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1、*卡瓦列利的不可分量法 笛卡尔的“圆法”*生平简介：是意大利著名的数学家，1598年生于米兰。1629年，大科学家枷俐略向波伦亚大学推荐卡瓦列利为数学教授。与此同时，卡瓦列利又将自己的几何学手稿和一本论圆锥曲线及其在光学上的应用的小册子呈送给主选官，以证明自己能够胜任此职。果然不出所料，在众多申请求职者中，卡瓦列利获波伦亚大学首任教授之职。从此，他在波伦亚大学从事教学和研究工作，直到1647年去世，他共出版11部著作，其中包括著名的几何学，一百个不同的问题等等。*卡瓦列利基本思想：点、线、面、体的关系 线是由无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，体则是由无穷多个面构成的。点、线、面分别就是
2、线、面、体的不可分量。*卡瓦列利不可分量原理：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的两条截线长度相等，那么这两个平面图形的面积相等；图1图2*平面 1*卡瓦列利不可分量原理：夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的两个截面的面积相等，那么这两个立体图形的体积相等。平面 2图1图2*卡瓦列利不可分量原理：如果两个立体高度相等，任何两个分别与两底平行与两底距离相等的平面与两个立体相交所得截面面积之比恒等于给定的比，则两个立体体积之比也等于给定的比。r11hxC(X)P(X)*r11hxC(X)P(X)*卡瓦列利应用不
3、可分量原理的应用推理出幂函数的积分公式：*当n=1时，有 EF/AB且EF交CB于G点令AB=AC=a,EG=x,GF=y a=x+y FEaABCDGYxYx按照卡瓦列利的不可分量法：面积是由无穷多个线段组成。（正方形ABCD面积）另外：由于x、y对称*a ABCDFExGYxY几何反思：的几何图形就是边长为a 的等腰直角三角形的面积。的几何图形就是边长为a的正方形的面积。*ABCDFExGYa xYzzoMNN=2时，*ABCDFExGYa xYzzoMN*ABCDFExGYa xYzzoMN而这个棱锥的底面各边和高都是 表示的棱锥的边和高的一半（）是是 OCN和和 OBM平行于底线段的平
4、方和。平行于底线段的平方和。在这两个三角形中，任在这两个三角形中，任何一个上的何一个上的 之和表示之和表示一个棱锥的体积一个棱锥的体积 *ABCDFExGYa xYzzoMN几何反思:的几何图形是底边为a的正方形，高为a的四棱锥。aH=aN=3时，（1）（2）*生平简介：1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛卡尔以纪念这位伟人），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩。笛卡尔是法国著名的哲学家、物理学家、数学家、神学家，他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。*笛卡尔主要数学思想：*在他的著作几何中，笛卡尔将逻辑，几何，
5、代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触。并向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。*笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念。他创新地将几何图形转译代数方程式，从而将几何问题以代数方法求解，这就是今日的“解析几何”或称“座标几何”。*笛卡尔设想的“万能方法”：任何问题数学问题方程问题代数问题*如何求曲线y=f(x)的过任意一点p(x,f(x)的切线斜率？笛卡尔：（1）通过构造一个半径是r圆心为c的圆；（2）圆与y=f(x)相切时，CP 就是法线；（3）做CP的垂线就是切线。*xyP(x,f(x)xC(V,0)VV-Xf(x)rY=f(x)12另外，根据相似，所以，切线斜率=该圆c(v,0)与y=f(x)相切时，点p是 的重根。有重根x=e(任意值)的方程可以写成 *例1：求y=上任意一点P(x,f(x)的切线斜率？*解：