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1、第7章 函数逼近与数据拟合 7.1 函数的最佳平方逼近7.2 数据的最小二乘拟合 7.3 实例解析本章目标：利用简单函数类的组合来逼近某个连续函数或拟合某些离散数据 对对 f(x)Ca,b及及Ca,b中的一个子集中的一个子集 =span 0(x),1(x),n(x),若存在若存在S*(x),使使 则称则称S*(x)是是 f(x)在子集在子集 Ca,b中的中的最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数.的的最小值最小值.|f(x)-S*(x)|22=|f(x)-S(x)|22=(x)f(x)-S(x)2dx,baI(a0,a1,an)=(x)aj j(x)-f(x)2dx ba j=0nakI(k=0,1
2、,n)=2 (x)aj j(x)-f(x)k(x)dx=0 ba j=0n求求S*(x)：等价于等价于求多元函数求多元函数 I(a0,a1,an)是关于是关于a0,a1,an的二次函数的二次函数,取极值必要取极值必要7.1 函数的最佳平方逼近于是有于是有这是关于这是关于a0,a1,an的线性方程组的线性方程组,称为称为法方程法方程.0(x),1(x),n(x)线性无关线性无关,则系数则系数detG(0,1,n)0,于是上述方程组有唯一解于是上述方程组有唯一解ak=ak*(k=0,1,n),可得可得S*(x)=a0*0(x)+a1*1(x)+an*n(x).j=0n(j(x),k(x)aj=(f
3、(x),k(x)(k=0,1,n),若令若令(x)=f(x)-S*(x),则则平方平方误差误差为为|(x)|=(f(x)-S*(x),f(x)-S*(x)=(f(x),f(x)-(S*(x),f(x)22=|f(x)|-ak*(k(x),f(x).k=0n22 若取若取 k(x)=xk,(x)1,f(x)C0,1,在在Hn中求中求n次最佳次最佳平方逼近多项式平方逼近多项式:S*(x)=a0*+a1*x+a2*x2+an*xn.(j(x),k(x)=(f(x),k(x)=此时此时xk+jdx=10k+j+11f(x)xkdxdk 10若用若用H表示表示Gn=G(1,x,x2,xn)对应的矩阵，即
4、对应的矩阵，即称为称为希尔伯特希尔伯特(Hilbert)矩阵矩阵.记记a=(a0,a1,an)T,d=(d0,d1,dn)T,则则Ha=d的解的解ak=ak*(k=0,1,n)即为所求即为所求.H=1 1/2 1/(n+1)1/2 1/3 1/(n+2)1/(n+1)1/(n+2)1/(2n+1)已知已知 x1 xm;y1 ym,求一个简单易算的近求一个简单易算的近似函数似函数 P(x)f(x)。但是但是 m 很大；很大；yi 本身是测量值，不准确，即本身是测量值，不准确，即 yi f(xi)这时没必要取这时没必要取 P(xi)=yi,而要使而要使 P(xi)yi 总体上总体上尽可能小。尽可能
5、小。常见做法：常见做法：使使 最小最小 太太复杂复杂 使使 最小最小不可导，求解困难不可导，求解困难 使使 最小最小 7.2 数据的最小二乘拟合下面简述最小二乘法的大致过程：下面简述最小二乘法的大致过程：=miiiyxS*02)(=miiiyxS02)(7.1)其中其中(7.2)为了更具一般性为了更具一般性,通常考虑为加权平方和通常考虑为加权平方和 是是a,b上的权函数上的权函数,它表示不同点它表示不同点(xi,f(xi)的数据比的数据比重不同重不同.(7.3)用用最小二乘法最小二乘法求拟合曲线的问题求拟合曲线的问题,就是在就是在形如形如(7.2)的的S(x)中求一函数中求一函数 y=S*(x
6、),使使(7.3)取得最小取得最小.它转化它转化求多元函数求多元函数(7.4)的极小值的极小值 问题问题.=2 (xi)aj j(xi)-f(xi)k(xi)=0 j=0n i=0makI(k=0,1,n)(j,k)=(xi)j(xi)k(xi),i=0m(f,k)=(xi)f(xi)k(xi)dk i=0m(k=0,1,n)j=0n(j,k)aj=dk(k=0,1,n)Ga=d这方程称为这方程称为法方程法方程，可写成矩阵形式，可写成矩阵形式:上式可改写为上式可改写为若记若记(7.5)(7.6)由求多元函数的极值的必要条件，有由求多元函数的极值的必要条件，有其中其中a=T,d=(d0,d1,d
7、n)T,G=(0,0)(0,n)(0,1)(1,0)(1,n)(1,1)(n,0)(n,n)(n,1)(7.7)要使法方程要使法方程(7.6)有唯一解有唯一解a0,a1,an,就要求矩阵就要求矩阵G非非奇异奇异.必须指出必须指出,0(x),1(x),n(x)在在a,b上线性无关不能上线性无关不能推出矩阵推出矩阵G非奇异非奇异.例如例如,令令 0(x)=sinx,1(x)=sin2x,x 0,2,显然显然 0(x),1(x)在在0,2 上线性无关上线性无关,但若取但若取点点xk=k,k=0,1,2(n=1,m=2),那么有那么有 0(xk)=1(xk)=0,k=0,1,2,由此得出由此得出G=0
8、(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)为保证为保证(7.5)的系数矩阵的系数矩阵G非奇异，必须加上另外的条件非奇异，必须加上另外的条件.定义定义10 设设 0(x),1(x),n(x)Ca,b的任意线性组合的任意线性组合在点集在点集xi,i=0,l,.,m(m n)上至多只有上至多只有n个不同的零点个不同的零点,则称则称 0(x),1(x),n(x)在点集在点集xi,i=0,l,.,m上满足哈尔上满足哈尔(Haar)条件条件.可以证明可以证明,如果如果 0(x),1(x),n(x)Ca,b在在xi0m上满上满足哈尔足哈尔(Haar)条件条件,则法方程则法方程(7.6)的系数矩阵的系数矩阵G非奇异非奇异.