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1、第二章矩阵的运算与矩阵的秩第二章矩阵的运算与矩阵的秩 本章要点流程本章要点流程:首先介绍矩阵的基本运算首先介绍矩阵的基本运算首先介绍矩阵的基本运算首先介绍矩阵的基本运算进一步了解分块矩阵进一步了解分块矩阵进一步了解分块矩阵进一步了解分块矩阵重点学习可逆矩阵重点学习可逆矩阵重点学习可逆矩阵重点学习可逆矩阵 最后对齐次线性方程组解的作了讨论最后对齐次线性方程组解的作了讨论最后对齐次线性方程组解的作了讨论最后对齐次线性方程组解的作了讨论 认识矩阵的秩认识矩阵的秩认识矩阵的秩认识矩阵的秩2.12.1矩阵的基本运算矩阵的基本运算一、矩阵的线性运算一、矩阵的线性运算定义定义2.12.1设矩阵设矩阵A=(a
2、ij)mn ，B=(bij)mn ，l l为给定的数为给定的数（1 1）加法：）加法：C=(aij+bij)为矩阵为矩阵A与与B相加的和，记作相加的和，记作A+B（2）数乘数乘：C=l l(aij)为数为数 l l与矩阵与矩阵A相乘的积，记作相乘的积，记作lA lA 称为数量矩阵称为数量矩阵2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用称矩阵称矩阵(-1)A=(-aij)为矩阵为矩阵A的的负矩阵负矩阵，记为，记为-A矩阵的减法：矩阵的减法
3、：A-B=A+(-B)=(aij-bij)矩阵的线性运算矩阵的线性运算 矩阵的加法矩阵的加法数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用运算规律运算规律（设为（设为A,B,C同型矩阵同型矩阵，k,s,l l为给定的数为给定的数）1)A+B=B+A （交换律）（交换律）2)(A+B)+C=A+(B+C),(ks)A=k(sA)=s(kA)（结合律）（结合律）3)k(A+B)=kA+kB ,(k+s)A=kA+s
4、A（分配律）（分配律）4)A+O=A5)A+(-A)=O6)1A=A；0A=O;l lO O=0 02.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例2.12.1设设且且A-2X=B,求求X2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用二、矩阵的乘法二、矩阵的乘法圆珠笔圆珠笔钢笔钢笔
5、铅笔铅笔九月九月200200100100300300十月十月2202201501502602601矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 引例引例某文化用品商店售圆珠笔、钢笔和铅笔三某文化用品商店售圆珠笔、钢笔和铅笔三种，每种商品的进货单价和数量如下表。种，每种商品的进货单价和数量如下表。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：进货单价进货单价 销售单价销售单价 圆
6、珠笔圆珠笔6 68 8钢笔钢笔9 91212铅笔铅笔3 34 42.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 求每个月的总进货额和总销售额。求每个月的总进货额和总销售额。金额金额月份月份总进货额总进货额总销售额总销售额九月九月十月十月2006+1009+30032008+10012+30042206+1509+26032208+15012+2604经营者提供商品或者
7、服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用矩阵矩阵C C的的第第i行第行第j列的元素列的元素等于矩阵等于矩阵A的第的第i行行的元的元素与矩阵素与矩阵B的第的第j列列的对应元素的对应元素乘积之和。乘积之和。2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 矩阵矩阵C C与与A A、B B之间之间有什么关系？有什么关系？经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定义定义2.22.2设设 A=(aij)ms，B=(bij
8、)sn ，那么称，那么称 C=AB=(cij)mn 为矩阵为矩阵A与与B的乘积的乘积.其中其中2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 由这个定义可知：由这个定义可知：1 1）矩阵）矩阵A、B相乘的条件：矩阵相乘的条件：矩阵A的列数的列数=矩矩阵阵B的行数的行数.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3 3）矩阵乘法法则：）矩阵乘法法则：乘乘积积C的第的第i行第行第j列的元素列的元素Cij等于矩等于矩阵阵A的第的第i行的元素与矩行的元素与矩阵阵B的第的第j列列的的对应对应
9、元素乘元素乘积积之和。之和。2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 2 2）矩阵）矩阵C的行数的行数等于矩阵等于矩阵A的行数的行数，矩阵，矩阵C的列数的列数等于矩阵等于矩阵B的列数的列数。例例2.12.1设设求求AB经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 设设求求AB，BA例例2.22.2注：注：矩阵乘法一般不满足交换律，即矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA.若对若对A、B有有AB=BA，则称，则
10、称A与与B是可交换的是可交换的.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 设设求求AB例例2.32.3注：注：由由AB=0一般不能得到一般不能得到A=0或或B=0.设设求求AB，AC例例2.42.4注：注：若若AB=AC，且，且A0,则一般不能得到则一般不能得到B=C.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用矩阵乘法满足的运算律：矩阵乘法满足的运
11、算律：矩阵乘法满足的运算律：矩阵乘法满足的运算律：2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 1)(AB)C=A(BC)（结律合）（结律合）k(AB)=(kA)B=A(kB)2)A(B+C)=AB+AC（分配律）（分配律）(B+C)A=BA+CA3)设设Amn，则则ImA=AIn=A 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用方阵的幂方阵的幂其中其中k,l为为正整数正整数 设设A是是n阶方阵，阶方阵，k是正整数，是正整数，k个个A连乘称为连乘称为A的的k次幂，记作次幂，记作 A
