《数学史研究之微积分的发展28617.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学史研究之微积分的发展28617.docx（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学史研究究之微积分分的发展这学期，我我选修了数数学史这门门课程，听听了一个学学期下来，随随着老师的的精心讲解解，我对数数学又有了了重新的认认识，以前前只是学习习、做题，数数学题倒是是做了不少少，可是真真要说对数数学的认识识，还有很很大的差距距，甚至连连概念都数数不清楚，所所以，想要要学好数学学，对数学学史的研究究必不可少少。数学史史，顾名思思义，分开开来理解，数数学与历史史，他的研研究对象涉涉及到数学学以及历史史，所以和和传统的数数学研究方方法又不同同，他着重重于研究过过去历史上上的数学方方法，数到到历史，他他又为我们们展现了数数学的一个个发展过程程，带我们们走过了几几千年的数数学历史，从从
2、简单到复复杂，逐步步为我们剖剖析，使我我们对数学学的发展过过程有了大大概的了解解，作为一一个当代大大学生，我我想大家都都有必要了了解这些，数数学在当今今社会已变变得越来越越重要以及及普遍，几几乎涉及到到每个方面面，所以学学好数学对对每一个人人的思维锻锻炼有很大大好处。谈到高等数数学，大学学生能应该该都知道，这这是大学必必修的基础础学科。而而其中微积积分又是重重中之重，贯贯穿整个高高等数学，以以及其他理理工课程。学学好微积分分，对深入入学习一些些课程很重重要。微积积分的创立立，被誉为为“人类精神神的最高胜胜利”。在188世纪，微微积分进一一步深入发发展，这种种发展与广广泛的应用用紧密交织织在一起
3、，刺刺激和推动动了许多数数学新分支支的产生，从从而形成了了“分析”这样一个个在观念上上和方法上上都具有鲜鲜明特点的的数学领域域。在数学学史上，118世纪可可以说是分分析的时代代，也是向向现代数学学过度的重重要时期。 微微积分学的的触角几乎乎遍至当今今科学的各各个角落,是当代科科学大厦的的重要石,微积分的的发展过程程是数学家家集体智慧慧的结晶。微微积分的发发展大致可可分为以下下4个阶段:早期萌芽芽,酝酿时期期,创建期,发展完善善期。一：早起萌萌芽 微微积分，顾顾名思义，涉涉及到微分分与积分，他他们的发展展是独立的的，接下来来我想大家家分别介绍绍。1 积分学 积积分学的思思想萌芽可可以追溯到到古代
4、,因为面积积与体积的的计算自古古以来一直直是数学家家们感兴趣趣的课题,这里介绍绍几位具有有突出贡献献的数学家家以及他们们的学术理理论,他们的理理论代表着着数学研究究的思想、精精神和方法法。 古古希腊数学学家欧多克克斯(约公元前前410 - 前347年)发展安提提丰的“穷竭法”为“设给定两两个不相等等的量,如果以较较大的量减减去比它的的一半大的的量,再以所得得量减去比比这个量的的一半大的的量,继续重复复这一过程程,必有某个个量将小于于给定的较较小的量”。欧多克克斯的穷竭竭法可看作作微积分的的第一步,但没有明明确地用极极限概念,也回避了了“无穷小”概念,并证明了了“棱椎体积积是同等同同高的棱柱柱体
5、积的三三分之一”。古希腊腊数学家阿阿基米德(公元前2887 - 前212 )在处处理力学问问题的方法法一文中中阐明了“平衡法”,即“将需要求求积的量(面积、体体积等)分成许多多微小单元元(如微小线线段、薄片片等) ,再用另一一组微小单单元来进行行比较,而后一组组小单元的的总和是可可以计算的的,但它要借借助于杠杆杆的平衡原原理来计算算”。实质上上“平衡法”是一种原原始的“积分法”。阿基米米德用“平衡法”证明了球球体积公式式:球体积= , 且等于于外切圆柱柱体积的。 中中国数学家家刘徽(生于公元元263 年) ,发明明了“割圆术”“割割之弥细,所失弥少少,割之又割割,以至于不不可割,则与圆合合体而
