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1、微分方程的稳定性模型第一页，讲稿共四十七页哦稳定性模型稳定性模型的特点的特点 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是平衡状态是否稳定。否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。研究平衡状态的稳定性。第二页，讲稿共四十七页哦目目 录录6.1 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获6.2 军备竞赛军备竞赛6.3 种群的相互竞争种群的相互竞争6.4 种群的相互依存种群的相互依存6.5 种群的弱肉强食种群的弱肉强食第三页，讲稿共四十七页哦6.1
2、 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获 再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳产前在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。提下实现最大产量或最佳效益。背景背景资源分为再生资源（林业、渔业等）和资源分为再生资源（林业、渔业等）和非再生资源（矿业等）。非再生资源（矿业等）。第四页，讲稿共四十七页哦考察一个渔场，其中的鱼量在天然环境下按一定规律增考察一个渔场，其中的鱼量在天然环境下按一定规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续。不变，这个捕捞量就可以持续。希望建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，希望建立在捕捞情
3、况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下如何控分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大？制捕捞使持续产量或经济效益达到最大？问题及问题及 分析分析 在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将渔场鱼量将保持不变保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。实实际际问问题题第五页，讲稿共四十七页哦ExNxrxxFtx)1()()()1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF记产量模型产量模型假设假设
4、无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模 捕捞情况下渔捕捞情况下渔场鱼量满足场鱼量满足 不需要求解不需要求解x(t),只需知道只需知道x(t)稳定的条件稳定的条件r固有增长率固有增长率,N最大鱼量最大鱼量h(x)=Ex,E捕捞强度捕捞强度x(t)渔场鱼量渔场鱼量第六页，讲稿共四十七页哦实质上，实质上，我们并不需求解上面的微分方程以得到我们并不需求解上面的微分方程以得到x(t)的动态变的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，
5、即时间时间 t 足够长以后渔场鱼量足够长以后渔场鱼量 x(t)的趋向，并由此确定最大持的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接求上面续产量。为此可以直接求上面常微分方程的平衡点并分析常微分方程的平衡点并分析其稳定性其稳定性。第七页，讲稿共四十七页哦一阶常微分方程的平衡点及其稳定性一阶常微分方程的平衡点及其稳定性)1()(xFdtdxx一阶非线性（自治）方程一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡点平衡点(或奇点或奇点)。它也是方程它也是方程(1)的解的解.设设x(t)是方程的解，若从是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，某邻域的任一初值出发，都有都有,
6、)(lim0 xtxt称称x0是方程是方程(1)的的稳定平衡点稳定平衡点),(txFdtdxx一阶微分非线性方程一阶微分非线性方程第八页，讲稿共四十七页哦不求不求x(t),判断判断x0稳定性的方法稳定性的方法直接法直接法由于由于),)()(00 xxxFxF讨论方程讨论方程(1)的稳定性时，可用的稳定性时，可用)2()(00 xxxFdtdx来代替来代替.即即)2()(00 xxxFx(1)的近似线性方程的近似线性方程易知易知 x0也是方程也是方程(2)的平衡点的平衡点.(2)的通解为的通解为,e)(0)(0 xCtxtxF关于关于x0是否稳定有以下结论：是否稳定有以下结论：)1(),2(0)
7、(00对稳定xxF)1(),2(0)(00对不稳定xxF第九页，讲稿共四十七页哦0)(xF0),1(10 xrENxErxFrExF)(,)(10产量模型产量模型ExNxrxxFtx)1()()(平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断0)(,0)(10 xFxFrE0)(,0)(10 xFxFrEx0 稳定稳定,可得到稳定产量可得到稳定产量x1 稳定稳定,渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率不稳定稳定10,xx稳定不稳定10,xx平衡点分别对应微分方程的两个特殊解。平衡点分别对应微分方程的两个特殊解。第十页，讲稿共四十七页哦产量模型产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制在捕捞量稳定的
8、条件下，控制捕捞强度使产量最大捕捞强度使产量最大图解法图解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)(xFP的横坐标的横坐标 x0平衡点平衡点2/*0*rxhEmy=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标的纵坐标 h产量产量)4/,2/(*0*rNhNxPm产量最大产量最大f 与与h交点交点P稳定0 xrEhmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半控制渔场鱼量为最大鱼量的一半第十一页，讲稿共四十七页哦cErEpNEESETER)1()()()()1(4222NpcrNhRcEpExSTR效益模型效益模型假设假设 鱼销售价格鱼销售价格