12、k，即，即相关结论相关结论：2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 一般地一般地约定约定A0=I经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用矩阵的多项式矩阵的多项式 ：2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 例例2.52.5设设求求f(A)且且f(x)=x2-2x+3为为n阶方阵阶方阵A的的m次多项式次多项式经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用用数学
13、归纳法证2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 例例2.6(n为任意自然数）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示系数矩阵系数矩阵：2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 经营者提供商品或者服务有
14、欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.矩阵与初等矩阵的乘积矩阵与初等矩阵的乘积例如：计算下列矩阵与初等阵的乘积例如：计算下列矩阵与初等阵的乘积2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 上述过程也可以等同于：上述过程也可以等同于：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔
15、偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 上述过程也可以等同于：上述过程也可以等同于：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用即：即：E(i,j)A：相当于交换相当于交换A的第的第i行与第行与第j行；行；
16、E(i(k)A：相当于用非零数相当于用非零数k乘矩阵乘矩阵A的第的第i行；行；E(i,j(k)A：相当于相当于A的的第第j行乘行乘k加到第加到第i行行上；上；2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 定理定理2.12.1 设设Amn=(aij)mn,则：则：（1 1）对）对A施行某种施行某种行初等变换行初等变换，相当于对，相当于对A 左乘左乘一个相应的一个相应的m阶阶初等矩阵初等矩阵.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 即：即：AE(i,j)：相当于交换相当于交换A的
17、第的第i列与第列与第j列；列；AE(i(k)：相当于用非零数相当于用非零数k 乘矩阵乘矩阵A的第的第i列；列；AE(i,j(k)：相当于：相当于A的的第第i列乘列乘k加到第加到第j列列上上2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 同理：同理：（2 2）对）对A施行某种施行某种初等列变换初等列变换，相当于，相当于 对对A右乘右乘一个相应的一个相应的n阶阶初等矩阵初等矩阵.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用推论：推论：若若mn矩矩阵A与与B等价等价，则存在若干个存在若干个
18、mm初等矩初等矩阵Pi(i=1,2-,s)和和若干个若干个nn初等矩初等矩阵Qj(j=1,2-,t)使得使得2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用三、矩阵的转置三、矩阵的转置2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 定义定义2.32.3：把把mn矩阵矩阵A的行和列依次互换得到的一个的行和列依次互换得到的一个nm 矩阵，称为矩阵，称为A的转置，记作的转置，记作AT或或A.经营者提供商品或者服务有欺诈行
19、为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 相关性质：相关性质：3.(kA)T=kAT （k为常数）为常数）2.(A+B)T=AT+BT1.(AT)T=A4.(AB)T=BTAT经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 定义定义2.4 2.4 设设A是是n阶方阵，如果阶方阵，如果AT=A，则称，则称A是是对
20、称矩阵对称矩阵；例例2.72.7如果如果AT=-A，则称，则称A是是反对称矩阵反对称矩阵.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 A=(aij)nn为对称阵为对称阵的充要条件是的充要条件是aij=aji(i,j=1,2,n)2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 结论结论 A=(aij)nn为反对称阵为反对称阵的充要条件是的充要条件是aij=aji(i,j=1,2,n)反对称阵的主对角线反对称阵的主对角线上的元素上的元素aii=0(i=1,2,n)经营者提供商品或者服务
21、有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.1 2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 例例2.82.8 设设A、B均是均是n阶对称矩阵，求证阶对称矩阵，求证AB是对称是对称矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是A、B可交换可交换.例例2.9 2.9 设设A是是n阶对称矩阵阶对称矩阵,B是是n阶反对称矩阵阶反对称矩阵，证明证明AB+BA是反对称矩阵是反对称矩阵.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.22.2 分块
