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1、数学史研究之微积分的发展这学期，我我选修了了数学史史这门课课程，听听了一个个学期下下来，随随着老师师的精心心讲解，我我对数学学又有了了重新的的认识，以以前只是是学习、做做题，数数学题倒倒是做了了不少，可可是真要要说对数数学的认认识，还还有很大大的差距距，甚至至连概念念都数不不清楚，所所以，想想要学好好数学，对对数学史史的研究究必不可可少。数数学史，顾顾名思义义，分开开来理解解，数学学与历史史，他的的研究对对象涉及及到数学学以及历历史，所所以和传传统的数数学研究究方法又又不同，他他着重于于研究过过去历史史上的数数学方法法，数到到历史，他他又为我我们展现现了数学学的一个个发展过过程，带带我们走走过
2、了几几千年的的数学历历史，从从简单到到复杂，逐逐步为我我们剖析析，使我我们对数数学的发发展过程程有了大大概的了了解，作作为一个个当代大大学生，我我想大家家都有必必要了解解这些，数数学在当当今社会会已变得得越来越越重要以以及普遍遍，几乎乎涉及到到每个方方面，所所以学好好数学对对每一个个人的思思维锻炼炼有很大大好处。谈到高等数数学，大大学生能能应该都都知道，这这是大学学必修的的基础学学科。而而其中微微积分又又是重中中之重，贯贯穿整个个高等数数学，以以及其他他理工课课程。学学好微积积分，对对深入学学习一些些课程很很重要。微微积分的的创立，被被誉为“人类精精神的最最高胜利利”。在118世纪纪，微积积分
3、进一一步深入入发展，这这种发展展与广泛泛的应用用紧密交交织在一一起，刺刺激和推推动了许许多数学学新分支支的产生生，从而而形成了了“分析”这样一一个在观观念上和和方法上上都具有有鲜明特特点的数数学领域域。在数数学史上上，188世纪可可以说是是分析的的时代，也也是向现现代数学学过度的的重要时时期。 微微积分学学的触角角几乎遍遍至当今今科学的的各个角角落,是当代代科学大大厦的重重要石,微积分分的发展展过程是是数学家家集体智智慧的结结晶。微微积分的的发展大大致可分分为以下下4个阶段段:早期萌萌芽,酝酿时时期,创建期期,发展完完善期。一：早起萌萌芽 微微积分，顾顾名思义义，涉及及到微分分与积分分，他们们
4、的发展展是独立立的，接接下来我我想大家家分别介介绍。1 积分学 积积分学的的思想萌萌芽可以以追溯到到古代,因为面面积与体体积的计计算自古古以来一一直是数数学家们们感兴趣趣的课题题,这里介介绍几位位具有突突出贡献献的数学学家以及及他们的的学术理理论,他们的的理论代代表着数数学研究究的思想想、精神神和方法法。 古古希腊数数学家欧欧多克斯斯(约公元元前4110 - 前3477年)发展安安提丰的的“穷竭法法”为“设给定定两个不不相等的的量,如果以以较大的的量减去去比它的的一半大大的量,再以所所得量减减去比这这个量的的一半大大的量,继续重重复这一一过程,必有某某个量将将小于给给定的较较小的量量”。欧多多
5、克斯的的穷竭法法可看作作微积分分的第一一步,但没有有明确地地用极限限概念,也回避避了“无穷小小”概念,并证明明了“棱椎体体积是同同等同高高的棱柱柱体积的的三分之之一”。古希希腊数学学家阿基基米德(公元前前2877 - 前2122 )在在处理理力学问问题的方方法一一文中阐阐明了“平衡法法”,即“将需要要求积的的量(面积、体体积等)分成许许多微小小单元(如微小小线段、薄薄片等) ,再再用另一一组微小小单元来来进行比比较,而后一一组小单单元的总总和是可可以计算算的,但它要要借助于于杠杆的的平衡原原理来计计算”。实质质上“平衡法法”是一种种原始的的“积分法法”。阿基基米德用用“平衡法法”证明了了球体积
6、积公式:球体积积= , 且等等于外切切圆柱体体积的。 中中国数学学家刘徽徽(生于公公元2663 年年) ,发明了了“割圆术术”“割割之弥细细,所失弥弥少,割之又又割,以至于于不可割割,则与圆圆合体而而无所失失矣”,并求得得圆周率率 3.14 。 祖祖暅(5世纪纪- 66世纪) ,解决决了刘徽徽绞尽脑脑汁未果果的求球球体积问问题,祖用的的方法是是祖氏定定理“幂势既既同,则积不不容异”和“岀入相相补原理理”,祖暅的球体体积公式式为V 球= (D为球球的直径径) 。2 微分学 与与积分学学相比,微分学学的起源源则要晚晚得多,早期应应用微分分学思想想是静止止的,不是动动态的,与现代代微积分分相差甚甚远