9、p 单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c 单位时间利润单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大强度使效益最大.)/1(0rENx稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大)1(2pNcrERpcN22)1(rENxRR渔场渔场鱼量鱼量2*rE收入收入 T=ph(x)=pEx支出支出 S=cE第十二页，讲稿共四十七页哦EsS(E)T(E)0rE捕捞捕捞过度过度 封闭式捕捞封闭式捕捞追求利润追求利润R(E)最大最大 开放式捕捞开放式捕捞只求利润只求利润R(E)0cErEpNEESETER)1()()()(R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度(临界强度
10、临界强度)Es=2ER)1(rENxsspc临界强度下的渔场鱼量临界强度下的渔场鱼量cp或,捕捞过度捕捞过度ER)1(2pNcrERE*令令=0)1(pNcrEsssxE,第十三页，讲稿共四十七页哦6.2 军备竞赛军备竞赛 描述双方描述双方(国家或国家集团国家或国家集团)军备竞赛过程军备竞赛过程 解释解释(预测预测)双方军备竞赛的结局双方军备竞赛的结局假设假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；备增长的制约越大；3）由于
11、相互敌视或领土争端，每一方都存在增加）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。军备的潜力。进一步进一步假设假设 1）2）的作用为线性；）的作用为线性；3）的作用为常数）的作用为常数目的目的第十四页，讲稿共四十七页哦gkyxtx)(建模建模军备竞赛的结局军备竞赛的结局常微分方程常微分方程组组的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性x(t)甲方军备数量，甲方军备数量，y(t)乙方军备数量乙方军备数量hylxty)(,本方经济实力的制约；本方经济实力的制约；k,l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g,h 本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。t 时的时的x(t)，y(t)第十五页，
12、讲稿共四十七页哦线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组dycxtybyaxtx)()(的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x0,y0)=(0,0)代数方代数方程程00dycxbyax的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有,)(lim0 xtxt称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点,)(lim0ytyt记系数矩阵记系数矩阵dcbaA特征方程特征方程0)det(IAAqdapqpdet)(02特征根特征根2/)4(22,1qpp第十六页，讲稿共四十七页哦线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组dycxtybyaxtx)()(的平
13、衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性特征根特征根2/)4(22,1qpp平衡点平衡点 P0(0,0)微分方程一般解形式微分方程一般解形式ttecec2121平衡点平衡点 P0(0,0)稳稳定定平衡点平衡点 P0(0,0)不稳定不稳定 1,2为负数或有负实部为负数或有负实部p 0 且且 q 0p 0 或或 q kl 下下 x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。即友好邻国通过裁军可达到永久和平。hylxtygkyxtx)()(模型模型,本方经济实力的制约；本方经济实力的制约；k,l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g,h 本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。第十九页，讲稿
14、共四十七页哦3）若）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因很小，但因 ，也会重整军备。，也会重整军备。0,0yx4）即使某时一方）即使某时一方(由于战败或协议由于战败或协议)军备大减军备大减,如如 x(t)=0，也会因也会因 使该方重整军备，使该方重整军备，gkyx 即存在互不信任即存在互不信任()或固有争端或固有争端()的单方的单方面裁军不会持久。面裁军不会持久。0k0g模型的定性解释模型的定性解释,本方经济实力的制约；本方经济实力的制约；k,l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g,h 本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛
15、的潜力。hylxtygkyxtx)()(模型模型第二十页，讲稿共四十七页哦6.3 种群的相互竞争种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。相互竞争；相互依存；弱肉强食。当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。强的达到环境容许的最大容量。建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。
