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1、第第第第3 3 3 3章章章章 理想不可压缩流体平面位流理想不可压缩流体平面位流理想不可压缩流体平面位流理想不可压缩流体平面位流3 31 1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程理想不可压缩流体平面位流的基本方程3 32 2 几种简单的二维位流几种简单的二维位流3 32 21 1 直匀流直匀流3 32 22 2 点源点源3 32 23 3 偶极子偶极子3 32 24 4 点涡点涡33 一些简单的流动迭加举例一些简单的流动迭加举例3 33 31 1 直匀流加点源直匀流加点源3 33 32 2 直匀流加偶极子直匀流加偶极子3 33 33 3 直匀流加偶极子加点涡直匀流加偶极子加点涡3 34 4 二维
2、对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解3.13.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程、理想不可压缩流体平面位流的基本方程、理想不可压缩流体平面位流的基本方程、理想不可压缩流体平面位流的基本方程 对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复
3、杂边界条件下求得基实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解问题，本章首先介绍流本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解问题，本章首先介绍流体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。这是体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相当的可信程度。当的可信程度。1 1、不可压
4、缩理想流体无旋流动的基本方程、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程初始条件和边界条件为初始条件和边界条件为在在t=t0时刻，时刻，在物体的边界上在物体的边界上在无穷远处在无穷远处 如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。这是如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。这是如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。这是如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。这是因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度因为方程中的对流项是非线性的
5、，而且方程中的速度V V和压强和压强和压强和压强p p相互偶合影相互偶合影相互偶合影相互偶合影响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化，响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化，响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化，响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化，特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，流场的特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，流场的特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，流场的特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，
6、流场的速度旋度为零，即速度旋度为零，即速度旋度为零，即速度旋度为零，即存在速度势函数（位函数）为存在速度势函数（位函数）为如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程 由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶线由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对这个方程性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对这个方程赋予适定的定
7、解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。与赋予适定的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。与压强压强p没有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速度没有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速度值作为已知量代入运动方程中，解出值作为已知量代入运动方程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动方值。实际求解并不是直接代入运动方程中，而是利用程中，而是利用Bernoulli(或或Lagrange)积分得到。对于理想不可压缩流体，积分得到。对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下，对于无旋流动，运动方程的积分形式为在质量力有势条件下，对于无旋流动，运