6、无所所失矣”,并求得圆圆周率 3.14 。 祖祖暅(5世纪- 66世纪) ,解决了刘刘徽绞尽脑脑汁未果的的求球体积积问题,祖用的方方法是祖氏氏定理“幂势既同同,则积不容容异”和“岀入相补补原理”,祖暅的球体积积公式为VV 球= (D为球的的直径) 。2 微分学 与与积分学相相比,微分学的的起源则要要晚得多,早期应用用微分学思思想是静止止的,不是动态态的,与现代微微积分相差差甚远。二：酝酿时时期 115, 116世纪在在欧洲文艺艺复兴的高高潮中,数学的发发展与科学学的革命紧紧密结合在在一起,提出了以以下亟待解解决的问题题: (1)如何何确定非匀匀速运动物物体的速度度与加速度度及瞬时变变化率问题题
7、。(2)望远远镜的设计计需要确定定透镜曲面面上任意一一点的法线线,求任意曲曲线切线的的连续变化化问题。(3)确定定炮弹的最最大射程及及寻求行星星轨道的近近日点与远远日点等涉涉及的函数数极大值、极极小值问题题。(4)行星星沿轨道运运动的路程程、行星矢矢径扫过的的面积以及及物体重心心与引力的的计算等。为解决科学学发展所带带来的一系系列问题, 17世世纪上半叶叶被人们遗遗忘千年的的微积分重重又成为重重点研究对对象,几乎所有有的科学大大师都竭力力寻求这些些问题的解解决方法,有代表性性的成果有有以下几个个方面:1 开普勒与旋旋转体体积积 德德国天文学学家、数学学家开普勒勒(15771 - 16300)在
8、16155年发表的的测量酒酒桶的新立立体几何中中,采用“用无数个个同维无限限小元素之之和来确定定曲边形的的面积及旋旋转体的体体积”。例如,他认为球球的体积是是无数个小小圆锥的体体积的和,这些圆锥锥的顶点在在球心,底面则是是球的一部部分;他又把圆圆锥面看作作极薄的圆圆盘之和,并由此计计算出它的的体积,然后得出出球体体积积为:球的半径径乘以球面面面积的三三分之一( V = R 4 ) 。2 卡瓦列里不不可分量原原理意大利数学学家卡瓦列列里( 11598 - 16647)在在用新方方法促进的的连续不可可分量的几几何学中中发展了系系统的不可可分量方法法:“两个等高高的立体,如果它们们的平行于于底面且离
9、离开底面有有相等距离离的截面面面积之比为为定值,那么这两两个立体的的体积之间间也有同样样的比”(当比为1: 1时,就是祖原原理,只不过相相差1 0000多年年) ,并于于16399年利用平平面上不可可分量原理理建立了等等价于积分分的基本结结果,使早期积积分突破体体积计算的的现实原型型而向一般般算法过渡渡。3 沃利斯“无无穷算术”英国数学家家沃利斯( 16116 - 17033)是牛顿顿和莱布尼尼茨之前将将分析方法法引入微积积分贡献最最大的数学学家,并在无无穷算术中中用“分析”的途径发发展积分法法,并获得许许多重要成成果,比如将幂幂函数积分分公式推及及到分数幂幂 ,不过沃利利斯仅对qq = 11
10、的特例给给出了证明明。4 笛卡尔“圆圆法” 法法国数学家家笛卡尔( 15996 - 16500)在几几何学中中提到了用用代数方法法求切线的的方法“圆法法”。笛卡尔尔的代数方方法在推动动微积分的的早期发展展方面有很很大的影响响,牛顿就是是以笛卡尔尔的“圆法”为起跑点点而踏上研研究微积分分的道路的的。5 费马求极大大值与极小小值的方法法法国业余数数学家费马马( 16601 - 16665)在给给梅森的一一封信中提提出了求极极大值与极极小值的代代数的方法法。按费马马的方法,设函数f (x) 在点a处取值,用a+ ee代替原来来的未知量量a ,并使f ( a + e) 与f ( a) 逼逼近,消去公共
11、共项后, 用e 除两边边再令e 消失, 即,此方程求求得的a 就是f ( x) 的极值点点。6 巴罗微分三三角英国数学家家巴罗(11630 - 16677)在在几何讲讲义中应应用“微分三角角形”给出了求求曲线切线线的方法,这对于他他的学生牛牛顿完成微微积分理论论起到了重重要作用。三：微积分分学的创建建 微积分学是是由牛顿与与莱布尼茨茨分别独立立创建的。1.牛顿的的“流数术” 英国数学家家牛顿(11642 - 17727)于于16655年11月发明明“正流数术术”(微分法) , 16666年5月建立“反流数术术”(积分法) 。16666年10月,牛顿将前前两年的工工作总结为为流数简简论,明确了现
