《清华大学--自动控制原理简明教程3.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清华大学--自动控制原理简明教程3.ppt（112页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法3.1 3.1 系统时间响应性能指标系统时间响应性能指标3.2 3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3.3 3.3 二二阶系统的时域分析阶系统的时域分析3.4 3.4 高高阶系统的时域分析阶系统的时域分析3.5 3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析3.6 3.6 线性系统的稳态误差分析线性系统的稳态误差分析1自动控制原理课程的任务与体系结构自动控制原理课程的任务与体系结构(1)直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；(2)可以提供系统时间响应的全部信息；可以提供系统时间
2、响应的全部信息；(3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。时域分析法是最基本的分析方法时域分析法是最基本的分析方法,学习复域法、频域学习复域法、频域法的基础。法的基础。3 3.1 系统时间响应性能指标系统时间响应性能指标3.1.1 3.1.1 典型输入信号典型输入信号4u动态过程动态过程：系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程，又称过过渡过程渡过程或瞬态过程瞬态过程。u稳态过程稳态过程：系统在典型输入信号作用下，当时间 t 趋于无穷时，系统输出量的表现方式，又称稳态响应稳态响应。3.1.2 3.1.2 动态过程与稳态过程动态过程与稳态
3、过程53 3.1.1.3 3 动态性能与稳态性能动态性能与稳态性能u控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。u通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。u 动态性能：在零初始条件下，给系统一单位阶跃输入，其输出为单位阶跃响应，记为h(t)。将h(t)随时间变化状况作为指标，一般称为系统的动态性能指标。6时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%调节时间调节时间ts单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线允许偏差允许偏差5%5%或或2%C()2%C()B动态性能指标定义动态性能指标定义17(1)延迟时间延迟时间td：响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。：
4、响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。(2)上升时间上升时间tr：响应从终值响应从终值10%上升到终值上升到终值90%所需时间；所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量，时间。上升时间是响应速度的度量，tr小，小，表明系统动态表明系统动态响应快响应快。(3)峰值时间峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。(4)调节时间调节时间ts：响应到达并保持在响应到达并保持在稳态值的稳态值的5%（或（或2%）误差范围内）误差范围内所需的最短时间。所需的最短时
5、间。ts小，小，表示系统动态表示系统动态响应过程短，响应过程短，快速性好。快速性好。(5)超调量超调量%：响应的最大偏离量响应的最大偏离量h(tp)与终值与终值h()之差的百之差的百分比，即分比，即 1.1.动态性能指标动态性能指标动态性能指标动态性能指标8trtpAB%=100%BAts动态性能指标定义动态性能指标定义29上升时间上升时间tr调节时间调节时间 ts动态性能指标定义动态性能指标定义310u控制系统的稳态性能是指其稳态精度，用稳态误差ess来表述。u稳态误差ess是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，是指t时，输出量与期望输出的偏差。uess小，说明系统稳态精度高。u一个系统的稳
6、态性能是以系统响应某些典型输入信号时的稳态误差来评价。2.2.稳态性能稳态性能稳态性能稳态性能113 3.2.2.1 1 一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型q 将微分方程为将微分方程为 ，传递函数为，传递函数为 的系统叫做一阶系统。的系统叫做一阶系统。T的含义随系统的不同而不同。的含义随系统的不同而不同。R i(t)CR(s)C(s)E(s)(-)1/Ts传递函数传递函数:结构图结构图：微分方程：微分方程：控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统一阶系统。如如RC电路电路:3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析12输入输入r(t)=1(t)，
7、输出输出 3.2.2 3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 j 0P=-1/TS平面平面 零极点分布零极点分布 h(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为初始斜率为1/T h(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线特点：特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2）初始斜率为）初始斜率为1/T；3）无超调；稳态误差无超调；稳态误差ess=0。性能指标：性能指标：延迟时间：延迟时间：td=0.69T 上升时间：上升时间：tr=2.20T 调节时间：调节时间：ts=3T(=0.
