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1、 1利用数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明不等式 在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一在运用数学归纳法证明不归纳法是常用的方法之一在运用数学归纳法证明不等式时，由等式时，由nk成立，推导成立，推导nk1成立时，常常要成立时，常常要与其他方法，如与其他方法，如 、等等结合进行结合进行比较法比较法分析法分析法综合法综合法放缩法放缩法 2归纳归纳猜想猜想证明的思想方法证明的思想方法 数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳归纳猜想猜想证明证明”这一基本思想方法中一方面可这一
2、基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用用 证明其正确性，形成证明其正确性，形成“观察观察归纳归纳猜猜想想证明证明”的思想方法的思想方法数学归纳法数学归纳法证明证明(1)当当n1时，左边时，左边2124；右边；右边1，左边左边右边；右边；当当n2时，左时，左2226，右，右224，所以左边，所以左边右边；右边；当当n3时，左时，左23210，右，右329，所以左边，所以左边右边右边因此当因此当n1,2,3时，不等式成立时，不等式
3、成立 (2)假设当假设当nk(k3且且kN)时，不等式成立时，不等式成立 当当nk1时，时，2k12 22k2 2(2k2)22k22 k22k1k22k3 (k22k1)(k1)(k3)(因因k3，则，则k30，k10)k22k1(k1)2.所以所以2k12(k1)2.故当故当nk1时，原不等式也成立时，原不等式也成立 根据根据(1)(2)，原不等式对于任何，原不等式对于任何nN都成立都成立 利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到到nk1的变形为满足题目的要求，常常要采用的变形为满足题目的要求，常常要采用“凑凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于
4、用假设；二的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式，再证明是凑出结论的形式，再证明 例例2设设f(n)0(nN)，对任意自然数，对任意自然数n1和和n2总有总有f(n1n2)f(n1)f(n2)，又，又f(2)4.(1)求求f(1)，f(3)的值的值 (2)猜想猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想的表达式，并证明你的猜想 思路点拨思路点拨利用利用f(n1n2)f(n1)f(n2)可求出可求出f(1)，f(3)再猜想再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明，利用数学归纳法给出证明解解(1)由于对任意自然数由于对任意自然数n1和和n2，总有总有f(n1n2)f(n1)f(n2)取取
5、n1n21，得，得f(2)f(1)f(1)，即，即f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取取n11，n22，得，得f(3)23.(2)由由f(1)21，f(2)422，f(3)23，猜想猜想f(n)2n.证明：证明：当当n1时时f(1)2成立；成立；假设假设nk时，时，f(k)2k成立成立f(k1)f(k)f(1)2k22k1，这就是说当这就是说当nk1时，猜想也成立时，猜想也成立由由知猜想正确，即知猜想正确，即f(n)2n.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察观察归纳归纳猜想猜想证明即先通过观察部证明即先通过观察部分项的特点进行归纳，判
6、断并猜想出一般结论，分项的特点进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明然后用数学归纳法进行证明4在数列在数列an、bn中，中，a12，b14，且，且an、bn、an1成等差数列，成等差数列，bn、an1、bn1成等比数列成等比数列(nN)(1)求求a2、a3、a4及及b2、b3、b4的值，由此猜测的值，由此猜测an、bn的通项公式；的通项公式；(2)证明你的结论证明你的结论解：解：(1)由条件得由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测猜测ann(n1)，bn(n1)2.(2)用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：当当n1时，由上知结论成立时，由上知结论成立假设当假设当nk时，结论成立时，结论成立即即akk(k1)，bk(k1)2，那么当那么当nk1时，时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)bk1 (k2)2.所以当所以当nk1时，时，结论也成立结论也成立由由，可知，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都对一切正整数都成立成立