16、产生这种结局的条件。第二十一页，讲稿共四十七页哦221122221)(NxNxxrtx)1()(11111Nxxrtx111111)(Nxxrtx 模型假设模型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存时数量有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从变化均服从Logistic规律规律;)1()(22222Nxxrtx 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比的数量成正比;甲对乙有同样的作用。甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言对于消耗甲的资源而言，乙，乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相相对于对于N1)的的 1 倍。倍。11对甲增长的阻滞
17、对甲增长的阻滞作用，乙大于甲作用，乙大于甲乙的竞争力强乙的竞争力强模型模型221Nx第二十二页，讲稿共四十七页哦模型模型分析分析221111111)(NxNxxrtx221122221)(NxNxxrtx的趋向时)(),(21txtxt(平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性)(二阶二阶)非线性非线性(自治自治)方程方程),()(),()(212211xxgtxxxftx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x10,x20)代数方程代数方程0),(0),(2121xxgxxf的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有,)(lim011xtxt称称P0是微
18、分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点,)(lim022xtxt模型模型第二十三页，讲稿共四十七页哦判断判断P0(x10,x20)稳定性稳定性的方法的方法直接法直接法(1)的近似线性方程的近似线性方程)1(),()(),()(212211xxgtxxxftx)2()(,()(,()()(,()(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx02121PxxxxggffAAqgfpqpPxxdet)(00212平衡点平衡点 P0稳定稳定(对对2,1)p 0 且且 q 0平衡点平衡点 P0不稳定不稳定(对对2,
19、1)p 0 或或 q 0第二十四页，讲稿共四十七页哦),0(),0,(2211NPNP平衡点：01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf221111111)(NxNxxrtx221122221)(NxNxxrtx仅当仅当 1,2 1时，时，P3才有意义才有意义模型模型)0,0(,1)1(,1)1(4212221113PNNP第二十五页，讲稿共四十七页哦2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx平衡点稳平衡点稳定性分析定性分析4,3,2,1,det,)(21iAqgfpipipxx2
20、211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf平衡点平衡点 Pi 稳定条件：稳定条件：p 0 且且 q 0第二十六页，讲稿共四十七页哦种群竞争模型的平衡点及稳定性种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定不稳定平平 衡点衡点)0,(11Np)1(221rrpq)1(221 rr),0(22Np211)1(rr)1(121 rr2122211131)1(,1)1(NNp2121211)1)(1(rr)0,0(4p)(21rr 21rr2122111)1()1(rr 21,11,P1,P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种
21、群共存的平衡点是两种群共存的平衡点 11,21P1稳定的条件稳定的条件 11?11 21,11P1,P2都不都不(局部局部)稳定稳定1x2x12/N21/N1N2N03P00(3)11,21,21,21加上与加上与(4)相区别的相区别的 11 P2 稳定稳定 P3 稳定稳定P1全局稳定全局稳定第二十九页，讲稿共四十七页哦结果解释结果解释对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相对于相对于N1)的的 1 倍。倍。11对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙小于甲作用，乙小于甲乙的竞争力弱乙的竞争力弱 P1稳定的条件：稳定的条件：11 21 甲的竞争力强甲的竞争力
22、强甲达到最大容量，乙灭绝甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：稳定的条件：11,21 P3稳定的条件：稳定的条件：11,21通常通常 1 1/2，P3稳定条件不满足稳定条件不满足第三十页，讲稿共四十七页哦6.4 种群的相互依存种群的相互依存甲乙两甲乙两种群的相互依存有三种形式种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相时相互提供食物、促进增长。互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起
23、生存时甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。相互提供食物、促进增长。第三十一页，讲稿共四十七页哦111111)(Nxxrtx 模型模型假设假设 甲可以独自生存，数量变化服从甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从服从Logistic规律规律)。模型模型乙为甲提供食物是乙为甲提供食物是甲消耗的甲消耗的 1 倍倍2
24、21Nx甲为乙提供食物甲为乙提供食物是乙消耗的是乙消耗的 2 倍倍1)(222xrtx 1122221)(Nxxrtx221122221)(NxNxxrtx第三十二页，讲稿共四十七页哦种群依存模型的平衡点及稳定性种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件稳定条件不稳定不稳定1,12121,1,12121平衡点平衡点pq)0,(11NP)1(221rr)1(221rr)0,0(3P21rr 21rr2122211121)1(,1)1(NNP2121211)1)(1(rr2122111)1()1(rr第三十三页，讲稿共四十七页哦平衡点平衡点P2