8、05)或或 ts=4T(=0.02)13输入输入 r(t)=(t)，输出输出 3.2.3 3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率为初始斜率为0.368/T0.05/T0k(t)单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线特点：特点：1)可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2)初始斜率为初始斜率为-1/T2；3)无超调；稳态误差无超调；稳态误差ess=0。14 输入输入r(t)=t，输出输出 3.2.4 3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应特点：特点：1)响应是一条由零开始逐
9、渐变为响应是一条由零开始逐渐变为 等速变化的曲线等速变化的曲线;2)稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存在跟踪误差，其数值与时间即存在跟踪误差，其数值与时间T相等相等;3)稳态误差稳态误差ess=T，初始斜率，初始斜率=0，稳态输出斜率，稳态输出斜率=1。15 跟踪误差：跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。q 结论结论 一阶系统的典型响应与时间常数一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时
10、间常数密切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。线线性性系系统统对对输输入入信信号号导导数数的的响响应应，等等于于系系统统对对输输入入信信号号响响应的导数。应的导数。3.2.5 3.2.5 一阶系统的单位加速度响应一阶系统的单位加速度响应16 3.2.3 一阶系统的典型响应 r(t)R(s)C(s)=F(s)R(s)c(t)一阶系统典型响应 d(t)1 1(t)t17 线性定常系统的重要特性线性定常系统的重要特性所以速度、阶跃、脉冲信
11、号之间有如下关系：所以速度、阶跃、脉冲信号之间有如下关系：过渡过程之间有如下关系：过渡过程之间有如下关系：因为因为18 (1)与标准形式对比得：与标准形式对比得：T=1/10=0.1s，ts=3T=0.3s 例例:某一阶系统如图某一阶系统如图,（1）求调节时间求调节时间ts,（2）若要求若要求 (2)要求要求ts=0.1s，即即3T=0.1s,即即 ,得得 0.1C(s)R(s)E(s)100/s(-)ts=0.1s,求反馈系数求反馈系数 Kh。解题关键：解题关键：化闭环传递函数为标准形式。化闭环传递函数为标准形式。Kh解：解：19 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析二阶系统二阶系统
12、：以：以二阶微分方程二阶微分方程作为运动方程的控制系统。作为运动方程的控制系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件。二阶系统的二阶系统的研究意义研究意义 现实中存在大量的系统，它们本身就属于二阶系统。大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化 为二阶系统，以便于系统的分析与设计。在校正系统时，往往把系统设计成一个二阶系统。分析和理解高阶系统动态响应的基础。单自由度机械振动系统单自由度机械振动系统例例电枢控制直流电动机系统电枢控制直流电动机系统20F y(t)k fm单自由度机械振动系统单自由度机械振动系统电枢控制直流电动机系统电枢控制直
13、流电动机系统21两边取拉氏变换，有两边取拉氏变换，有 标准形式标准形式 3.3.1 3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型标准形式的二阶系统的微分方程的表达式为标准形式的二阶系统的微分方程的表达式为 传递函数为传递函数为无阻尼自然振荡频率（或自然频率）（符合物理概念，具有明无阻尼自然振荡频率（或自然频率）（符合物理概念，具有明 显的物理意义）显的物理意义）阻尼比（或阻尼系数）阻尼比（或阻尼系数）时间常数时间常数 是系统的是系统的基本参数基本参数，不是系统的，不是系统的性能指标性能指标；二阶系统；二阶系统的动态特性，可以用的动态特性，可以用 和和 这两个参数加以描述。这两个参数加以描述
