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1、3 图像变换3.1 概述 输入函数f(x,y)妇表示原始图像，输出函数g(x,y)表示经处理后的图像，线性系统可看作是一种映射，它反映了各种线性的图像处理方法。1 1）图像处理的线性描述）图像处理的线性描述系统的输入和输出关系表示为 一般地讲，图像处理的二维系统为非因一般地讲，图像处理的二维系统为非因果系统，因空间变量果系统，因空间变量(x,y)相对于某参考轴可相对于某参考轴可为负值。为负值。2）图像变换的好处v一般数字图像处理的计算方法本质上都为线性，处理后的输出图像阵列为输入图像阵列的各个元素的加权线性组合，这种空间线性处理要比非线性处理简单v但若图像阵列很大，如果没有有效的算法，计算上很
2、麻烦且费时，往往采用各种图像变换的方法，可获得更有效的处理3.2 图像的线性运算 若实变量函数f(x,y)连续可积，且F(u)可积，则傅里叶变换对为：3.2.23.2.2 二维连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换1 1）一维连续傅立叶变换）一维连续傅立叶变换）一维连续傅立叶变换）一维连续傅立叶变换u=/2,u=/2,为频率变量为频率变量 考虑f(x)为实函数，将傅立叶变换写成复数形式进一步写成指数形式 为幅值函数，称为 f(x)的傅立叶谱 称为相角傅立叶谱的平方，称为能量谱或功率谱傅立叶谱的平方，称为能量谱或功率谱 若 f(x,y)连续可积的，且F(u,v)可积
3、，则二维傅立叶变换对为2 2）二维连续傅立叶变换）二维连续傅立叶变换 其中u,v是空间频率变量傅立叶谱相角能量谱表3.1给出了常用函数的二维傅立叶变换对3.3 二维离散傅立叶变换及其性质3.3.1 概述 离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform 简称 DFT）在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散频域之间的联系。如何运用DFT 将输入的数字信号首先进行 DFT 变换，在频域中进行各种有效的处理，然后进行 DFT 反变换，恢复为时域信号。DFT的优点v用计算机对变换后的信号进行频域处理，比在时域中直接处理更加方便，计算量也大大减少，提高了处
4、理速度v有快速算法，即 FFT(Fast Fourier Transform)算法3.3.2 二维离散傅立叶变换 以 x 为增量间隔进行取样，将一维连续函数 f(x)离散化。1)1)一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换 式中x=0,1,2,，N-1，为离散值 表示为：经取样后的一维离散函数 f(x)的离散傅立叶变换对由下式表示：式中F(u)也是一个离散函数,F(u)=F(u0+uu),若取样始于原点 式中式中u=0,1,2,，N-1，为离散值，为离散值空间域取样间隔空间域取样间隔x和频率域取样间隔和频率域取样间隔 u 之间的关系为之间的关系为2）二维离散傅立叶变换式中空间域取样间隔空间域取样间
5、隔x，y和和频率域取样间隔频率域取样间隔 u，v 之间的关系为之间的关系为式中在数字图像处理中，图像一般取样为方形阵列，在数字图像处理中，图像一般取样为方形阵列，M=N，那么二维，那么二维 DFT 可表示为可表示为 常用的是正、反变换式中常数项均取 l/N 这不影响问题的本质。几个参数3.3.3 二维离散傅立叶变换的性质1）线性设设 F1(u,v)和和 F2(u,v)分别为二维离散函数分别为二维离散函数 f1(x,y)和和f2(x,y)的的DFT，则，则式中式中a，b是常数是常数2）可分离性将式（3.3.10）分成两部分乘积设式（3.3.13）后面的求和项为：此式表示对每一个 x 值，f(x,
6、y)先沿每一行进行一次一维傅立叶变换（对比式(3.3.2)）再将F(x,v)沿每一列进行一次一维傅立叶变换，就可得二维傅立叶变换 F(u,v)，即上述过程用图表示为显然，改为先沿列后沿行分离为两个一维变换，其结果是一样的。即 二维离散傅立叶反变换的分离过程与上述相似，所不同的只是指数项为正。若f(x,y)F(u,v)，则2）平移性(1)(2)(3)频移/空移时，幅度不变。(4)当u0=v0=N/2时,即，如果需要将图像频谱的原点从起始点(0,0)移到图像的中心点(N/2,N/2)，只要 f(x,y)乘上(-1)(x+y)因子,再进行傅立叶变换即可（a）原始图像 (b)中心化前的频谱图 (c)中
7、心化后的频谱图图3.3.3 图像频谱的移动实例 4)周期性和共轭对称性v周期性v共轭对称性5）旋转不变性引入极坐标有：此式表明，如果 f(x,y)在空间域中旋转 0角度后，相应的傅立叶变换 F(u,v)在频域中也旋转 同一0角。反之亦然。傅立叶变换的旋转性图3.3.5 傅立叶变换的旋转性6）分配性和比例性v分配性v比例性对于两个标量a和b，有7）平均值二维离散函数的平均值定义如下：将u=v=0带入F(u,v)公式，得所以：8）微分性质定义f(x,y)的拉普拉斯算子为按二维傅立叶变换的定义，可得：拉普拉斯算子通常用于检测图像的边缘9）卷积定理v连续函数卷积定理两个二维连续函数 f(x,y)和 g(x,y)的卷积定义为设f(x,y)F(x,y)，g(x,y)G(x,y)，则设v离散函数卷积定理其二维离散卷积形式为 此形式与连续的基本一样，所不同的是所有变量 x，y，u，v 都是离散量二维离散卷积定理可用下式表示10）相关定理其中一点补充 在图像处理中，常以光强度函数显示傅立叶谱。但许多图像的谱随着频率的增加衰减的很快，因此它们的高频项变得越来越不清楚，为解决此问题，常用下面的函数代替|F(u)|