8、动方程的积分形式为对于定常流动，质量力只有重力，得到对于定常流动，质量力只有重力，得到如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力的作用）如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力的作用）由此说明，只要把速度势函数解出，压强由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由可直接由Bernoulli方程得到。在这方程得到。在这种情况下整个求解步骤概括为：种情况下整个求解步骤概括为：3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程（1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量；（）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量；（2）由
9、）由Bernoulli方程确方程确定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简化了问题的复杂性。综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程化了问题的复杂性。综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程及其初边界条件为及其初边界条件为初始条件初始条件边界条件为边界条件为 固壁面条件固壁面条件 自由面条件自由面条件 无穷远处无穷远处在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，及在边界上给定速度势函在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，及在边界上给定速度势函数的偏导数。数的偏导数。3.13.1
10、、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程2、速度势函数的性质、速度势函数的性质（1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向的速度分量，速度势函数沿）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响流体的运动。流体的运动。（2）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原理。）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原理。如果速度势函数如果速度势函数 满足拉普拉斯
11、方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯方程。方程。（3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线。）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线。3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程（4）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度势函数之差。速度线积分与）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度势函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。3、流函
12、数及其性质、流函数及其性质根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系）根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系）如果令如果令3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程由此可见，下列线积分与路径无关由此可见，下列线积分与路径无关存在的充分必要条件是存在的充分必要条件是这是不可压缩流体平面流动的连续方程。这样，下列微分一定是某个函数的全这是不可压缩流体平面流动的连续方程。这样，下列微分一定是某个函数的全微分，即微分，即这个函数称为流函数。由此可见，对于不可压缩流体的平面流动，无论是理想这
13、个函数称为流函数。由此可见，对于不可压缩流体的平面流动，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函数。流函流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函数。流函数的概念是数的概念是1781年年Lagrange首先引进的。流函数具有下列性质首先引进的。流函数具有下列性质（1）流函数值可以差任意常数而不影响流动。）流函数值可以差任意常数而不影响流动。（2）流函数值相等的点的连线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量）流函数值相等的点的连线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合。方向重合。3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、
