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1、1.2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件1.2.1 1.2.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件请同学们判断下列命题的真假请同学们判断下列命题的真假n真命题：真命题：由命题的条件通过推理由命题的条件通过推理一定一定可以得出命题可以得出命题的结论的结论q qn假命题：假命题：由命题的条件通过推理由命题的条件通过推理不一定不一定可以得出命可以得出命题的结论题的结论q q（1 1）若）若x xy y，则，则x x2 2y y2 2（2 2）若）若ab ab=0=0，则，则a a=0=0（3 3）若）若x xaa2 2+b+b2 2，则，则x x2ab2ab（4 4）若）若x x1 1或或x
2、x2 2，则，则x x2 23 3x x2 20 0 上述四个命题都是上述四个命题都是“若若p p，则，则q q”的形式，其中的形式，其中（1 1）（）（3 3）（）（4 4）为真命题，（）为真命题，（2 2）为假命题）为假命题n如果命题如果命题“若若p p，则，则q q”为真，则由为真，则由p p可推出可推出q q，记作记作 p p q q 认识认识“”与与“”如果命题如果命题“若若p p，则，则q q”为假，则由为假，则由p p推不出推不出q q，记作记作 p qp q 真命题：真命题：p p q q，假命题：，假命题：p p q q 并说，并说，p p是是q q的充分条件的充分条件,q,
3、q是是p p的必要条件的必要条件.并说，并说，p p不是不是q q的充分条件的充分条件,q,q不是不是p p的必要条件的必要条件.n（1 1）x xy xy x2 2y y2 2n（2 2）ab ab=0 =0 a a=0=0n（3 3）x xaa2 2+b+b2 2 x x2ab2abn（4 4）x x1 1或或x x2 2 x x2 23 3x x2 20 0上述命上述命题题（3 3）中）中“xaxa2 2b b2 2”是是“x2abx2ab”的充分条件，而的充分条件，而“x2abx2ab”则则是是“xaxa2 2b b2 2”的必要条件的必要条件.命题（命题（2 2）中中“ab ab=0
4、=0”不是不是“a a=0=0”的充分条的充分条件，而件，而“a a=0=0”不是不是“ab ab=0=0”的必要条件的必要条件.用符号用符号“”与与“”填空填空一般地，如果已知一般地，如果已知 ，那么就说：，那么就说：p p是是q q的的充分条件充分条件,q,q是是p p的必要条件的必要条件n由上述定义中，由上述定义中，“”即即如果具备了条件如果具备了条件p p，就足以保，就足以保证证q q成立，所以成立，所以p p是是q q的充分条件的充分条件，这点容易理解，这点容易理解,但同时说但同时说q q是是p p的必要条件是为什么呢？的必要条件是为什么呢？我们看命题我们看命题“若若xaxa2 2+
5、b+b2 2，则，则x2abx2ab”，是真命题，是真命题.它的它的逆否命题逆否命题是是“若若x2abx2ab，则，则xaxa2 2+b+b2 2”等同于等同于“如果如果x2abx2ab不成立，那么不成立，那么x xa a2 2+b+b2 2不成立不成立”也就是说，要使也就是说，要使x xa a2 2+b+b2 2成立，必须使成立，必须使x2abx2ab成立成立.所以，我们说所以，我们说“x2abx2ab”是是“x xa a2 2+b+b2 2”的必要条件，即的必要条件，即q q是是p p的必要条件的必要条件也是真命题也是真命题.充分性：充分性：说说条件是充分的，也就是条件是充分的，也就是说说
6、条件是充足的，条条件是充足的，条件是足件是足够够的，条件是足以保证的它符合上述的的，条件是足以保证的它符合上述的“若若p p则则q q”为真为真（即（即 ）的形式）的形式“有之必成立，无之未有之必成立，无之未必不成立必不成立”必要性：必要性：必要就是必必要就是必须须，必不可少它，必不可少它满满足上述的足上述的“若非若非q,q,则则非非p p”为为真（即真（即 ）的形式）的形式“有之未必有之未必成立成立,无之必不成立无之必不成立”如何理解充分条件与必要条件中的如何理解充分条件与必要条件中的“充分充分”和和“必要必要”呢？呢？，相当于 ，即 或从从集合集合角度理解充分条件与必要条件角度理解充分条件