14、。令令 ，上式成为，上式成为22根据以上二阶系统的标准形式，相应的方块图如图根据以上二阶系统的标准形式，相应的方块图如图标准形式的二阶系统的开环传递函数为标准形式的二阶系统的开环传递函数为系统的系统的特征方程及特征根（即系统的闭环极点）可求得特征方程及特征根（即系统的闭环极点）可求得二阶系统的特征方程二阶系统的特征方程二二阶阶系系统统的特征根的特征根R(s)C(s)(-)标准形式标准形式23二阶系统的特征根,两个正实部的特征根，系统发散,闭环极点为一对共轭复根，位于左半s平面,两个相等的负实根,两个不相等的负实根,虚轴上，一对纯虚根 24 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 其根决定了系统的响
15、应形式。其根决定了系统的响应形式。其输出的拉氏变换为其输出的拉氏变换为 单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。二阶系统特征方程二阶系统特征方程25极点在s平面上的分布1.过阻尼过阻尼过阻尼过阻尼二阶系统二阶系统 （1）26稳态分量暂态分量（两项衰减的指数项构成）0tc(t)127极点在s平面上的分布衰减快基本由s1决定 当 时，输出响应为一条 单调上升曲线（无振荡）；当 时，二阶系统的响 应可近似为一阶系统的响应；实际工程中，当 时，可将此二阶系统视为一阶系统；0tc(t)1 分析分析 当 增加时系统的响应减慢。282.欠阻尼欠
16、阻尼欠阻尼欠阻尼二阶系统二阶系统 (0 1)0s29sin(+)=sincos+cossin稳态分量暂态分量（指数项与正弦项构成）（二阶系统欠阻尼时，特征根在s平面 上的特征向量与负实轴的夹角）0s30 分析分析 当当 时，暂态分量衰减振荡到零，稳态分量为时，暂态分量衰减振荡到零，稳态分量为1 1；tc(t)=0.3=0.6 衰减的速度由闭环特征根的实部决定（衰减的速度由闭环特征根的实部决定（）；）；振振荡荡的的频频率由率由闭环闭环特征根的虚部决定特征根的虚部决定（）。当当 时，二阶系统时，二阶系统 单位阶跃响应的暂态分量单位阶跃响应的暂态分量 （第二项（第二项 ）是一振）是一振 幅按指数衰减
17、的简谐振荡的幅按指数衰减的简谐振荡的 时间函数；时间函数；31极点在s平面上的分布3.无阻尼无阻尼无阻尼无阻尼二阶系统二阶系统 （=0）32 分析分析 记住一个概念，若共轭复数极点在虚轴上，系统处于一种临界稳定状态（既不发散也不衰减）；实际控制系统通常有一定的阻尼 比，故不可能通过实验方法测得 ，只能测得 ,且 。c(t)t 当 时，输出响应为一条等 幅振荡曲线，振荡频率为 （无阻尼自然振荡频率，具有 明显的物理意义）；33 分析分析极点在s平面上的分布01tc(t)当 时，二阶系统的单位阶跃响应 是稳态值为1的无超调单调上升过程，它与 时的响应曲线很相似，是一 种刚要振荡而又没有振荡的临界情
18、况。4.临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼二阶系统（二阶系统（=1）34由图可见：由图可见：值越大，值越大，系统的平稳性越好，系统的平稳性越好，超调越小；超调越小；值越小，输出响应振荡越强，值越小，输出响应振荡越强，振荡频率越高。振荡频率越高。当当=0时，系统输出为等幅振荡，不能正常工作，属不稳定时，系统输出为等幅振荡，不能正常工作，属不稳定01时，有振荡，时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快，愈小，振荡愈严重，但响应愈快，1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；时，无振荡、无超调，过渡过程长；以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图012345678910111
19、2 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.035F ，系统为过阻尼状态，在 增加时 系统的响应减慢。F ，系统为欠阻尼振荡状态，增 加，将减小系统的振荡，减小超调量；但上升 时间、调节时间加大。F ，系统为无阻尼状态，输出为正弦 曲线，系统处于临界稳定状态。F ，系统为临界阻尼状态，是振荡与 不振荡的分界线。总结总结F 当自然频率 增加时，系统的响应速度加快，但是系统响应的峰值保持不变，超调量由阻尼系 数唯一确定。36 单位单位阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。阶跃响应从零第一次升到稳态所需