14、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程在流函数相等的线上，有在流函数相等的线上，有上式即为平面流动的流线方程。上式即为平面流动的流线方程。（3）流函数在某一方向的偏导数顺时针旋转）流函数在某一方向的偏导数顺时针旋转90度方向的速度分量。度方向的速度分量。根据流函数这一性质，如果沿着流线取根据流函数这一性质，如果沿着流线取s，反时针旋转，反时针旋转90度取度取n方向，则有方向，则有 （流函数增值方向沿速度方向反时针旋转（流函数增值方向沿速度方向反时针旋转90度方向）度方向）（4）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉普拉斯方程。即）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉普拉斯方程。即
15、3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程（5）任意两条流线之间的流函数之差等于通过此两条流线之间的单宽流量）任意两条流线之间的流函数之差等于通过此两条流线之间的单宽流量q。4、平面势流流函数与速度势函数之间的关系及其流网的概念、平面势流流函数与速度势函数之间的关系及其流网的概念（1）理想不可压缩流体，平面势流流函数和速度势函数均满足拉普拉斯方程，）理想不可压缩流体，平面势流流函数和速度势函数均满足拉普拉斯方程，且满足柯西且满足柯西-黎曼条件。黎曼条件。（2）过同一点的等速度势函数线与等流函数线正交（等势线与流线正交）。
16、）过同一点的等速度势函数线与等流函数线正交（等势线与流线正交）。等流函数线是流线，有等流函数线是流线，有3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程另一方面，过该点的等势函数线方程为另一方面，过该点的等势函数线方程为在同一点处，流线与等势线的斜率乘积为在同一点处，流线与等势线的斜率乘积为说明流线与等势线在同一点正交。说明流线与等势线在同一点正交。（3）流网及其特征）流网及其特征在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流函数值。在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流函数值。这样在流场中
17、，存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线，且彼此相这样在流场中，存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线，且彼此相互正交。把由这种正交曲线构成的网格叫做流网。在流网中，每一个网格互正交。把由这种正交曲线构成的网格叫做流网。在流网中，每一个网格的边长之比等于势函数和流函数的增值之比。的边长之比等于势函数和流函数的增值之比。如果如果 网格正方形。网格正方形。3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程流网不仅可
18、以显示流速的分布情况，也可以反映速度的大小。如流线密流网不仅可以显示流速的分布情况，也可以反映速度的大小。如流线密的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。如果相邻流线之间的流函数差为常数，等于单宽流量增量。即如果相邻流线之间的流函数差为常数，等于单宽流量增量。即 表示流速与网格间距成反比，因此流线表示流速与网格间距成反比，因此流线 的疏密程度反映了速度的大小。的疏密程度反映了速度的大小。5、理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的提法、理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的提法 对于理想不可压缩平面定常无旋流动问题的数学提法共有三种。对于理想不可压缩平面定
19、常无旋流动问题的数学提法共有三种。设给定一平面物体设给定一平面物体C，无穷远为直均流，在绕流物体不脱体的情况下，求这，无穷远为直均流，在绕流物体不脱体的情况下，求这个绕流问题。个绕流问题。（1）以速度势函数为未知函数的提法）以速度势函数为未知函数的提法（2）以流函数为未知函数的提法）以流函数为未知函数的提法（3）以复位势）以复位势w(z)为未知函数提法为未知函数提法需要求解满足一定定解条件的在需要求解满足一定定解条件的在C外区域内的解析函数。外区域内的解析函数。3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程3.23.2、几种
20、简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流1、直匀流、直匀流 直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为位函数为位函数为常用平行于常用平行于x轴的直匀流，从左面远方流来，流速为轴的直匀流，从左面远方流来，流速为 。相应的流函数和势函数为相应的流函数和势函数为 ；3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流2、点源、点源 源可以有正负。正源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流源可以有正负。正源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。负源（又名汇
