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1、排列排列组合组合二项式定理二项式定理第九章第九章一一.两个基本原理两个基本原理加法原理：加法原理：做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法类办法第第1类办法中类办法中有有m1种不同的方法种不同的方法 第第2类办法中类办法中有有m2种不同的方法种不同的方法 第第n类办法中类办法中有有mn种不同的方法种不同的方法 则完成这件事共有则完成这件事共有Nm1+m2+mn种不同的办法种不同的办法(不论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事不论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事)理解理解:前提：做一件事完成它有前提：做一件事完成它有n类办法类办法在这在这n类办法中选用任何一种方法都可
2、完成这件事类办法中选用任何一种方法都可完成这件事完成这件事的各种方法是相互独立的、互斥的完成这件事的各种方法是相互独立的、互斥的,一一.两个基本原理两个基本原理乘法原理：乘法原理：做一件事完成它需要分做一件事完成它需要分n个歩骤：个歩骤：做第做第1歩歩有有m1种不同的方法种不同的方法做第做第2歩歩有有m2种不同的方法种不同的方法做第做第n歩歩有有mn种不同的方法种不同的方法 则完成这件事共有则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法种不同的方法 需要依次完成所有歩骤才能完成这件事，而完成需要依次完成所有歩骤才能完成这件事，而完成每一个歩骤各自有若干方法，即各歩骤不可缺少每一个歩骤各自有若干方法
3、，即各歩骤不可缺少 理解理解:两个基本原理的两个基本原理的区别区别：一一.两个基本原理两个基本原理附加：附加：抽屉原理：抽屉原理：把把n个不同物体放入个不同物体放入m个抽屉里的放入方法有个抽屉里的放入方法有mn种种一一.两个基本原理两个基本原理二二.排列及其应用排列及其应用排列定义：排列定义：从从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(nm)个元个元素，按照一定的顺序素，按照一定的顺序排成一列排成一列，叫做，叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列(树图树图).问：一个排列指什么？问：一个排列指什么？排列数：排列数：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m
4、(nm)个元素的个元素的所所有排列有排列的个数，叫做从的个数，叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的个元素的排列数排列数，问：所有排列指什么？问：所有排列指什么？排列数公式：排列数公式：从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m个个元元素素的的排排列列数，记为数，记为规定：规定：常用方法：常用方法：(1)直接法直接法(2)间接法：间接法：处理处理“至多至多”或或“至少至少”一类问题非常有效一类问题非常有效求其反面求其反面(3)优选法：优选法：部分元素要排在某些部分元素要排在某些特殊位置特殊位置时要时要优先优先予以考虑。予以考虑。(4)排除排除法：法：反面情形较为简单，可计算反面情形再
5、从所有情形反面情形较为简单，可计算反面情形再从所有情形中中减去减去.(5)捆绑法：捆绑法：部分元素要部分元素要连排连排在一起时，可将它们在一起时，可将它们排列后排列后视为视为一个元素再和其它排列一个元素再和其它排列(相邻问题相邻问题).(6)插空插空法：法：某某些些元元素素要要求求隔隔开开或或顺顺序序有有规规定定时时，可可先先排排其其余余元素元素(不相邻问题不相邻问题)例例2.7人人排排成成一一排排，其其中中甲甲乙乙两两人人不不相相邻邻的的排排 法有多少？法有多少？例例1.已已知知集集合合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,b3,b4,b5,b6,若若A中中的的不不同同元元素素对对应应到到B
6、中中的的不不同同象象，则则这这样样的映射个数其有的映射个数其有()A.3 B.20 C.64 D.120例例3.7名名师师生生站站成成一一排排照照相相留留念念，其其中中老老师师1人人，男男生生4人人，女女生生2人人，在在下下列列情情况况下下，各各自不同站法多少种？自不同站法多少种？(1).两名女生必须相邻而站两名女生必须相邻而站.(2).4名男生互不相邻名男生互不相邻.(3).若若4名名男男生生身身高高都都不不等等且且男男生生按按从从高高到到底的一种顺序站底的一种顺序站.(4).老师不站中间，女生不站两端老师不站中间，女生不站两端.(5).女生甲不站左端，女生乙不站右端女生甲不站左端，女生乙不
7、站右端.例例5.已已知知甲甲组组有有2n人人，乙乙组组有有n+1人人，设设从从甲甲组组中中选选出出3人人分分别别参参加加数数理理化化三三科科竞竞赛赛(每每科科限限一一人人参参加加)的的选选法法数数是是x，从从乙乙组组中中选选出出4人人站站成成一一排排照照相相的的站站法法数数是是y，若若x=2y,求求n、x、y.例例4.由由1、2、3、4、5组组成成没没有有重重复复数数字字的的五五位位数数120个个，把把这这些些五五位位数数从从小小到到大大的的顺顺序序排排列列起起来来。(1).43251是是第第几几个个数数?(2).写写出出第第93个数个数?二二.组合及其应用组合及其应用组合定义：组合定义：从从
