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1、最新资料推荐8 数学广角数与形数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。而有些情况下，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等。本单元的教学内容分为两个层次。一是使学生通过数与
2、形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如，例1从图形的角度直观地理解“正方形数”或“平方数”的特点。二是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。例如，例2解决求和的问题，教科书利用分数意义的直观模型，使学生直观地理解“无限”的抽象概念。小学六年级的学生已具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主。为了使学生更直观地理解知识，同时又满足学生发展逻辑思维能力的要求，教科书在编排上体现了先“数”后“形”的顺序，把形象真正放在“支撑”地位，从而为培养学生的逻辑能力而服务。1.形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决。教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完
3、美结合：既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律；也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。例如，教学例1时，可从形引入，先让学生说一说三幅图中分别有多少个小正方形，通过学生的讨论，得出小正方形数为12，22，32，还可以分别表示成1，1+3，1+3+5，的结论；也可以从数引入，让学生通过计算，发现1+3=4，1+3+5=9，引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，从而对规律形成更为直观的认识。2.充分发挥教师的指导作用，让学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。例2中，“无限”的概念非常抽象，学生不易理解。因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导
4、作用，帮助学生深刻理解。比如说，教师可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根据分数的意义表示出这些加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”，从而进一步感受到“化数为形”直观、形象、简捷的特点。当然，如果学生还是有困难，教师也可以通过反推的方法帮助学生理解。最新精品资料整理推荐，更新于二二二年三月二十七日2022年3月27日星期日20:24:26教学笔记第1课时 数与形（1）教学内容教科书P107例1及P108“做一做”第1、2题，完成教科书P109110“练习二十二”中第13题。教学目标1.体会数与形的联系，进一步积累数形结合的数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。2.体验数
5、形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合的思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。3.在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想方法。教学重点体会数形结合的思想。教学难点用自己的语言描述发现的规律。教学准备课件、不同颜色的小正方形。教学过程一、游戏激趣，导入课题师：同学们，我们学习了几年的计算，都会吧？（会）跟老师比一比行吗?（行）课件依次出示习题。【教学提示】比赛结束后，适当引导学生观察一下算式的特点，再说自己的计算方法。师生比赛，看谁算得快。（老师当然快一些）师：你们想不想也像老师一样算得快呢？（想）老师给你们一点点提示，我是借助图形发现计算方法的。今天这节课