21、）是一种与正源流向相反的向心流动。开去的一种流动。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有r，而没有，而没有 。设半径为设半径为r处的流速是处的流速是r，那末这个源的总流量是，那末这个源的总流量是 流量是常数，故流速流量是常数，故流速r与半径成反比。与半径成反比。3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流流函数的表达式是流函数的表达式是 或或 位函数从位函数从 的式子积分得到的式子积分得到在极坐标系中，速度分量与流函数和势函数偏导数关系式为在极坐标系中，速度分
22、量与流函数和势函数偏导数关系式为3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流如果源的位置不在坐标原点，而在如果源的位置不在坐标原点，而在A（,）处）处3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流3、偶极子、偶极子 等强度的一个源和一个汇，放在等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在（轴线上，源放在（-h，0）处，汇）处，汇放在（放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇。）处。从源出来的流量都进入汇。3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流应用叠
23、加原理，位函数和流函数如下应用叠加原理，位函数和流函数如下其中其中表示流场点表示流场点P分别与源和汇连线与分别与源和汇连线与x轴之间的夹角。轴之间的夹角。3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流 现在我们考虑一种极限情况，当现在我们考虑一种极限情况，当h0，但同时，但同时Q增大，使增大，使保持不变的极限情况。这时位函数变成保持不变的极限情况。这时位函数变成偶极子。等位线是一些圆心在偶极子。等位线是一些圆心在x轴上的圆，且都过原点。轴上的圆，且都过原点。流函数的式子，取流函数的式子，取h0而而Qh/2=M保持保持不变的极限结果，是不变的极限结果
24、，是3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流 流线也是一些圆，圆心都在流线也是一些圆，圆心都在y轴上，且都过源点轴上，且都过源点O。两个分速的表达式是。两个分速的表达式是:合速度为合速度为3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流 要注意，偶极子是源汇无限靠近的极限情况，它是有轴线方向的，要注意，偶极子是源汇无限靠近的极限情况，它是有轴线方向的，原来的源和汇放在哪条直线上，那条直线就是它的轴线。前面表示
25、原来的源和汇放在哪条直线上，那条直线就是它的轴线。前面表示的偶极子是以的偶极子是以x轴为轴线的，其正向为轴线上的流线方向，前面的偶轴为轴线的，其正向为轴线上的流线方向，前面的偶极子是指向负极子是指向负x方向的。如果偶极子轴线和方向的。如果偶极子轴线和x轴成轴成角，正向指向第角，正向指向第三象限，则势函数为三象限，则势函数为 相应的流函数为相应的流函数为这个偶极子的正向指向第三象限。3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流 如果偶极子位于（如果偶极子位于（，），轴线和），轴线和x轴成轴成角，正向指向第三象限，角，正向指向第三象限，则势函数和流函
26、数分别为则势函数和流函数分别为 3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流4、点涡、点涡 点涡是位于原点的一个点涡的流动，流线是一些同心圆。流速只有点涡是位于原点的一个点涡的流动，流线是一些同心圆。流速只有 ，而没有，而没有 。式中的式中的 是个常数，称为点涡的强度，反时针方向为正。分速是个常数，称为点涡的强度，反时针方向为正。分速 和离中心点的距离和离中心点的距离r成反比，指向是反时针方向的。其位函数和流函成反比，指向是反时针方向的。其位函数和流函数分别为（等势线是射线，流线是圆）数分别为（等势线是射线，流线是圆）3.23.2、几种简单的二维
27、位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流 如果点涡的位置不在原点，而在（如果点涡的位置不在原点，而在（，），则点涡的位函数和流函数），则点涡的位函数和流函数分别是分别是 沿任意形状的围线计算环量，值都是沿任意形状的围线计算环量，值都是 ，只要这个围线把点涡包围，只要这个围线把点涡包围在内在内，但不包含点涡在内的围线，其环量等于零，但不包含点涡在内的围线，其环量等于零。这种点涡其实应该看作是一根在这种点涡其实应该看作是一根在z方向无限长的直涡线。涡本来是有旋流动，方向无限长的直涡线。涡本来是有旋流动，但像这样一根单独的涡线所产生的流场，除真正的涡心那一条线（在平面里但像这