22、矩阵分块矩阵2.2 2.2 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念 矩阵的分块就是将矩阵矩阵的分块就是将矩阵A用若干用若干纵线和横线纵线和横线分分成几个小矩阵，每一小矩阵称为成几个小矩阵，每一小矩阵称为A的子块的子块，以，以子块子块为元素为元素的形式上的矩阵，称为的形式上的矩阵，称为分块矩阵分块矩阵。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.2 2.2 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金
23、额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1分块矩阵相加、减分块矩阵相加、减二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算 设设A A、B B是两个用相同方法分块的同型矩阵是两个用相同方法分块的同型矩阵2.2 2.2 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.2.数与分块矩阵相乘数与分块矩阵相乘2.2 2.2 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3分块矩阵相乘
24、分块矩阵相乘设设A=(aij)ms，B=(bij)sn，并作如下分块：，并作如下分块：2.2 2.2 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用分块矩阵相乘的条件：分块矩阵相乘的条件：(1)(1)A分出的列子块数分出的列子块数B分出的行子块数分出的行子块数 (2)(2)A中每一个子块的列数中每一个子块的列数B中相应的子块的行数中相应的子块的行数2.2 2.2 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿
25、的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用分块对角阵乘法：分块对角阵乘法：2.2 2.2 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4分块矩阵的转置分块矩阵的转置2.2 2.2 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.2 2.2 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵例例2.102.10经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到
26、的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.32.3可逆矩阵可逆矩阵2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵引例：电报的发送引例：电报的发送原文原文编码编码Y加密加密YA(=T)电文电文电文电文TTA-1(=Y)原文原文解码解码传送传送编码编码解密解密解码解码经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵比如，原文是比如，原文是“十七时进攻十七时进攻”的明码是的明码是汉字十七时进攻编码 1200 0210 0112 2101 1021这
27、组数字构成的矩阵为这组数字构成的矩阵为借助于一个加密矩阵借助于一个加密矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵汉字货物昨到京编码25200441023544122144经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.32.3可逆矩阵可逆矩阵一、可逆矩阵的概念一、可逆矩阵的概念2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵定义定义2.52.5 设设A 是一个是一个n阶方
28、阵，如果存在阶方阵，如果存在n阶方阶方阵阵B，使得，使得AB=BA=I，则称，则称B是是A的逆矩阵的逆矩阵，记，记作作A-1，这时称，这时称A 为可逆矩阵，简称为可逆阵为可逆矩阵，简称为可逆阵.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用注：注：(1)若矩阵若矩阵A可逆，则其逆矩阵唯一。可逆，则其逆矩阵唯一。2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵(2)A与与B的地位是平等，即当的地位是平等，即当B是是A的逆矩的逆矩 阵时，则阵时，则A也是也是B的逆矩阵，或称互逆。的逆矩阵，或称互逆。(3)并非每个方
29、阵都可逆。并非每个方阵都可逆。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用另外：若方程组AX=B的系数矩阵A为方阵且为方阵且可逆，则X=A-1 B 由逆矩阵的唯一性可知，X=A-1 B为方程组的唯一解 2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵任何初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵仍是初等矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵逆矩阵的性质：逆矩阵的性质：经营者提供
30、商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 定理定理2.2设设A,B都是都是n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则AB可可 逆，且逆，且（AB）-1=B-1A-12.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵推论推论1 若若A和和B是等价是等价的方阵，则它们的的方阵，则它们的可可逆性相同逆性相同 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵例例2.112.11 设设A、B、C为同阶方阵，且为