6、我们就来研究数与形。板书课题：数与形（1）【设计意图】从谈话导入，通过设置悬念，激发学生学习兴趣，从而顺理成章地引出课题。二、形中找数，以形解数师：我先根据算式中的加数拿出若干个图形。比如，1+3，我就先拿1个小正方形，再拿3个小正方形贴在黑板上，我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成1个大正方形，那就把它们拼成一个大的正方形。教学笔记师：接着，我观察图形和算式之间的关系，发现了可以快速算得结果的方法，你们想不想自己试试看？1.动画引出形与数的联系。师：请大家认真观察屏幕上的内容。（课件动态呈现教科书P107例1）【教学提示】避免学生将数与形分离开观察，在此要求学生用数表示出图的规律。师：通过刚
7、才的观察，你能从图中发现哪些数的信息?请先与同桌交流，再向大家说说你的想法。学生活动，教师巡视。全班交流。【学情预设】学生可能会根据图形的呈现顺序(每层个数)回答，如1(1层)、1+3(2层)、1+3+5(3层)；也可能根据图形的结果(正方形个数)回答，如1、4、9学生边回答，课件边呈现算式，教师边完成下面板书。111121+3=22=221+3+5=33=322.探究发现形与数的关系。师：请大家结合图形与算式，看看能发现什么规律?拼这样的图形，一共需要多少个小正方形?课件集中呈现。学生活动，教师巡视。全班交流。【学情预设】预设1：结合算式看图形，发现图形中所包含的规律是各层小正方形的个数之和
8、等于层数的平方。预设2：发现算式左边是每层图形的个数之和，右边也是。并从中发现，在计算连续奇数的和时，用“个数”的平方来计算比较快。预设3：发现图形和算式之间有一定的联系。也就是说，图形中的规律可以用算式表示出来，这样，不需要再继续拼下去，就可以从算式中知道，所拼图形中一共有多少个小正方形。教学笔记预设4：发现拼出的图形有多少层，层数的平方就是图中所有小正方形的个数。如拼出的图形有2层，一共有22个小正方形；拼出的图形有3层，一共有32个小正方形；拼出的图形有几层，就有几的平方个小正方形。【教学提示】要关注学生多种推理方法，突出学生的思维过程，不能让学生套用规律。3.初步体会形与数的关系。师：
9、同学们真聪明，发现了形与数之间的联系。现在如果让你拼出4层，一共需要多少个小正方形?如果拼出5层呢?6层呢?课件动态呈现拼成4、5、6层的大正方形。学生分别说出算式和得数。师：如果拼成10层呢？100层呢？请大家先想一想，再交流一下。【学情预设】预设1：拼10层，共需102100(个)小正方形;拼100层，共需100210000(个)小正方形。预设2：可以把拼图问题转化为计算连续奇数的和，因为1+3224，1+3+5329，所以1+3+5+74216，1+3+5+19102100，1+3+5+199=1002=10000。预设3：发现当层数较少时，用图形比较直观；当层数较多时，画图就比较麻烦，
10、画100层就很困难。如果层数比较多，用算式虽然不像图形那样直观，但如果分析出其中隐藏的规律后，再多的层数都可以用算式非常方便地计算出结果。教师在全班交流的同时，引导学生归纳出数与形之间的联系，最后完成小结。师：通过探索，发现形与数之间存在着紧密的联系；并且还发现，图形虽然直观，但随着数量的不断增加，会变得不易操作，如果改用寻找数中隐藏的规律，就可以进行更加详细的讨论。师：通过计算，你们发现算式有什么规律没有?【学情预设】学生会发现，从1开始，n个连续奇数的和等于n2。【设计意图】本环节设计有三层，每层都通过数形结合来引导学生不断深入思考。首先，用动画以“半包围”的方式引出图形，让学生清楚地看到
11、每层的小正方形数量不断增加，放手让学生从中发现形与数的联系。接着，以共需多少个小正方形为问题，引发思考，又一次放手让学生探究发现形与数之间的关系。最后是渗透数学思想方法的关键，也是教学的目的所在。以不断增加层数提出“高难度”问题，迫使学生从画图转向算式，再加之教师的点拨，使学生初步体会形的直观与数的细微。4.运用规律。（1）课件出示习题。教师请学生独立完成，然后全班核对答案并适时板书。教学笔记（2）利用规律，算一算。【教学提示】部分学生能灵活运用规律计算，大部分学生还是需要引导。所以让会做的学生说思路、方法，分享解答过程。课件展示教科书P108“做一做”第1题。师：根据例1的结论算一算。全班交