28、样一根单独的涡线所产生的流场，除真正的涡心那一条线（在平面里就是一点）之外，其余的地方仍是无旋流动。当就是一点）之外，其余的地方仍是无旋流动。当r0时，速度趋近于无穷大，时，速度趋近于无穷大，相应的压强也趋于负无限大，这是不现实的。按这个速度分布规律，速度在相应的压强也趋于负无限大，这是不现实的。按这个速度分布规律，速度在半径方向的变化率是半径方向的变化率是 当当r很很小小之之后后，这这个个变变化化率率极极大大，这这时时粘粘性性力力必必然然要要起起作作用用（粘粘性性力力与与速速度度的的法法向向变变化化率率成成正正比比）。结结果果，实实际际涡涡总总是是有有一一个个核核，核核内内流流体体的的不不是
29、是与与r成成反反比比，而而是是与与r成成正正比比。但但核核外外的的流流速速是是与与r成成反反比比的的，如如图图所所示示。核核内内是是有有旋旋流流，核核外外是是无无旋旋流流。这这个个核核的的尺尺寸寸究究竟竟有有多多大大？它它是是因因流流体体的的粘粘性性大大小小及及涡涡强强大大小小而而不不同同的的。一一般般地地说说，这这个个尺尺寸寸不不大大，我我们们作作外外部部流流场场的的计计算算时时，可可以以不不管管它它，把把它它看看作作很很微微小小就就行行了了。这这里里要要说说明明的的一一个个事事实实是是，涡涡对对于于外外部部流流场场是是产产生生诱诱导导速速度度的的（即即扰扰动动），其其值值与与至至中中心心的
30、的距距离离成成反反比比，但但对对它它自己的核心是没有诱导速度的。自己的核心是没有诱导速度的。3.23.2、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流、几种简单的二维位流3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例1、直匀流加点源、直匀流加点源 在一个平行于在一个平行于x轴由左向右流去的直匀流里，加一个强度为轴由左向右流去的直匀流里，加一个强度为Q的源，的源，把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是两个分速是两个分速是在在x轴线上有一个合速为零的点，即驻点轴线上有一个合速为零的点，即驻点
31、A。3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例令令 即得驻点即得驻点xA坐标为坐标为3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例流动的流函数是流动的流函数是对于零流线对于零流线是一条通过坐标原点的水平线。是一条通过坐标原点的水平线。对于对于的流线方程为的流线方程为得到解为得到解为说明是通过驻点的一条水平流线。对于非水平流线，半径说明是通过驻点的一条水平流线。对于非水平流线，半径r r3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例 如对于如对于 相应的半径相应的半径r为为
32、 全部流线谱中，经过驻点全部流线谱中，经过驻点A的流线的流线BAB是一条特殊的流线，是一条特殊的流线，。它。它像一道围墙一样，把流场划分成为两部分。外面的是直匀流绕此围像一道围墙一样，把流场划分成为两部分。外面的是直匀流绕此围墙的流动，里面的是源流在此围墙限制之内的流动。流线是气流不墙的流动，里面的是源流在此围墙限制之内的流动。流线是气流不可逾越的线。一个物体放在气流里，它的边界也是气流不可逾越的可逾越的线。一个物体放在气流里，它的边界也是气流不可逾越的界线，气流只能与物体边界相切着流过去。所以，我们可以把外部界线，气流只能与物体边界相切着流过去。所以，我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一
33、个流动看作是在直匀流中放了一个BAB那样形状的物体所造成的流动。那样形状的物体所造成的流动。不过这个物体后面是不封口的，称半无限体。这个半无限体在不过这个物体后面是不封口的，称半无限体。这个半无限体在+x无无限远处，其宽度（限远处，其宽度（y向尺寸）趋向一个渐近值向尺寸）趋向一个渐近值D为为3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例 通常将压强表为无量纲的压强系数通常将压强表为无量纲的压强系数 ，其定义是当地静压减去来流，其定义是当地静压减去来流静压再除以来流的动压头。静压再除以来流的动压头。不可压无粘流时不可压无粘流时沿这个半无限体的外表面，压强系
34、数沿这个半无限体的外表面，压强系数是是 3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例 首先，首先，A点是驻点，这一点的点是驻点，这一点的Cp一定等于一定等于+1。从驻点往后，。从驻点往后，Cp迅速迅速下降，在距下降，在距A不很远的地方，不很远的地方，Cp降到零，该点流速已达远前方的来降到零，该点流速已达远前方的来流速度。此后气流继沿物面加速，走了一段之后，流速达最大值，流速度。此后气流继沿物面加速，走了一段之后，流速达最大值，Cp达最小值。这一点称最大速度点，或最低压强点达最小值。这一点称最大速度点，或最低压强点，过了最大速，过了最大速度点之后，气流开
35、始减速，到无限远的右方，流速减到和远前方来度点之后，气流开始减速，到无限远的右方，流速减到和远前方来流一样大流一样大 。这是大多钝头物体低速流动的特点。头部附近形成一个低速高压这是大多钝头物体低速流动的特点。头部附近形成一个低速高压区，随后速度迅速上升，压强急剧下降。区，随后速度迅速上升，压强急剧下降。3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例2、直匀流加偶极子（无环量的圆柱绕流）、直匀流加偶极子（无环量的圆柱绕流）只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。设直匀流设直匀流 平行于平行于x轴，