20、的的时间。1.动态性能指标计算动态性能指标计算 上升时间上升时间 tr单位阶跃响应单位阶跃响应即即得得3.3.33.3.3 欠阻尼二阶系统的动态性能指标欠阻尼二阶系统的动态性能指标其中其中 37欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线如下图欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线如下图 p38 单位单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。峰值时间峰值时间 tp由由得得39单位单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。超调量超调量%由由得得根据40 单位单位阶跃响应进入阶跃响应进入 误差带的最小时间。误差带的最小时间。调节时间
21、调节时间 ts有有根据定义根据定义 因因则则 欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图：欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图：c(t)t01包络线包络线 工程上通常用工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。包络线代替实际曲线来估算。（=2%时）时）(=5%)4142振荡次数振荡次数NN响应曲线在响应曲线在 0 0 时间内波动的次数称为振荡次数。时间内波动的次数称为振荡次数。式中式中 称为系统的阻尼振荡周期。称为系统的阻尼振荡周期。振荡次数只与阻尼比振荡次数只与阻尼比 有关。有关。42 二阶系统时域指标小结二阶系统时域指标小结2)峰值时间峰值时间tp：3)最大超调量最大超调量%：4)调节时间调节时间ts：1)
22、上升时间上升时间tr：二阶系统极点二阶系统极点与参数关系图与参数关系图 0s43总结：总结：各性能指标之间是有矛盾的。各性能指标之间是有矛盾的。(1)n 一定，使一定，使tr tp 使使 ts (一定范围一定范围)必须必须必须必须必须(2)一定，使一定，使 tr tp ts n (3)只由只由 决定决定必有必有44(1)平稳性平稳性主要由主要由决定决定u越大，越大，%越小，越小，平稳性越好；平稳性越好；u=0时，系统等幅振荡，不能稳定工作。时，系统等幅振荡，不能稳定工作。(2)快速性快速性 ln一定时，一定时，越小，越小，ts越大；越大；l过大时，系统响应迟钝，调节时间过大时，系统响应迟钝，调
23、节时间ts也长，快速性差。也长，快速性差。2.结构参数结构参数、n对单位阶跃响应性能的影响对单位阶跃响应性能的影响45v 在控制工程中，在控制工程中，是由对超调量的要求来确定的；是由对超调量的要求来确定的；v 通常根据允许的最大超调量来确定通常根据允许的最大超调量来确定；v一般选择在一般选择在0.40.8之间，然后再调整之间，然后再调整n以获得合适的以获得合适的瞬态响应时间；瞬态响应时间；v=0.707，调节时间最短，快速性最好，而超调量，调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，故称，平稳性也好，故称=0.707为最佳阻尼比为最佳阻尼比。46R(s)(-)C(s)化为标准形式化为
24、标准形式即有即有 2 n=1/Tm=5,n2=K/Tm=25解：解：系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为解得解得 n=5，=0.5例例1：已知图中：已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应动态指标。求系统单位阶跃响应动态指标。47C(s)R(s)。K ,1%3.16 c(t),2：p之值之值及内反馈系数及内反馈系数益益试确定前置放大器的增试确定前置放大器的增秒秒峰值时间峰值时间和和调量调量有超有超具具阶跃响应阶跃响应要求该系统的单位要求该系统的单位如图所示如图所示已知某控制系统方框图已知某控制系统方框图例例t t=pt解：解：由已知由已知p和和tp计算出二阶系统的参数计算出二阶系统的参
25、数及及n4849例例3：设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试：设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。确定其开环传递函数。解解：图图示示为为一一欠欠阻阻尼尼二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线。由由图图中中给给出出的的阶阶跃跃响响应应性性能能指指标标，先先确确定定二二阶阶系系统统参参数数，再再求求传传递函数。递函数。0t(s)11.30.1h(t)50513.3.43.3.4 过阻尼二阶系统的动态性能指标过阻尼二阶系统的动态性能指标3.3.53.3.5 二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应自学52535455 3.4 高阶系统