31、同阶方阵，且A可逆，则：可逆，则：（1)1)AB=AC能否推出能否推出B=C（2)2)AB=CB能否推出能否推出A=C（3)3)AB=0能否推出能否推出B=0（4)4)BC=0能否推出能否推出B=0经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵例例2.122.12 设方阵设方阵A满足满足A2-3A-10I=0，证明，证明 A 和和A-4I均可逆，并求其逆均可逆，并求其逆.例例2.132.13 设方阵设方阵B是幂等阵（是幂等阵（Bn=B），且），且 A=I+B，证明
32、，证明A可逆，且可逆，且A-1=1/2(3I-A).经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用二、可逆矩阵与初等矩阵的关系二、可逆矩阵与初等矩阵的关系引理引理任意一个矩阵任意一个矩阵 A=(aij)mn，都与形如，都与形如2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵的矩阵等价即存在若干个的矩阵等价即存在若干个m阶初等矩阵阶初等矩阵Pi（i=1,2-,s）和）和n阶初等矩阵阶初等矩阵Qj（j=1,2-,t），使得），使得P1P2-PSAQ1Q2-Qt=Er经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者
33、的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定理定理2.3n阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A与单与单位阵等价位阵等价，即：存在若干个初等矩阵，即：存在若干个初等矩阵P1,P2,-Pl，使得使得A=P1P2-Pl2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵推论推论mn矩阵矩阵A与与B等价等价的充要条件是存在的充要条件是存在m阶可逆阵阶可逆阵P和和n阶可逆阵阶可逆阵Q，使得，使得PAQ=B经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.3 2.3 可逆矩阵可
34、逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵推导求逆矩阵的方法：推导求逆矩阵的方法：设设A可逆，可逆，T1T2-Ts A=I T1T2-Ts I=A-1T1T2-Ts(A I)=(I A-1)矩阵矩阵(A I)经过行初等变换经过行初等变换 矩阵矩阵（I A-1）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用强调：强调：变换中只能用变换中只能用行变换行变换，不能用列变换。不能用列变换。2.3 2.3 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵例例2.142.14经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔
35、偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.42.4矩阵的秩矩阵的秩定理定理2.4 对任意矩阵对任意矩阵A=(aij)mn 都有唯一确定的矩阵都有唯一确定的矩阵 2.4 2.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵的标准形一、矩阵的标准形与矩阵与矩阵A等价，以后称等价，以后称Er为为A的标准形。的标准形。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用二、矩阵的秩二、矩阵的秩2.4 2.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩定义定义2.6 非零矩阵非零矩阵A的标准形中非零行的行数称的标准形中非零行的行数称
36、为矩阵为矩阵A的秩的秩，记为，记为R(A)，或秩，或秩(A)另外约定，零矩阵的秩为另外约定，零矩阵的秩为0 0 当当R(A mn)=m时，称矩阵时，称矩阵A mn行满秩矩阵；行满秩矩阵；当当R(A mn)=n时，称矩阵时，称矩阵A mn列满秩矩阵；列满秩矩阵；当当R(A nn)=n时，称矩阵时，称矩阵A nn满秩矩阵；满秩矩阵；经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.4 2.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩定理定理2.52.5设设A、B为同型矩阵，则下列命题等价：为同型矩阵，则下列命题等价：(1)
37、R(A)=R(B)(2)(2)A,B有相同的标准形有相同的标准形(3)AB推论推论1 1n阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A 为满秩矩阵为满秩矩阵推论推论2 2设设P,Q都是满秩矩阵，都是满秩矩阵，则则 R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例2.162.16求证：对任意的矩阵求证：对任意的矩阵A，都有，都有 R(AT)=R(A)2.4 2.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩例例2.15经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要
38、求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.52.5齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论2.5 2.5 齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 这时上述方程组这时上述方程组有无穷多个解有无穷多个解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.5 2.5 齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程
39、组解的讨论齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论 这时上述方程组只这时上述方程组只有零解有零解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用推论推论 若齐次线性方程组的若齐次线性方程组的方程个数小于未知量的个方程个数小于未知量的个数数，则该方程组必有无穷多个解，从而有，则该方程组必有无穷多个解，从而有非零解非零解2.5 2.5 齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论定理定理2.6对于本节齐次线性方程组，有以下结论：（1）若R(A）=rn，则方程组有 n-r