7、与必要条件有有有有p p就有就有就有就有q q没有没有没有没有q q就没有就没有就没有就没有p pp是是q的充分条件的充分条件q是是p的必要条件的必要条件例例1 1：下列：下列“若若p p，则，则q q”形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命题中的题中的p p是是q q的充分条件？的充分条件？n（1 1）若）若x=1x=1，则，则x x2 24x4x3 30 0；n（2 2）若）若f f（x x）x x，则，则f f（x x）为增函数；）为增函数；n（3 3）若）若x x为无理数，则为无理数，则x x2 2为无理数为无理数.解：命题（解：命题（1 1）（）（2 2）是真命题，命题（）是真命题
8、，命题（3 3）是）是假命题假命题.所以，命题（所以，命题（1 1）（）（2 2）中的）中的p p是是q q的充的充分条件。分条件。充分条件充分条件必要条件必要条件思考思考:如果如果 ,那么那么p是是q的的 ，q是是p的的例例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？n（1 1）若）若x=yx=y，则，则x x2 2=y=y2 2n（2 2）若两个三角形的面积相等，则这两个三）若两个三角形的面积相等，则这两个三 角形全等；角形全等；n（3 3）若）若a a2 2b b2 2，则，则a ab b；解：命题（解：命题（1 1）是真命题，命题（）是真命题，命题（2 2）（）（
9、3 3）是假）是假命题命题.所以，命题（所以，命题（1 1）中的）中的q q是是p p的必要条件。的必要条件。补 充n如果p q，而q p，称p为q的充分非必要条件；n如果p q，而q p，称p是q的必要非充分条件；n如果p q，且q p，称p是q的既不充分也不必要条件.n例例1 1中，中，（1 1）x=1x=1是是 x x2 24x4x3 30 0什么条件？什么条件？例例2 2中，中，（1 1）若）若x=yx=y，则，则x x2 2=y=y2 2什么条件？什么条件？（3 3）若）若a a2 2bb2 2，则，则abab。判断判断p p是是q q的充分、必要条件的步骤：的充分、必要条件的步骤：
10、n第一步：构造：p q，并判断其真假n第二步：构造：q p，并判断其真假n第三步：根据两个命题的真假对p是q的什么条件做出判断；l 一真，二假，p是q的充分非必要条件l 一假，二真，p是q的必要非充分条件l 一假，二假，p既不是q的充分条件，也不是q 的必要条件例例例例例例3 3 3 3 3 3 下列下列下列下列下列下列“若若若若若若p p p p p p，则，则，则，则，则，则q q q q q q”形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命题中的题中的题中的题中的题中的题中的 p p p p p p是是是是是是q
11、 q q q q q的必要条件？的必要条件？的必要条件？的必要条件？的必要条件？的必要条件？(1)(1)若若a+5a+5是无理数，则是无理数，则a a是无理数；是无理数；(2)(2)若（若（x-ax-a）（）（x-bx-b）=0=0，则则 x=a.x=a.解：命题解：命题（1 1）（）（2 2）的逆命题都是真命题，所以）的逆命题都是真命题，所以命题（命题（1 1）（）（2 2）中的）中的p p是是q q的必要条件。的必要条件。分析：分析：分析：分析：注意这里考虑的是命题注意这里考虑的是命题中的中的p p是是q q的必要条件，所的必要条件，所以应该分析下列命题的以应该分析下列命题的逆命题逆命题（q pq p）的真假性。）的真假性。例例4填写下表填写下表m，n全全是奇数是奇数m+n是偶数是偶数充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分必要不充分必要不充分充分不必要充分不必要充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分必要不充分必要不充分充分不必要充分不必要y y是有理数是有理数y y是实数是实数pqp p是是q q的什么条件的什么条件q q是是p p的什么条件的什么条件小 结n1.充分条件与必要条件的概念；n2.充分条件与必要条件的判断。