12、流，请学生说明计算结果和原因。5.小结。师：同学们都很细心，不但能很快算出从1开始的连续奇数的和，稍加一点变化，你们也照样算得很快。现在知道老师是用什么方法来快速计算这些题了吧。师：这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？（图形）看来，有的计算问题借助图形解决会更容易。【设计意图】充分让学生观察分析，感受如何将数和形结合，体会数和形之间的紧密联系，同时让学生感受到“形”可以展示“数”的特点，通过“形”使解决“数”的问题变得更加容易。三、巩固练习,综合应用1.课件展示教科书P108“做一做”第2题。师：请你认真思考、观察，上边的图形和对应的数之间有什么规律？四人小组交流，全班汇报。课件出示答案。师
13、：刚才有一个同学说，红色的小正方形顺次增加1个，蓝色的小正方形顺次增加2个，这是为什么呢？我们一起来看一看。第一个图形，若要增加1个红色小正方形，其上方、下方就要各增加1个蓝色小正方形。依此类推，第三个图形在第二个图形的基础上增加了1个红色小正方形，则蓝色小正方形就要增加几个？（2个）师：如果不让你看图，照这样画下去，第6个和第10个图形各有几个红色小正方形和蓝色小正方形呢？你能写出来吗？在草稿本上写一写。教师请学生介绍，说说是怎么算出来的。【教学提示】学生可以从不同角度观察、分析，发现规律，不能仅仅关注结果。师：观察发现，图形中左右两侧的蓝色小正方形个数固定不变（为6个），在中间部分，红色小
14、正方形的个数乘2就是蓝色小正方形的个数。即使在红色小正方形个数较多的情况下，仍然可以算得很快，看来图形问题确实也蕴涵着数的规律。找到了其中的规律，解决问题就清晰、容易多了。2.课件展示教科书P109“练习二十二”第1题。先放手让学生找出规律，再交流汇报。【学情预设】由于每个图形最外圈小正方形的个数都是8的相应倍数，因此第n个图形最外圈小正方形的个数是8n。类似的算式(2n+1)2-(2n-1)2可能学生找不到，教师可以引导学生观察给出的算式中两个数间的关系，如3和1、5和3、7和5这样从相邻奇数入手思考，会很快发现其中的规律。3.课件展示教科书P109“练习二十二”第2题。师：上方有图，下方有
15、对应的数字，请你观察和思考，图和数之间有什么规律？教学笔记 (1)小组交流后全班汇报。【学情预设】预设1：第2个图形中小圆的个数为1+2，第3个图形中小圆的个数为1+2+3，第4个图形中小圆的个数为1+2+3+4。预设2：是第几个图形，其中就有几行小圆。师：照这个规律往下画，你能画出来吗？图形下方的数字表示的是什么？第5个、第6个、第7个图形下方的数，你能不能很快写出来？(2)请学生独立完成在练习纸上。(3)学生汇报，说说是怎么得到结果的。师：第10个图形中的最后一行是第几行？一共含有几个小圆？【学情预设】第10个图形中的最后一行是第10行，一共含有55个小圆。师：现在如果老师不让你画图，你能
16、不能想象一下第10个图形，它是什么样子的？一共有多少个小圆呢？现在我们就不画图，算一算，第10个图形下方的那个数是多少？能算出来吗？动笔试一试。(4)展示学生作品，请学生介绍方法。【设计意图】通过练习，让学生进一步体会数形结合的特点，感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。在练习中充分让学生动脑、动口、动手，在交流中发现特点，解决问题。4.课件展示教科书P110“练习二十二”第3题。（1）学生独立在教科书上完成。（2）展示交流，集体订正。【学情预设】就具体的图形来说，学生能较轻松地填出数。在发现规律时，学生可能有点难度，特别是发现的规律难以用语言表达清楚。教师要引导学生用字母表示。四、回顾
17、反思师：今天这节课，我们一起学习了“数与形”，说说你们有什么收获。【学情预设】学生可能会说，利用图形发现规律，利用图形进行计算比较简便等。师小结：在解决问题时，可以利用形解决数的问题，也可以利用数解决形的问题，根据实际灵活选用。板书设计数与形（1）111121+3=22=221+3+5=33=321+3+5+7=421+3+5+7+9+11+13=72教学反思教学笔记让学生自己发现规律时，他们首先说的都是数的规律，比如每个加法算式依次多加了一个数，分别是3、5、7它们的和都是几的平方数，而没有把数和图形结合起来，于是教师多次引导学生从图形上去找找看还有什么规律。使学生通过观察，发现算式左边的加数正好与正方形图中以颜色区分的“”形图形中的小正方形数相对应。把这些加数加起来，和就是正方形图中包含的小正方形数，即每边小正方形数的平方。三、观察图形，填写下表。四、先数一数，再填一填，用你发现的规律解决问题。1.摆15个三角形，需要多少根小棒？2.有89根小棒，能摆出多少个三角形？3.摆成的三角形个数与所用的小棒根数之间有什么关系？参考答案三、43 88四、7 9 1.31根 2.44个3.摆成的三角形个数2+1=所用的小棒根数