7、。二：酝酿时时期 115, 16世世纪在欧欧洲文艺艺复兴的的高潮中中,数学的的发展与与科学的的革命紧紧密结合合在一起起,提出了了以下亟亟待解决决的问题题: (1)如何何确定非非匀速运运动物体体的速度度与加速速度及瞬瞬时变化化率问题题。(2)望远远镜的设设计需要要确定透透镜曲面面上任意意一点的的法线,求任意意曲线切切线的连连续变化化问题。(3)确定定炮弹的的最大射射程及寻寻求行星星轨道的的近日点点与远日日点等涉涉及的函函数极大大值、极极小值问问题。(4)行星星沿轨道道运动的的路程、行行星矢径径扫过的的面积以以及物体体重心与与引力的的计算等等。为解决科学学发展所所带来的的一系列列问题, 177世纪
8、上上半叶被被人们遗遗忘千年年的微积积分重又又成为重重点研究究对象,几乎所所有的科科学大师师都竭力力寻求这这些问题题的解决决方法,有代表表性的成成果有以以下几个个方面:1 开普勒与旋旋转体体体积 德德国天文文学家、数数学家开开普勒(15771 - 16630)在16115年发发表的测测量酒桶桶的新立立体几何何中,采用“用无数数个同维维无限小小元素之之和来确确定曲边边形的面面积及旋旋转体的的体积”。例如如,他认为为球的体体积是无无数个小小圆锥的的体积的的和,这些圆圆锥的顶顶点在球球心,底面则则是球的的一部分分;他又把把圆锥面面看作极极薄的圆圆盘之和和,并由此此计算出出它的体体积,然后得得出球体体体
9、积为为:球的半半径乘以以球面面面积的三三分之一一( V = RR 4 ) 。2 卡瓦列里不不可分量量原理意大利数学学家卡瓦瓦列里( 15598 - 116477)在用用新方法法促进的的连续不不可分量量的几何何学中中发展了了系统的的不可分分量方法法:“两个等等高的立立体,如果它它们的平平行于底底面且离离开底面面有相等等距离的的截面面面积之比比为定值值,那么这这两个立立体的体体积之间间也有同同样的比比”(当比为为1: 1时,就是祖祖原理,只不过过相差11 0000多年年) ,并于16639年年利用平平面上不不可分量量原理建建立了等等价于积积分的基基本结果果,使早期期积分突突破体积积计算的的现实原原
10、型而向向一般算算法过渡渡。3 沃利斯“无无穷算术术”英国数学家家沃利斯斯( 116166 - 17003)是是牛顿和和莱布尼尼茨之前前将分析析方法引引入微积积分贡献献最大的的数学家家,并在无无穷算术术中用用“分析”的途径径发展积积分法,并获得得许多重重要成果果,比如将将幂函数数积分公公式推及及到分数数幂 ,不过沃沃利斯仅仅对q = 11的特例例给出了了证明。4 笛卡尔“圆圆法” 法法国数学学家笛卡卡尔( 15996 - 16650)在几几何学中中提到了了用代数数方法求求切线的的方法“圆法”。笛卡尔的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响,牛顿就是以笛卡尔的“圆法”为起跑点而踏上研究微积
11、分的道路的。5 费马求极大大值与极极小值的的方法法国业余数数学家费费马( 16001 - 16665)在给梅梅森的一一封信中中提出了了求极大大值与极极小值的的代数的的方法。按按费马的的方法,设函数数f (x) 在点a处取值值,用a+ e代替替原来的的未知量量a ,并使f ( aa + e) 与f ( a) 逼近近,消去公公共项后后, 用e 除两两边再令令e 消失失, 即,此方程程求得的的a 就是是f ( x) 的极极值点。6 巴罗微分三三角英国数学家家巴罗(16330 - 16677)在几几何讲义义中应应用“微分三三角形”给出了了求曲线线切线的的方法,这对于于他的学学生牛顿顿完成微微积分理理论
12、起到到了重要要作用。三：微积分分学的创创建 微积分学是是由牛顿顿与莱布布尼茨分分别独立立创建的的。1.牛顿的的“流数术术” 英国数学家家牛顿(16442 - 17727)于16665年11月发发明“正流数数术”(微分法法) , 16666年年5月建立立“反流数数术”(积分法法) 。16666年10月,牛顿将将前两年年的工作作总结为为流数数简论,明确了现代微积分的基本方法,是历史上第1篇系统的微积分文献。牛顿将自古希腊以来的求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法) 正、反流数术(流数就是微商) ,并证明了二者的互逆关系,将这两类运算进一步统一成整体,这是他超越前人的功绩,也正是在这样的定义
