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1、微分方程微分方程与差分方程稳定性理论与差分方程稳定性理论 在研究实际问题时在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之我们常常不能直接得出变量之间的关系间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式但却能容易得出包含变量导数在内的关系式,这就是微分方程这就是微分方程.在现实社会中在现实社会中,又有许多变量是离散变化的又有许多变量是离散变化的,如人口如人口数、生产周期与商品价格等数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操而且离散的运算具有可操作性作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到不管是微分方程还是差
2、分方程模型，有时无法得到其解析解其解析解(必要时必要时,可以利用计算机求其数值解可以利用计算机求其数值解),),既使得既使得到其解析解到其解析解,尚有未知参数需要估计尚有未知参数需要估计(这里可利用参数估这里可利用参数估计方法计方法).).而在实际问题中而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.7.7 微分方程稳定性理论简介微分方程稳定性理论简介 一阶方程的平衡点及稳定性一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程(1)右端不含字变量t，称为自治方程.代数方程f(x)=0(2)的实根x=x0
3、称为方程(1)的平衡点(或奇点).它也是(1)的解(奇解).如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t)从这个邻域内的某个x(0)出发，满足(3)则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进稳定);否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定).判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法.利用定义即(3)式称间接法.不求方程(1)的解x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法.下面介绍直接法.将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项，方程(1)近似为(4)(4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的平衡点.关于x0点稳定性有如下结论：若f(x0)0，则x0对于方程(4)和(1)都是不稳定的.注:x
4、0点对方程(4)稳定性很容易由定义(3)证明：记f(x0)=a，则(4)的一般解为x(t)=ceat+x0(5)其中常数c由初始条件确定，显然，a 0,q 0，则平衡点稳定，则平衡点稳定;（12）若若 p 0,或或q 0，则则平平衡衡点点不不稳稳定定.（13）微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的取值决定，鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（8）式得下）式得下面面关于稳定性的结论。关于稳定性的结论。表表
5、1 1 由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性对对一一般般的的非非线线性性方方程程(6)，仍仍可可在在平平衡衡点点作作一一次次Taylor展展开开，得得常常系系数数的的近近似似线线性性方方程来讨论程来讨论.非线性方程非线性方程系数矩阵系数矩阵特征方程系数特征方程系数（17）（18）（19）结论结论：若方程（若方程（17）的特征根不为零或实部不为零，）的特征根不为零或实部不为零，则点对于方程（则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（）的稳定性与对于近似方程（17）的稳定性相同。对于方程（的稳定性相同。对于方程（6）的稳定性也由准则）的稳定性也由准则（12）、（
6、）、（13）决定。）决定。差分方程模型差分方程模型 对于对于k阶差分方程阶差分方程F(n;xn,xn+1,xn+k)=0 (20)若有若有xn=x(n),满足满足F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称则称xn=x(n)是差分方程是差分方程(20的的解解,包含包含k k个任意常个任意常数的解称为数的解称为（20）的的通解通解,x0,x1,xk-1为已知时为已知时称为称为（20）的的初始条件初始条件,通解中的任意常数都由初通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为始条件确定后的解称为(20)的的特解特解.若若x0,x1,已知已知,则形如则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+
7、k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数若有常数a是差分方程是差分方程(20)的解的解,即即F(n;a,a,a)=0,则称则称 a是差分方程是差分方程(20)的的平衡点平衡点.又对差分方程又对差分方程(20)的任意由初始条件确定的的任意由初始条件确定的解解 xn=x(n)都有都有xna(n),则称这个平衡点则称这个平衡点a是是稳定稳定的的.一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中其中a,b为常数为常数,且且a 0)的通解为的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知易知b/(a+1)是其平衡点是其平衡点,由上式知由上
8、式知,当且仅当当且仅当|a|1时时,b/(a+1)是稳定的平衡点是稳定的平衡点.对于一阶非线性差分方程对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点其平衡点x*由代数方程由代数方程x=f(x)解给出解给出.为分析平衡点为分析平衡点x*的稳定性的稳定性,将上述差分方程近将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程似为一阶常系数线性差分方程时时,上述近似线性差分方程与上述近似线性差分方程与原原非线性差分方程的非线性差分方程的稳定性相同稳定性相同.因此因此当当时时,x*是稳定的；是稳定的；当当时时,x*是不稳定的是不稳定的.当当 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+b
9、xn=r,其中其中a,b,r为常数为常数.当当r=0时时,它有一特解它有一特解x*=0；当当r 0,且且a+b+1 0时时,它有一特解它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形不管是哪种情形,x*是其平衡点是其平衡点.设其特征方设其特征方程程 2+a +b=0的两个根分别为的两个根分别为 =1,=2.当当 1,2是两个不同实根时是两个不同实根时,二阶常系数线二阶常系数线性差分性差分方程的通解为方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当当 1,2=是两个相同实根时是两个相同实根时,二阶常系数二阶常系数线性差分线性差分方程的通解为方程的通解为xn=x*+(C1+C2 n)n;当当 1,2=(cos +i sin )是一对共轭复是一对共轭复根时根时,二阶常系数线性差分二阶常系数线性差分方程的通解为方程的通解为xn=x*+n(C1cosn +C2sinn ).易知易知,当且仅当特征方程的任一特征根当且仅当特征方程的任一特征根|i|1时时,平衡点平衡点x*是稳定的是稳定的.则则