12、现代微积分分的基本方方法,是历史上上第1篇系统的的微积分文文献。牛顿顿将自古希希腊以来的的求解无限限小问题的的各种技巧巧统一为两两类普通的的算法) 正、反反流数术(流数就是是微商) ,并证明明了二者的的互逆关系系,将这两类类运算进一一步统一成成整体,这是他超超越前人的的功绩,也正是在在这样的定定义下,我们说牛牛顿发明了了微积分。应应用微积分分理论,牛顿在16687 - 16993年里相相继发表了了运用无无限多项方方程的分析析(分析学学) 、流流数术与无无穷级数(流数法) 、曲线求积术(求积术) 。在这些文献中他改变了自己对无限小量的依赖,提出了极限方法的先导“首末比方法”,第1次引进流数记号,
13、一次流数x, y, z,二次流数, , 等。2.莱布尼尼茨德国数学家家莱布尼茨茨( 16646 - 17116)是从从巴罗的“微分三角角形”切入微积积分研究工工作的,他在研究究“微分三角角形”时认识到到:“求曲线的的切线依赖赖于纵坐标标的差值与与横坐标的的差值在变变成无限小小时之比;求曲线的的面积则依依赖于无限限小区间上上的纵坐标标之和”。早在16666年,莱布尼茨茨在组合合艺术一一书中讨论论过数列问问题并求得得许多重要要结论。11972 年开始,莱布尼茨茨将他对数数列研究的的结果与微微积分运算算结合起来来, 16775年10月29日的一份手手稿中,他决定用用sum拉长长的s, 表示积分分,
14、16676年11月,莱布尼茨茨已经能够够给出幂函函数的微分分与积分公公式: dx与 (其中不一一定是正整整数) 。16777年,莱布尼茨茨在一篇手手稿中明确确陈述了微微积分基本本定理) 。3 优先权之争争瑞士数学家家德丢勒于于16999年在一本本小册子中中提出: “牛顿是微微积分的第第一发明人人”“莱布尼尼茨是微积积分的第二二发明人”。从而引引发了牛顿顿与莱布尼尼茨“发明微积积分”优先权的的争论,这场争论论被称为“科学史上上最不幸的的一章”,并导致了了英国与欧欧洲国家在在数学发展展上的分道道扬镳。事事实上,牛顿与莱莱布尼茨是是相互独立立的发明微微积分的。四：微积分分的完善时时期牛顿与莱布布尼茨
15、的微微积分还只只能说是姗姗姗学步的的孩童时期期,还很不完完善,历经众多多数学大家家的发展才才有了今天天的面貌,主要代表表人物有:瑞士数学学家欧拉( 1700717833)在17488 年出版版的无限限小分析引引论以及及随后发表表的微分分学和积积分学中中同时引进进了一批标标准的符号号,如: f ( x) 函数符号号, 求和符符号, e 自然对数数底, i 虚数号等等等,对分析表表达的规范范化起了重重要作用。法法国数学家家柯西(11789 - 18851)在在分析教教程和无无限小计算算教程概论论中,以严格化化为目标,对微积分分的基本概概念如变量量、函数、极极限、连续续性、导数数、微分等等给出了明明
16、确的定义义,并在此基基础上重建建和拓展了了微积分的的一些重要要事实与定定理,如证明连连续函数的的积分(作为和式式的极限)的存在性性、证明级级数Sn 收敛的判判别准则、中中值定理等等,柯西的工工作向分析析的全面严严格化迈出出了关键的的一步。但但由于实数数系的不明明确,微积分还还不够完善善,逻辑上仍仍存在着一一些问题,这导致了了19世纪后后半叶数学学史上著名名的“分析算术术化”运动。德德国数学家家维尔斯特特拉斯( 18155 - 11897)认为实数数系是解决决极限与连连续等概念念的关键,从而成为为全部分析析的本源。要要使分析严严格化,必须使实实数系严格格化,最可靠的的办法是按按照严密的的推理将实
17、实数归结为为整数(有理理数) ,这样分析析的所有概概念便可由由整数导出出,使以往的的漏洞和缺缺陷都能得得以填补。这这就是“分析算术术化”纲领。维维尔斯特拉拉斯和他的的学生们为为实现这一一纲领付出出了艰苦的的努力并获获得了很大大的成功。现现代的-语言就是是由他创造造的,也为他博博得了“现代代分析之父父”的称号。微积分学至至此基本发发展完善。 以以上是我对对微积分学学的发展的的一个描述述，相信通通过这篇论论文，我已已经对微积积分有了更更深了解，对对我的数学学知识得到到了更大的的补充，对对数学史上上的成就也也有了更深深的了解，学学好数学很很重要。参考文献：1数学学史概论 李文林 高等教教育出版社社2微积积分发展概概论 （美美）卡尔.B.波耶耶 复旦旦大学出版版社