36、由左向右流。再把一个轴线指向负轴，由左向右流。再把一个轴线指向负x的偶极子放在坐标的偶极子放在坐标原点处。这时，流动的位函数是原点处。这时，流动的位函数是流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点A的坐标定出来。令的坐标定出来。令得到得到 3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例a就是圆半径。这样位函数可以写成为就是圆半径。这样位函数可以写成为 流函数方程为流函数方程为=0是一条特殊的流线。容易证明，该流线通过驻点的是一条特殊的流线。容易证明，该流线通过驻点的x轴线；另外还轴线；另外还有有是半径为是半径为a
37、的圆。两个速度分量为的圆。两个速度分量为3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例 在圆周上，在圆周上，r=ar=a，速度分量为，速度分量为相应的压强系数为相应的压强系数为3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例 在圆周前后驻点，在圆周前后驻点，=0，=，压强系数等于，压强系数等于1.0。从前驻点往后流，。从前驻点往后流，在在=150处流速加快到和来流的流速一样大了。以后继续加速，在处流速加快到和来流的流速一样大了。以后继续加速，在=/2处达最大速度，其值二倍于来流的速度，处达最大速度，其值二倍于来流的速
38、度，Cp是（是（3.0）。过了）。过了最大速度点以后，气流减速，在最大速度点以后，气流减速，在=0处降为零，这一点称为后驻点。处降为零，这一点称为后驻点。这个流动不仅上下是对称的，而且左右也是对称的，物面上的压强分这个流动不仅上下是对称的，而且左右也是对称的，物面上的压强分布也是对称的，结果哪个方向的合力也没有。不过实际流动左右是不布也是对称的，结果哪个方向的合力也没有。不过实际流动左右是不对称的，由于实际流体是有粘性的缘故，气流过了最大速度点以后，对称的，由于实际流体是有粘性的缘故，气流过了最大速度点以后，不可能始终贴着物体流下去，不可能进行完全的减速，结果水平方向不可能始终贴着物体流下去，
39、不可能进行完全的减速，结果水平方向是有一个阻力的是有一个阻力的。达朗培尔疑题。达朗培尔疑题达朗培尔（达朗培尔（DAlembert）18世纪法国著名数学家，他提出，在理想世纪法国著名数学家，他提出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻力都是零。这个结论不不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻力都是零。这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体力学的发展，那时人们以为符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动是没有什么价值的。用无粘的位流去处理实际流动是没有什么价值的。3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一
40、些简单的迭加举例3、直匀流加偶极子加点涡（有环量的圆柱绕流）、直匀流加偶极子加点涡（有环量的圆柱绕流）在直匀流加偶极子的流动之上，再在圆心处加一个强度为（在直匀流加偶极子的流动之上，再在圆心处加一个强度为（）的点）的点涡（顺时针转为负）。涡（顺时针转为负）。这时的流函数和位函数为这时的流函数和位函数为3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例在极坐标下，两个分速度为在极坐标下，两个分速度为r=ar=a仍是一条流线。在这个圆上仍是一条流线。在这个圆上VrVr=0=0，圆周速度为，圆周速度为 驻点现在不在驻点现在不在其位置可以从其位置可以从 3.33.3
41、、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例 定出来定出来 在第三和第四象限内，前后驻点对在第三和第四象限内，前后驻点对y轴是对称的。这个角度离开轴是对称的。这个角度离开和和0的的多少决定于环量对速度乘半径多少决定于环量对速度乘半径a之比值；比值越大，驻点越往下移。之比值；比值越大，驻点越往下移。现在的流动图画，左右仍是对称的，但上下不对称了。于是计算现在的流动图画，左右仍是对称的，但上下不对称了。于是计算y向合向合力时结果就不等于零。这个力时结果就不等于零。这个y向合力，可以按伯努利公式以速度来表示向合力，可以按伯努利公式以速度来表示圆柱面上的压强，直接计算圆柱
42、面上的压强，直接计算y向的压力，最后经积分去求得。另一种方向的压力，最后经积分去求得。另一种方法是，用动量定理来计算。以原点为中心，画一个半径为法是，用动量定理来计算。以原点为中心，画一个半径为r1很大的控制很大的控制面面S，整个的控制面还包括圆的表面，整个的控制面还包括圆的表面S1以及连接以及连接S和和S1的两条割线。不过的两条割线。不过这两条割线上的压力和动量进出都对消了，不必管它。受力情况左右这两条割线上的压力和动量进出都对消了，不必管它。受力情况左右对称，不会有对称，不会有X合力。我们只计算合力。我们只计算Y方向合力就行了。彻体力略去不计；方向合力就行了。彻体力略去不计；流动是定常的。