26、的时域分析高阶系统的时域分析 对于三阶及三阶以上的系统，通常称为高阶系统。对于三阶及三阶以上的系统，通常称为高阶系统。其传递函数的一般表达式为其传递函数的一般表达式为3.4.13.4.1 高阶系统单位阶跃响应高阶系统单位阶跃响应假设系统极点互不相同假设系统极点互不相同R(s)=1/s一阶系统响应函数一阶系统响应函数二阶系统响应函数二阶系统响应函数56(1)(1)如果所有闭环极点都在如果所有闭环极点都在 s 平面的左半平面，则随着时间平面的左半平面，则随着时间t，c()=a，系统是稳定的；系统是稳定的；(2)(2)极点的性质决定瞬态分量的类型；极点的性质决定瞬态分量的类型；实数极点实数极点非周期
27、瞬态分量非周期瞬态分量 共轭复数极点共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量阻尼振荡瞬态分量（衰减系数（衰减系数pj、k k）系统极点分布对时域响应的影响系统极点分布对时域响应的影响(3)(3)极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快 慢，距离越远衰减越快。慢，距离越远衰减越快。5758 系统零点分布对时域响应的影响系统零点分布对时域响应的影响(1)系统零点影响各个瞬态分量的相对强度，如果在某一极系统零点影响各个瞬态分量的相对强度，如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近
28、的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。(2)如果闭环零点和极点的距离比其模值小如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级一个数量级，则，则该极点和零点构成一对该极点和零点构成一对偶极子偶极子，可以对消，称之为，可以对消，称之为偶极偶极子相消子相消。59 主导极点：主导极点：假若距虚轴假若距虚轴较远的闭环极点的实部与距虚较远的闭环极点的实部与距虚轴最近的闭环极点的实部的比轴最近的闭环极点的实部的比值大于或等于值大于或等于5 5，且在距虚轴，且在距虚轴最近的闭环极点附近不存在闭最近的闭环极点附近不存在闭环零点。这个离虚轴最近的闭环零点。这个离虚轴最近
29、的闭环极点将在系统的过渡过程中环极点将在系统的过渡过程中起主导作用，称之为起主导作用，称之为闭环主导闭环主导极点极点。高阶系统，如果能够找高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶极子的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。或二阶系统进行处理。3.4.23.4.2 高阶系统闭环主导极点高阶系统闭环主导极点60三阶系统三阶系统三阶系统三阶系统二阶系统二阶系统二阶系统二阶系统例：求系统单位阶跃响应。例：求系统单位阶跃响应。-6061C(t)=Ae-at零零极点分布图：极点分布图：(s)=传递函数：传递函数：AS+
30、a0-aj0零极点对系统的影响小结零极点对系统的影响小结运动模态1C(t)=Ae-atsin(bt+)零零极点分布图：极点分布图：t(s)=传递函数：传递函数：A1s+B1(S+a)2+b2运动模态20-ajb0C(t)=Asin(bt+)零零极点分布图：极点分布图：t(s)=传递函数：传递函数：A1s+B1 S2+b2运动模态30jb0运动模态4C(t)=Aeatsin(bt+)零零极点分布图：极点分布图：t(s)=传递函数：传递函数：A1s+B1(S-a)2+b20ajb0C(t)=Aeat零零极点分布图：极点分布图：t(s)=传递函数：传递函数：AS-a0aj0运动模态5运动模态总结运动
31、模态总结 j0j0j0j0j0 3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 3.5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念u 稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。u 稳定性稳定性：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。则系统是稳定的；否则，系统不稳定。若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的若线性系统在初始扰动的影响下，其动