25、稳定稳定性的相轨线性的相轨线2122211121)1(,1)1(NNP),(1)(2111221111111xxxrNxNxxrtx),(1)(212222112222xxxrNxNxxrtx.0,0:;0,0:;0,0:;0,0:214213212211xxSxxSxxSxxS1x2x021/N1N1S2S3S2P004S 11,1 21 P2稳定稳定第三十四页，讲稿共四十七页哦 1 21 前提下前提下P2存在的必要条件存在的必要条件结果结果解释解释2122211121)1(,1)1(NNP 21 甲必须为乙提供足够的食物甲必须为乙提供足够的食物甲为甲为乙提供的食物是乙消耗的乙提供的食物是乙
26、消耗的 2 倍倍 11,1 21条件下使条件下使 1 21 成立成立 P2稳定条件：稳定条件：11,1 2 0P:临界状态临界状态 q 0P 不稳定不稳定 0/0abrbadAP)0,0(P第三十八页，讲稿共四十七页哦tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件用数学软件MATLA
27、B求求微分方程数值解微分方程数值解xy 平面上的相轨线平面上的相轨线第三十九页，讲稿共四十七页哦计算结果（数值，图形）计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线是封闭曲线xayrtx)()(ybxdty)()(观察，猜测观察，猜测x(t),y(t)的周期约为的周期约为9.6xmax 65.5,xmin 6,ymax 20.5,ymin 3.9用数值积分可算出用数值积分可算出 x(t),y(t)一周期的平均值：一周期的平均值：x(t)的平均值约为的平均值约为25,y(t)的平均值约为的平均值约为10。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterr
28、a)第四十页，讲稿共四十七页哦)()(bxdyayrxdydxdyyayrdxxbxd 消去消去dt1lnlncayyrbxxdybxdtyxayrtx)()()()(ceyexayrbxd)(用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性)/,/(arbdPc 由初始条件确定由初始条件确定取指数取指数第四十一页，讲稿共四十七页哦x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0arygygggm/,)(,0)()0(00,0)()0(ffcygxf)()(ceyexayrbxd)(在相平面上讨论相轨线的图形在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性)/,/(arbdP相轨线相轨线
29、)(xf)(ygbdxfxfm/,)(00mmgfc 时无相轨线时无相轨线以下设以下设mmgfc 第四十二页，讲稿共四十七页哦y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)mmgfc 00,yyxx相轨线相轨线退化为退化为P点点mmgfc 0yy令mfpxf)(mpgc 设 存在x1x0 x2,使f(x1)=f(x2)=pmgyg)(,21xxx考察pxf)(存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=qmpgygxf)()(mgqyg)(内任意点是,21xxx相轨线是封闭曲线族相轨线是封闭曲线
30、族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0cygxf)()(相轨线相轨线P中心中心第四十三页，讲稿共四十七页哦相轨线相轨线是封闭曲线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数是周期函数(周期记周期记 T)求求x(t),y(t)在一周期的平均值在一周期的平均值yx,ybxdty)()()(1)(dyybtxTdttxTx0)(1xayrtx)()(arybdxyxP/,/:),(0000轨线轨线中心中心00,yyxxbdx/ary/用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性)/,/(arbdPTdtdyybT0)(11)0(ln)(ln(1bdTbyTyT第四十四页，讲稿共四十七页哦020
31、40608010012005101520253000yx，00yx，00yx00yx0PT2T3T4T1P024681012020406080100120 x(t)y(t)T1 T2 T3 T4x(t)的的“相位相位”领先领先 y(t)xayrtx)()(ybxdty)()()()(:1tytxT)()(:2tytxT)()(:3tytxT)()(:4tytxT模型解释模型解释)/,/(arbdP),(000yxP初值初值相轨线的方向相轨线的方向第四十五页，讲稿共四十七页哦模型解释模型解释r 食饵增长率食饵增长率d 捕食者死亡率捕食者死亡率b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力ary 捕食者
32、捕食者 数量数量bdx 食饵食饵数量数量020406080100120051015202530P)/,/(arbdPr/ad/ba 捕食者掠取食饵能力捕食者掠取食饵能力捕食者数量与捕食者数量与r成正比成正比,与与a成反比成反比食饵食饵数量与数量与d成正比成正比,与与b成反比成反比第四十六页，讲稿共四十七页哦模型模型解释解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捞捕捞战时战时捕捞捕捞rr-2,dd+2,2 1yyxx11,),(111yxP),(222yxP),(yxPxy食饵食饵(鱼鱼)减少，减少，捕食者捕食者(鲨鱼鲨鱼)增加增加自然环境自然环境arybdx/,/),(yxP1212,yyxx1PP 21PP 还表明：对还表明：对害虫害虫(食饵食饵)益虫益虫(捕食者捕食者)系统，系统，使用灭两种使用灭两种虫的虫的杀虫剂杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。会使害虫增加，益虫减少。1PP 第四十七页，讲稿共四十七页哦