43、流动是定常的。3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例 动量积分方程变为动量积分方程变为 在在r1的大圆上的大圆上3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例 在上述表达式中，奇函数积分为零，只有偶函数积分。在上述表达式中，奇函数积分为零，只有偶函数积分。对于单位时间动量的净流出量计算如下。对于单位时间动量的净流出量计算如下。在在y方向的速度分量是方向的速度分量是3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的
44、迭加举例一些简单的迭加举例单位长度圆柱所受的总升力为单位长度圆柱所受的总升力为 只要是一个封闭物体，代表这个物体作用的正负源的强度总和必须只要是一个封闭物体，代表这个物体作用的正负源的强度总和必须等于零。这种正负源放在一起的情况，在远离物体的地方（我们可等于零。这种正负源放在一起的情况，在远离物体的地方（我们可以取以取r1很大），其作用和一个偶极子是没有什么区别的。这就说明很大），其作用和一个偶极子是没有什么区别的。这就说明了物形对升力没有直接的关系，关键的问题在于必须有一个绕物体了物形对升力没有直接的关系，关键的问题在于必须有一个绕物体的环量存在。有了环量又有一个直匀流，便有一个升力。的环量
45、存在。有了环量又有一个直匀流，便有一个升力。库塔库塔-儒可夫斯基定理儒可夫斯基定理一个封闭物体所受升力一个封闭物体所受升力L等于来流的密度等于来流的密度 乘速度再乘以环量。升力的方向等沿着气乘速度再乘以环量。升力的方向等沿着气 流方向逆旋涡旋转流方向逆旋涡旋转90。3.33.3、一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例一些简单的迭加举例 环量之所以能产生一个环量之所以能产生一个Y向的合力，也可以从圆柱体上的压力分布向的合力，也可以从圆柱体上的压力分布直接看到。其中有环量和无环量绕流情况作了对比。无环量时，上直接看到。其中有环量和无环量绕流情况作了对比。无环量时，上半圆（半圆（由由
46、至至0）上的压力分布和下半圆（）上的压力分布和下半圆（由由至至2）上的压力分）上的压力分布对称，结果是合力为零。有环量时，上半圆上的负压远远超过下布对称，结果是合力为零。有环量时，上半圆上的负压远远超过下半圆上的负压，所以有一个向上的合力，即升力。这个力的来源主半圆上的负压，所以有一个向上的合力，即升力。这个力的来源主要靠上半圆上的吸力要靠上半圆上的吸力。3 34 4 二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解 把直匀流和分布的偶极子（或总强度为零的分布点源和点汇）叠加把直匀流和分布的偶极子（或总强度为零的分布点源和点汇）叠加起来，所得到的
47、组合流动为对称封闭物体绕流。设直匀流沿起来，所得到的组合流动为对称封闭物体绕流。设直匀流沿x轴正向轴正向流来，其速度为流来，其速度为V，在在x轴上轴上x=a和和x=b范围内，连续分布一系列的范围内，连续分布一系列的偶极子，单位长度内偶极子的强度设为偶极子，单位长度内偶极子的强度设为m（偶极子密度）。（偶极子密度）。这样组合的流函数为这样组合的流函数为 如如果果偶偶极极子子密密度度的的分分布布形形式式已已知知，则则离离原原点点距距离离为为的的小小区区间间内内由由偶偶极极子产生的流函数为子产生的流函数为 总流函数为总流函数为 物体的外形可以用零流线来表示。改变不同的偶极子密度分布，可物体的外形可以
48、用零流线来表示。改变不同的偶极子密度分布，可以获得不同形状的封闭物体，由流函数和速度以及速度与压强的关以获得不同形状的封闭物体，由流函数和速度以及速度与压强的关系确定流场中各点及物体表面的速度分布和压强系确定流场中各点及物体表面的速度分布和压强分布。分布。3 34 4 二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解对对于于实实际际问问题题，往往往往是是给给定定物物体体的的外外形形来来确确定定其其流流动动的的特特性性。在在这这种种情情况况下下，偶偶极极子子密密度度分分布布函函数数的的确确定定需需要要由由流流函函数数求求解解。对对偶偶极极子子密密度
49、度来来说说，流流函函数数是是一一个个积积分分方方程程，求求它它的的解解是是比比较较困困难难的的。但但是是随随着着计计算算机机技技术术的的发发展展，可可以以用用数数值值方方法法比比较较迅迅速速地地获获得得这这种种方方程程的有一定准确度的数值解。的有一定准确度的数值解。下下面面简简单单地地叙叙述述用用数数值值方方法法求求解解已已知知物物体体形形状状确确定定绕绕物物体体流流动动特特性性的的过过程程。首首先先，我我们们把把偶偶极极子子分分布布区区域域分分成成等等宽宽度度的的n段段，设设每每段段的的宽度为宽度为，段数，段数n可根据计算机容量及结果的准确度要求而确定。可根据计算机容量及结果的准确度要求而确
50、定。3 34 4 二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解1、数值解法步骤、数值解法步骤I.I.首先，我们把偶极子分布区域分成等宽度的首先，我们把偶极子分布区域分成等宽度的n n段，设每段的宽度段，设每段的宽度为为，段数，段数n n可根据计算机容量及结果的准确度要求而确定。可根据计算机容量及结果的准确度要求而确定。II.II.流场中某一定点流场中某一定点P P处的流函数为处的流函数为 式中式中 为第为第j段中点离原点的距离；段中点离原点的距离；为第为第j段内偶极子密度的段内偶极子密度的平均值；平均值；表示第表示第j段内偶极子的强度。段内偶