32、态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳渐近稳定定，简称，简称稳定稳定；若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随；若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。时间的推移而发散，则称系统不稳定。根据李雅普诺夫稳定性理论，线性系统的稳定性表述为：根据李雅普诺夫稳定性理论，线性系统的稳定性表述为：注意注意：控制系统的稳定性是系统自身的固有特性，只由系统：控制系统的稳定性是系统自身的固有特性，只由系统结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。大范围稳定系统大范围稳定系
33、统 小范围稳定系统小范围稳定系统u 稳定的线性系统，在大范围内和小范围内都能稳定。稳定的线性系统，在大范围内和小范围内都能稳定。68稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统 不稳定系统不稳定系统 稳定系统稳定系统 B69 设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号(t)到一线性系统，到一线性系统，系统的输出为脉冲响应系统的输出为脉冲响应k(t)。这相当于给系统加了一扰动信号。这相当于给系统加了一扰动信号。若若 ，则系统稳定。，则系统稳定。3.5.2 线性系统稳定的充分必要条件线性系统稳定的充分必要条件即输出增量收敛于原平衡工作点，线性系统是稳定的。即输出增量收敛于
34、原平衡工作点，线性系统是稳定的。闭环传递函数闭环传递函数70 设设:其中其中si为特征方程的根。为特征方程的根。对上式求拉氏反变换，对上式求拉氏反变换，得系统输出响应为得系统输出响应为71u 其中，第一项为由输入引起的输其中，第一项为由输入引起的输出稳态分量，其余各项为系统输出的出稳态分量，其余各项为系统输出的瞬态分量；瞬态分量；u 显然，一个稳定的系统，其输出显然，一个稳定的系统，其输出瞬态分量应均为瞬态分量应均为0。由上式可知，要。由上式可知，要做到这一点，做到这一点，必须满足必须满足 。即即 Resi02)赫尔维茨行列式全部为正，即赫尔维茨行列式全部为正，即q已经证明，在特征方程各项系数
35、大于已经证明，在特征方程各项系数大于零时，赫尔维茨行列式全为正，则赫尔零时，赫尔维茨行列式全为正，则赫尔维茨偶次行列式必全为正；反之亦然维茨偶次行列式必全为正；反之亦然（李纳德（李纳德-戚帕特稳定判据）。戚帕特稳定判据）。1.赫尔维茨（赫尔维茨（Hurwitz）稳定判据）稳定判据75 劳斯表制作方劳斯表制作方法法设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：a0sn+a1sn-1+.+an-1s+an=0 根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表:2.劳斯（劳斯（Routh）稳定判据）稳定判据 前两行第一列元素与前两行后一列元素构成的行列式前两行第一列元素与前两行
36、后一列元素构成的行列式 上一行第一列元素上一行第一列元素76 当劳斯表中第一列的所有数都当劳斯表中第一列的所有数都大于零大于零时，系统时，系统稳定稳定；反之，；反之，如果第一列出现如果第一列出现小于零小于零的数时，系统就的数时，系统就不稳定不稳定。第一列各系数符。第一列各系数符号的改变号的改变次数次数，代表特征方程的正实部根的，代表特征方程的正实部根的个数个数。劳斯稳定判据劳斯稳定判据u 第一列符号改变次数第一列符号改变次数=系统特征方程含有正实部根的个数系统特征方程含有正实部根的个数控制系统稳定的充分必要条件：控制系统稳定的充分必要条件：劳斯阵列第一列元素不改变符号。劳斯阵列第一列元素不改变
37、符号。注：通常注：通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为：因此，劳斯稳定判据可以简述为：劳斯阵列表中第一列的各数均劳斯阵列表中第一列的各数均大于零，大于零，系统系统稳定稳定。第一列元素若变号系统不稳定第一列元素若变号系统不稳定!第一列元素变号的第一列元素变号的次数次数为特征根在为特征根在s右半平面的右半平面的个数个数!771234500解：解：列出劳斯表列出劳斯表第一列数据不同号，系统不稳定性。第一列数据不同号，系统不稳定性。变号二次有二个根在变号二次有二个根在 S 右右半平面。半平面。例例3.5.2：设系统特征方程为：设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0;试用劳斯稳试用劳斯
