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1、14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线1.若曲面方程为若曲面方程为过曲面上点过曲面上点 任意任意作一条在曲面上的作一条在曲面上的曲线曲线 ，(如图如图)设其方程为设其方程为显然有显然有在上式两端对在上式两端对 求导，得求导，得114.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线214.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线由于由于 的任意性，可见曲面上过的任意性，可见曲面上过 的任一条曲线的任一条曲线 在在该点的切线都与该点的切线都与 正交，因此这些切线应在同一平面正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在上，这个平面称为曲面在 点的点的切平面切平面，而，而 就是就是切平面的法
2、向量。切平面的法向量。在在 点（设点（设 点对应于参数点对应于参数 ）有）有314.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线过过 点与切平面垂直的直线，称为曲面在点与切平面垂直的直线，称为曲面在 点的点的法线法线，其方程为，其方程为该法线的一组方向数为：该法线的一组方向数为：从而曲面在从而曲面在 点的点的切平面方程为切平面方程为414.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线综上所述若曲面方程为综上所述若曲面方程为则该曲面在则该曲面在 点的点的切平面方程为切平面方程为过过 点的点的法线方程为法线方程为514.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线设设 分别为曲面在分别为曲面在 点的法线与点的
3、法线与 轴正向之轴正向之间的夹角，那末在间的夹角，那末在 点的点的法线方向余弦为法线方向余弦为614.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线2.若曲面方程为若曲面方程为容易把它化成刚才讨论过的情形：容易把它化成刚才讨论过的情形：于是曲面在于是曲面在 （这里（这里 ）点的）点的切平面切平面方程为方程为法线方程为法线方程为714.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线3.若曲面方程为参数形式：若曲面方程为参数形式：如果由方程组如果由方程组 可以确定两个函数：可以确定两个函数：于是可以将于是可以将 看成看成 的函数，从而可以将问题化为的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。刚才已经讨论过
4、的情形。代入方程代入方程 ，得，得因此需分别计算因此需分别计算 对对 的偏导数。的偏导数。814.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线将将 分别对分别对 求导，注意到求导，注意到 为为 的函数按隐函数求导法则有的函数按隐函数求导法则有解方程组，得解方程组，得914.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线法线方程法线方程于是曲面在于是曲面在 点的点的切平面方程为切平面方程为1014.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线例例 1 求球面求球面 在点在点 的切平面的切平面及法线方程及法线方程.解解设设则所以在点所以在点 处处 球面的切平面方程为球面的切平面方程为法线方程法线方程1114.5
5、.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线4.曲面的夹角曲面的夹角 两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的个曲面在该点的夹角夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为两曲面为正交曲面正交曲面。例例 2 证明对任意常数证明对任意常数 ，球面，球面 与锥与锥面面 是正交的。是正交的。1214.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线即即证明证明 球面球面 的法线方向数为
6、的法线方向数为锥面锥面 的法线方向数为的法线方向数为在两曲面交线上的任一点在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积处，两法向量的内积因因 在曲面上，上式右端等于在曲面上，上式右端等于 0，所以曲面与锥，所以曲面与锥面正交。面正交。1314.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为椭球面在给定点的切平面法向量为1414.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程1514.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得16