根,=25sin2A-16=0,sin2A=,16 257sin A= ,4 5A 为锐角,sin A= .4 5(2)由题意知,方程 y2-10y+k2-4k+29=0 有两个实数根,则 0,100-4(k2-4k+29)0,-(k-2)20,(k-2)20,又(k-2)20,k=2.把 k=2 代入方程,得 y2-10y+25=0,解得 y1=y2=5,ABC 是等腰三角形,且腰长为 5.分两种情况:A 是顶角时:如图 1,过点 B 作 BDAC 于点 D,在 RtABD 中,AB=AC=5,sin A= ,4 5AD=3,BD=4,DC=2,BC=2.5ABC 的周长为 10+2.5A
10、是底角时:如图 2,过点 B 作 BDAC 于点 D,在 RtABD 中,AB=5,sin A= ,4 5AD=DC=3,8AC=6.ABC 的周长为 16.综上,ABC 的周长为 10+2或 16.5B B 组组 提升题组提升题组一、选择题一、选择题1.B 设 ED=x,则 AE=6-x.四边形 ABCD 为矩形,ADBC,EDB=DBC.由题意得:EBD=DBC,EDB=EBD,EB=ED=x.由勾股定理得:BE2=AB2+AE2,即 x2=32+(6-x)2,解得:x=,15 4ED=.故选 B.15 42.A 四边形 ABCD 是矩形,AD=BC,ADBC,点 E 是边 BC 的中点,
11、BE= BC= AD,1 21 2BEFDAF,=, 9EF= AF,1 2EF= AE,1 3点 E 是边 BC 的中点,由矩形的对称性得:AE=DE,EF= DE,设 EF=x,则 DE=3x,1 3DF=2x,2- 22tanBDE=. 2 224故选 A.二、填空题二、填空题3.答案 2 103解析 将正方体展开,右边与后面的正方形及前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时 AB 最短,BCMACN,=,即 =2,即 MC=2NC, 4 2 CN= MN= ,1 32 3在 RtACN 中,根据勾股定理得:AC=.2+ 22 1034.答案 2 321解析 过点 B 作 DEl2,
12、交 l1于 D,交 l3于 E,如图,10DEl2,l1l2l3,DEl1,DEl3,ABD+DAB=90,ADB=BEC=90,又ABC=90,ABD+EBC=90,DAB=EBC,在ABD 和BCE 中,ADB=BEC,DAB=EBC,ABDBCE,=. 在ABC 中,BAC=60,tanBAC=, 3=, 3DB=1,BE=2,EC=,AD=.32 33在 RtABD 中,AD=,DB=1,2 33AB2= ,7 3EC=,BE=2,3在 RtBCE 中,BC2=7,11AC2=BC2+AB2=7+ =.7 328 3AC=.2 321三、解答题三、解答题5.解析 (1)CDQCPQ,D
13、Q=PQ,PC=DC,AB=DC=5,AD=BC=3,PC=5,在 RtPBC 中,PB=4,2- 2PA=AB-PB=5-4=1,设 AQ=x,则 DQ=PQ=3-x,在 RtPAQ 中,(3-x)2=x2+12,解得 x= ,4 3AQ= .4 3(2)如图,过 M 作 EFCD 于 F,则 EFAB,MDMP,PMD=90,PME+DMF=90,FDM+DMF=90,MDF=PME,M 是 QC 的中点,DM=PM= QC,1 212在MDF 和PME 中, = , = , = ,?MDFPME(AAS),DF=ME,MF=PE,EFCD,ADCD,EFAD,QM=MC,DF=CF= D
14、C= ,1 25 2ME= ,5 2ME 是梯形 ABCQ 的中位线,2ME=AQ+BC,即 5=AQ+3,AQ=2.6.解析 过 P 点作 PEBC 于 E,过 D 点作 DFBC 于 F,DF=AB=8 cm.FC=BC-AD=18-12=6 cm.当 PQBC 时,BE+CE=18 cm.即 2t+t=18,t=6;当 QPPC 时,当 P 在 DC 边上时,可得 PC=22-2t,QC=t,此时满足=,22 - 2 6 10则 t=.110 13当 P 在 AD 边上时,CE=BC-2t=(18-2t)cm,13PE=8 cm,QE=t-CE=(3t-18)cm,易知 PE2=QECE,64=(3t-18)(18-2t),无解.当 PCBC 时,因为DCB90,所以此种情形不存在.当 t=6 或时,PQC 是直角三角形.110 13