38、稳定判据判别系统稳定性。定判据判别系统稳定性。改变符号二次改变符号二次781 1.劳斯表中某行的第一列项为零，而其余各项不为零，或不劳斯表中某行的第一列项为零，而其余各项不为零，或不全为零全为零 3.5.4 劳斯劳斯稳定判据的稳定判据的两种特殊情况两种特殊情况D(s)=s3-3s+7=0劳斯表劳斯表103779方法一 用因子（s+a）乘以原特征方程。再对新的特征方程应用劳斯稳定判据方法方法二二 ：用一个足够小的正数：用一个足够小的正数 代替为零的项，然后继代替为零的项，然后继 续计算劳斯表余下系数。续计算劳斯表余下系数。80例例3.5.4：设系统特征方程为：设系统特征方程为s6+2s5+3s4
39、+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-82 41 2 第一列出现零元素时，第一列出现零元素时，用正无穷小量用正无穷小量代替。代替。71 2 7 -87一行可同乘以或同除以某正数一行可同乘以或同除以某正数变号系统不变号系统不稳定稳定2+800解：解：812.劳斯表中出现全零行劳斯表中出现全零行u计算劳斯表时，某一行各项全为零。计算劳斯表时，某一行各项全为零。这表明特征方程具这表明特征方程具有对称于原点的根。有对称于原点的根。u解决方法解决方法：将全：将全0行的上一
40、行的各项构成一个辅助多项式行的上一行的各项构成一个辅助多项式（其阶次总是偶数），对辅助多项式各项对（其阶次总是偶数），对辅助多项式各项对s求导后所得求导后所得的系数代替全部为零行的各项，继续计算余下各行。的系数代替全部为零行的各项，继续计算余下各行。u这些对称于原点的根可由令辅助多项式等于零构成的辅这些对称于原点的根可由令辅助多项式等于零构成的辅助方程求得。助方程求得。82例例3.5.5：已知：已知 ，判定系统的稳定性。判定系统的稳定性。求导求导辅助方程辅助方程由辅助方程求得根：由辅助方程求得根：4100可知闭环系统有位于虚轴上的根。可知闭环系统有位于虚轴上的根。所以系统不稳定。但第一列元素未
41、所以系统不稳定。但第一列元素未改变符号，所以系统没有位于改变符号，所以系统没有位于S右半右半平面的根。平面的根。解解：劳劳 斯斯 表表83劳劳 斯斯 表表0041-3-1.5-400辅助方程辅助方程1-2-7-41-3-400-6-4-16.7-4s0s3s4s5s6s1s2改改变变符符号号一一次次系统不稳定，且有一个正实部根。系统不稳定，且有一个正实部根。由辅助方程求得根：由辅助方程求得根：例例3.5.6：设系统特征方程为：设系统特征方程为：判定系统的稳定性。判定系统的稳定性。解：解：直接解特征方程可的特征根：直接解特征方程可的特征根：，84(1)判定控制系统的稳定性判定控制系统的稳定性(2
42、)分析系统参数变化对稳定性的影响分析系统参数变化对稳定性的影响(3)确定系统的相对稳定性确定系统的相对稳定性(4)结构不稳定系统及其改进措施结构不稳定系统及其改进措施 3.5.5 劳斯劳斯稳定判据的稳定判据的应用应用85z 分析系统参数变化对稳定性的影响分析系统参数变化对稳定性的影响解：解：特征方程特征方程S3 T1T2 1S2 T1+T2 kS1 0S0 k 0为为稳定条件稳定条件+例例3.5.7：试确定系统稳定的开环放大系数：试确定系统稳定的开环放大系数k的取值范围。的取值范围。(K0)86z 检验稳定裕量检验稳定裕量 （1）判判断断原原系系统统是是否否稳稳定定。只只有有原原系系统统稳稳定
43、定时时,才才有有检检验验稳定裕度的必要。稳定裕度的必要。检检验验系系统统的的稳稳定定裕裕量量，即即检检验验系系统统的的相相对对稳稳定定性性，采采用以下方法：用以下方法：（3）利利用用代代数数判判据据对对新新的的特特征征方方程程进进行行稳稳定定性性判判别别。如如新新系系统统稳稳定定,则则说说明明原原系系统统特特征征所所有有根根均均在在新新虚虚轴轴之之左左,原原系系统统具具有有稳稳定定裕裕量量。否则否则,不具有稳定裕量不具有稳定裕量 （2）将将s平平面面的的虚虚轴轴向向左左移移动动某某个个数数值值,即即令令s=z-(为为正正实实数数）,代代入入系系统统特特征征方方程程,则则得得到到关关于于z的的特
44、征方程。特征方程。87例例3.3.5.85.8：某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统：某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统 能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K K的范围。的范围。解：解：依题意有依题意有系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系 特征方程特征方程S2 1 9(1-k)S1 9k-6 S0 9(1-k)88例例3.3.5.95.9：系统结构：系统结构如图如图，(1)确定使系统稳定的参数确定使系统稳定的参数(K,x x)的范围；的范围；(2)当当x x=2时，确定使全部极点均位