8、n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(nm)个元个元素并成一组，叫做从素并成一组，叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的一个组合个元素的一个组合(树图树图).问：一个组合指什么？问：一个组合指什么？组合数：组合数：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(nm)个元素的个元素的所所有组合有组合的个数，叫做从的个数，叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的个元素的组合数组合数，问：所有组合指什么？问：所有组合指什么？组合数公式：组合数公式：从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m个个元元素素的的组组合合数，记为数，记为规定：规定：组合数的两个性质组合数的两个性质：定理定
9、理1：定理定理2：排列排列组合组合顺序问题顺序问题 与元素的顺序有关与元素的顺序有关与元素的顺序无关与元素的顺序无关相同相同 与与相异相异ab与与ba是不同的排列是不同的排列abc与与abd是不同的排列是不同的排列abd与与abd是相同的排列是相同的排列ab与与ba是相同的组合是相同的组合abc与与abd是不同的组合是不同的组合公式公式规定规定排列与组合关系：排列与组合关系：例例1.从从4个不同元素个不同元素a、b、c、d中取出中取出3个元素个元素的排列与组合关系：的排列与组合关系：组合组合 排列排列 例例1.91.9人分往人分往3 3处劳动，若处劳动，若(1)(1)甲处要甲处要4 4人，乙处
10、要人，乙处要3 3人，丙处要人，丙处要2 2人，有几种分法人，有几种分法.(2)(2)一处要一处要4 4人，一处要人，一处要3 3人，一处要人，一处要2 2人，有几种分法人，有几种分法.例例2.2.从从4 4名男生和名男生和5 5名女生中任选出名女生中任选出3 3名，其中至少男女名，其中至少男女生各一名，则不同取法有生各一名，则不同取法有 ()()A.140 B.80 C.70 D.35A.140 B.80 C.70 D.35例例3.3.在在100100件产品中，有件产品中，有4 4件次品，现任意抽出件次品，现任意抽出5 5件，件，其中至少有其中至少有1 1件是次品的抽法有多少？件是次品的抽法
11、有多少？例例4.4.从四面体顶点和各棱中点共从四面体顶点和各棱中点共1010个点中任取个点中任取4 4个不共个不共面的点，不同取法有面的点，不同取法有 ()()A.150A.150种种 B.147B.147种种 C.144C.144种种 D.141D.141种种例例5.105.10名优秀学生名额分到名优秀学生名额分到6 6个班，每班至少一个名额个班，每班至少一个名额的分法有多少种？的分法有多少种？例例6.116.11名学生中有名学生中有5 5名只会英语，名只会英语，4 4名只会日语，名只会日语，2 2人人既会英语又会日语，从中选出既会英语又会日语，从中选出4 4人参加英语比赛，人参加英语比赛，
12、4 4人人参加日语比赛有多少种不同的选参加日语比赛有多少种不同的选 法？法？例例7.7.四个不同的小球放入编号为四个不同的小球放入编号为1 1、2 2、3 3、4 4的四个盒的四个盒 中则中则4 4个有一个是空盒的放法有多少种个有一个是空盒的放法有多少种.例例8.8.从从1、2、3、4、9九个数字中，选出九个数字中，选出3个不同个不同的数字作为的数字作为y=ax2+bx+c的系数且的系数且abc，这种系数有多这种系数有多少种少种例例9.(9.(走路问题走路问题)()(方法方法:数格子数格子)如图在某如图在某城市中城市中MM、N N两地之间有整齐的道路网，两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或
13、向北两个方向沿图若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则中路线前进，则MM到到N N不同的走法共有：不同的走法共有：A.25 B.15 C.13 D.10A.25 B.15 C.13 D.10例例10.(10.(组成长方形问题组成长方形问题)()(方法方法:数线数线)如上图可组成多少如上图可组成多少个长方形个长方形.MN三三.二项式定理及其应用二项式定理及其应用一一.二项式定理及展开式二项式定理及展开式项数项数 杨辉三角杨辉三角二二.二项式定理的通项二项式定理的通项是第几项是第几项?是第是第r+1r+1项项二项式系数二项式系数三三.二项式定理展开式的中间项二项式定理展开式的中间项n n为
14、偶数时为偶数时:中间项为第中间项为第n n为奇数时为奇数时:中间项为第中间项为第中间项中间项的的二项式系数二项式系数最大最大四四.二项式系数二项式系数 的性质的性质首先构建一个函数式首先构建一个函数式结论：结论：五五.区别区别“二项式系数二项式系数”与二项式展开式中与二项式展开式中“某项的某项的系数系数”例如例如(1)求展开式：求展开式：六六.二项式定理题型二项式定理题型(2)求证整除问题求证整除问题：(3)证明恒等式证明恒等式(4)求近似问题求近似问题组合数的两个性质的应用组合数的两个性质的应用 定理定理1：定理定理2：例例1：填空：填空例例2：证明下列恒等式：证明下列恒等式【分析】【分析】:列表法分类讨论列表法分类讨论【方法【方法】:利用利用通项通项与与分解因式列表法分解因式列表法(240)(-168)【小结【小结】【方法【方法】:先先任意组合两项任意组合两项或或分解因式列表法分解因式列表法(-15120)(-20)(-51)