13、下,我们说牛顿发明了微积分。应用微积分理论,牛顿在1687 - 1693年里相继发表了运用无限多项方程的分析(分析学) 、流数术与无穷级数(流数法) 、曲线求积术(求积术) 。在这些文献中他改变了自己对无限小量的依赖,提出了极限方法的先导“首末比方法”,第1次引进流数记号,一次流数x, y, z,二次流数, , 等。2.莱布尼尼茨德国数学家家莱布尼尼茨( 16446 - 17716)是从巴巴罗的“微分三三角形”切入微微积分研研究工作作的,他在研研究“微分三三角形”时认识识到:“求曲线线的切线线依赖于于纵坐标标的差值值与横坐坐标的差差值在变变成无限限小时之之比;求曲线线的面积积则依赖赖于无限限小
14、区间间上的纵纵坐标之之和”。早在在16666年,莱布尼尼茨在组组合艺术术一书书中讨论论过数列列问题并并求得许许多重要要结论。1972 年开始,莱布尼茨将他对数列研究的结果与微积分运算结合起来, 1675年10月29日的一份手稿中,他决定用sum拉长的s, 表示积分, 1676年11月,莱布尼茨已经能够给出幂函数的微分与积分公式: dx与 (其中不一定是正整数) 。1677年,莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理) 。3 优先权之争争瑞士数学家家德丢勒勒于16699年年在一本本小册子子中提出出: “牛顿是是微积分分的第一一发明人人”“莱布布尼茨是是微积分分的第二二发明人人”。从而而引发了
15、了牛顿与与莱布尼尼茨“发明微微积分”优先权权的争论论,这场争争论被称称为“科学史史上最不不幸的一一章”,并导致致了英国国与欧洲洲国家在在数学发发展上的的分道扬扬镳。事事实上,牛顿与与莱布尼尼茨是相相互独立立的发明明微积分分的。四：微积分分的完善善时期牛顿与莱布布尼茨的的微积分分还只能能说是姗姗姗学步步的孩童童时期,还很不不完善,历经众众多数学学大家的的发展才才有了今今天的面面貌,主要代代表人物物有:瑞士数数学家欧欧拉( 1700717783)在17448 年年出版的的无限限小分析析引论以以及随后后发表的的微分分学和和积分分学中中同时引引进了一一批标准准的符号号,如: f ( xx) 函数符符号
16、, 求和和符号, e 自然对对数底, i 虚数号号等等,对分析析表达的的规范化化起了重重要作用用。法国国数学家家柯西(17889 - 18851)在分分析教程程和无无限小计计算教程程概论中中,以严格格化为目目标,对微积积分的基基本概念念如变量量、函数数、极限限、连续续性、导导数、微微分等给给出了明明确的定定义,并在此此基础上上重建和和拓展了了微积分分的一些些重要事事实与定定理,如证明明连续函函数的积积分(作为和和式的极极限)的存在在性、证证明级数数Sn 收敛的的判别准准则、中中值定理理等,柯西的的工作向向分析的的全面严严格化迈迈出了关关键的一一步。但但由于实实数系的的不明确确,微积分分还不够够
17、完善,逻辑上上仍存在在着一些些问题,这导致致了199世纪后后半叶数数学史上上著名的的“分析算算术化”运动。德德国数学学家维尔尔斯特拉拉斯( 18115 - 18897)认为实实数系是是解决极极限与连连续等概概念的关关键,从而成成为全部部分析的的本源。要要使分析析严格化化,必须使使实数系系严格化化,最可靠靠的办法法是按照照严密的的推理将将实数归归结为整数(有理理数) ,这样样分析的的所有概概念便可可由整数数导出,使以往往的漏洞洞和缺陷陷都能得得以填补补。这就就是“分析算算术化”纲领。维维尔斯特特拉斯和和他的学学生们为为实现这这一纲领领付出了了艰苦的的努力并并获得了了很大的的成功。现现代的-语言就就是由他他创造的的,也为他他博得了“现代代分析之之父”的称号号。微积分学至至此基本本发展完完善。 以以上是我我对微积积分学的的发展的的一个描描述，相相信通过过这篇论论文，我我已经对对微积分分有了更更深了解解，对我我的数学学知识得得到了更更大的补补充，对对数学史史上的成成就也有有了更深深的了解解，学好好数学很很重要。参考文献：1数学学史概论论 李李文林 高等等教育出出版社2微积积分发展展概论 （美）卡卡尔.BB.波耶耶 复复旦大学学出版社社