45、于时，确定使全部极点均位于s=-1之左的之左的K值范围。值范围。解：解：(1)89(2)当当 x x=2 时，进行平移变换时，进行平移变换：90 小结小结 (1)(1)系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型、形式无关。系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型、形式无关。(2)(2)闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。闭环零点影响系数闭环零点影响系数C Ci i ，只会，只会改变动态性能。改变动态性能。闭闭环环极极点点决决定定稳稳定定性性，也也决决定定模模态态，同同时时影影响响稳稳定定性性和动态性能。和动态性能。(3)(3)闭环系统的稳定性
46、与开环系统稳定与否无直接关系。闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系。913-5 线性系统的稳态误差分析线性系统的稳态误差分析u 稳稳态态误误差差是是系系统统的的稳稳态态性性能能指指标标，是是对对系系统统控控制制精精度度的度量；的度量；u 对对稳稳定定的的系系统统研研究究稳稳态态误误差差才才有有意意义义，所所以以计计算算稳稳态态误差应以系统稳定为前提。误差应以系统稳定为前提。本节只讨论系统由于结构、输入作用和类型所产生的本节只讨论系统由于结构、输入作用和类型所产生的稳态误差，即稳态误差，即原理性误差原理性误差，不考虑由于非线性因素引起的，不考虑由于非线性因素引起的系统稳态误差系统稳态误差
47、（附加稳态误差或结构性稳态误差）。（附加稳态误差或结构性稳态误差）。通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为称为无差系统无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系有差系统统。92E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)按输入端定义的误差按输入端定义的误差 E(s)误差（偏差），可以量测。误差（偏差），可以量测。按输出端定义的误差按输出端定义的误差 由图所示，误差定义有两种方式：由图所示，误差定义有两种方式：系统输出量的希望值与实际值系统输出量的希望值与实际值之差之差R(s)-C(sR(s)
48、-C(s)，无法量测，无法量测，只有数学意义。只有数学意义。单位反馈时两种定义相同单位反馈时两种定义相同两种定义误差方法，存在内在联系。两种定义误差方法，存在内在联系。3.6.1 误差与稳态误差误差与稳态误差93 根据根据终值定理终值定理 使用该公式应满足使用该公式应满足sE(s)在在s右半平面及虚轴上解析的条件，即右半平面及虚轴上解析的条件，即 sE(s)的极点的极点均位于均位于s左半平面。当左半平面。当sE(s)在坐标原点具有极点在坐标原点具有极点 时，虽不满足虚轴上解析的条时，虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正巧与实际应有的结果一致，因此实际应用时件，但使用后所得无穷大
49、的结果正巧与实际应有的结果一致，因此实际应用时 可用此公式。可用此公式。误差传递函数误差传递函数为为R(s)E(s)N(s)C(s)H(s)G2(s)G1(s)B(s)(-)误差信号误差信号e(t)中，包含瞬态分量中，包含瞬态分量ets(t)和稳态分量和稳态分量ess(t)，系统必须稳，系统必须稳定，当时间趋于无穷时，必有定，当时间趋于无穷时，必有ets(t)趋于零。控制系统的趋于零。控制系统的稳态误差稳态误差定义为定义为误差信号误差信号e(t)的稳态分量的稳态分量 ，简记为，简记为ess。系统的稳态误差除了与系统的稳态误差除了与系统本身的结构和参数系统本身的结构和参数有关外，还与系统输入有关
50、外，还与系统输入信号的形式和大小有关。信号的形式和大小有关。94控制系统按控制系统按的不同值可分为：的不同值可分为：当当=0时，系统是时，系统是0型系统；型系统；当当=1时，系统是时，系统是型系统；型系统；当当=2时，系统是时，系统是型系统。型系统。一般情况下，分子阶次为一般情况下，分子阶次为m，分母阶次为，分母阶次为n的开环传递函的开环传递函数可表示为：数可表示为：K为开环为开环放大系数放大系数 为积分为积分环节个数环节个数 3.6.2 系统的类型系统的类型i、Ti为时为时间常数间常数95q 显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次阶次、开环、