40、 个自由未知量，从而有无穷多个解，因此有非零解有非零解；（2）若R(A）=r=n，则方程组只有有零解零解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例2.172.17 求如下齐次线性方程组的解求如下齐次线性方程组的解.2.5 2.5 齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.5 2.5 齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论
41、齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论由于由于r=3n=5,所以有无穷多解所以有无穷多解.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.5 2.5 齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论齐次线性方程组解的讨论经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.62.6应用举例应用举例一、密码问题一、密码问题 某种明码电报的编码是用四个阿拉伯数字表示一个汉字某种明码电报的编码是用四个阿拉伯数字表
42、示一个汉字比如，原文是比如，原文是“十七时进攻十七时进攻”的明码是的明码是 汉字十七时进攻编码 1200 0210 0112 2101 10212.6 2.6 应用举例应用举例应用举例应用举例经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.6 2.6 应用举例应用举例应用举例应用举例经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用汉字货物昨到京编码 2520 0441 0235 4412 21442.6 2.6 应用举例应用举例
43、应用举例应用举例经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.6 2.6 应用举例应用举例应用举例应用举例原文原文编码编码Y加密加密YA(=T)电文电文电文电文TTA-1(=Y)原文原文解码解码传送传送编码编码解密解密解码解码经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用汉字十七时进攻编码 1200 0210 0112 2101 1021经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的
44、金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用作作 业业P40P40页页1.2.4.8.1.2.4.8.P41P41页页5.7.5.7.P41P41页页9.10.13.9.10.13.P41P41页页15.17(2)(3).19(2).15.17(2)(3).19(2).经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用选择题选择题 1.已知已知A、B为为n阶方阵，则下列性质正确的是（阶方阵，则下列性质正确的是（）(A)AB=BA (B)(A+B)T=AT+BT (C)(A+B)-1=A-1+B-1 (D)A2-B2=
45、(A+B)(A-B)B2.设设A、B、C为为n阶方阵，且满足关系式阶方阵，且满足关系式ABC=I，则必，则必 有（有（）（A）ACB=I（B）CBA=I C）BAC=I （D）BCA=ID3.3.设设n阶方阵阶方阵A，如果与所有的，如果与所有的n阶方阵阶方阵B都可以交换，都可以交换，即即AB=BA，那么，那么A必定是（必定是（）（A A）可逆矩阵）可逆矩阵 （B B）数量矩阵）数量矩阵 （C C）单位矩阵）单位矩阵 （D D）反对称矩阵）反对称矩阵B经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.两个两个n阶
46、初等矩阵的乘积为（阶初等矩阵的乘积为（）（A）初等矩阵）初等矩阵 （B）单位矩阵）单位矩阵 （C）可逆矩阵）可逆矩阵 （D）不可逆矩阵）不可逆矩阵C5.5.设设A、B均为均为n阶方阵，下列情况下能推出阶方阵，下列情况下能推出A是单是单 位矩阵的是位矩阵的是 （）（A A）AB=B （B B）AB=BA（C C）AA=I （D D）A-1=ID6.6.设设A为为3434矩阵，若矩阵矩阵，若矩阵A的秩为的秩为2 2，则矩阵，则矩阵-3AT 的秩等于（的秩等于（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4B经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增
47、加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用7.已知已知A为为n阶可逆方阵，则下列不正确的是（阶可逆方阵，则下列不正确的是（）（A）A-1可逆可逆 （B）I+A可逆可逆（C）-2A可逆可逆 （D）A2可逆可逆B经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用计算题计算题 1.1.给定矩阵给定矩阵 求求BTA及及A-1经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.2.求解下面矩阵方程中的矩阵求解下面矩
48、阵方程中的矩阵X：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 3.3.设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵B，使其满足矩阵方程，使其满足矩阵方程AB=A+2B 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.4.设设A为为n阶方阵，阶方阵，A1为为r阶子方块，阶子方块，A1、A4为可逆为可逆 矩阵，求矩阵，求A-1.其中其中经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用