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1、蚌埠学院 高等数学同济大学同济大学 第五版第五版制作制作：蚌埠学院蚌埠学院 张裕生张裕生 张迎秋张迎秋第一章第一章第一章第一章 函数与极限函数与极限函数与极限函数与极限12/29/20221蚌埠学院 高等数学微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹同时发现了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。12/29/20222蚌埠学院 高等数学二、常量与变量二、常量与变量 一、一、集合集合三、函数
2、三、函数 第一章 12/29/20223蚌埠学院 高等数学一一、集合集合1.集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。一般用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d 表示集合中的元素。12/29/20224蚌埠学院 高等数学集合的表示方法：(1)列举法：把集合的全体元素一一列举出来。(2)描述法：若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为 M=x|x具有性质P 例如 A=(x,y)|x,y为实数,x 2+y 2=1 12/29/20225蚌埠学院 高等数学 元素
3、为实数的集合称为数集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+N 全体自然数集，Z 全体整数的集，Q 全体有理数的集，R 全体实数的集，N+全体正自然数集。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。12/29/20226蚌埠学院 高等数学元素与集合的关系：集合与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作 。注：。如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相 等，记作 若有 且 则称 A 是 B 的真子集。一个特殊集合：空集 ，。12/29/20227蚌埠学院 高等数学2集合的运算 全集记为 I 或 E 并集 ：交集 ：差集 ：的补集（余集）：12/29/2022
4、8蚌埠学院 高等数学集合的并、交、余运算满足下列法则：(1)交换律：(2)结合律：(3)分配律：(4)对偶律：笛卡儿积（直积）：12/29/20229蚌埠学院 高等数学3区间和邻域 （1）区间：介于某两个实数之间的全体实数构成区间。这两个实数叫做区间的端点。开区间闭区间12/29/202210蚌埠学院 高等数学左闭右开区间左开右闭区间注:两端点间的距离称为区间的长度。区间长度为有限实数的称为有限区间，否则称为无限区间。无穷区间12/29/202211蚌埠学院 高等数学（2）邻域：记作左邻域：右邻域：12/29/202212蚌埠学院 高等数学二、常量与变量二、常量与变量 在自然科学中，我们会遇到
5、各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。12/29/202213蚌埠学院 高等数学三、函数三、函数1.函数的概念 定义：设 和 为两个变量，为一个给定的数集，如果对每一个 ，按照一定的法则 变量 总有确定的数值与之对应，就称 为 的函数，记为 。数集 称为该函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。12/29/202214蚌埠学院 高等数学注：1）函数的定义域未必是连续的区间。如 2）函数相等 定义域与对应法则都相同。如 与 不同
6、如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。3）单值函数与多值函数12/29/202215蚌埠学院 高等数学4）分段函数：在定义域的不同范围内用不同式子表示的函数（不论分几段，总是一个函数）。如：称为“分段点”，定义域为(1,15 12/29/202216蚌埠学院 高等数学符号函数：1-1xyo取整函数 ，3.1=3，-3.1=-4 狄利克雷函数(Dirichlet)：有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo12/29/202217蚌埠学院 高等数学M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1）有界性2.函数的几种特性（无
7、界：对 ，总 ，使得 ）在1，+，有界；在(0,1)无界。12/29/202218蚌埠学院 高等数学2）单调性xyo12/29/202219蚌埠学院 高等数学xyo12/29/202220蚌埠学院 高等数学3）奇偶性偶函数偶函数yxox-x12/29/202221蚌埠学院 高等数学奇函数奇函数 yxox-x12/29/202222蚌埠学院 高等数学4）周期性）周期性注：通常说周期函数的周期是指其最小正周期。思考：是否存在无周期的周期函数：是否存在无周期的周期函数？12/29/202223蚌埠学院 高等数学 直接函数与反函数的图形关于直线 对称.3.反函数设 的定义域为，值域为,因此,对 ，都有
8、唯一的 ,使得 ，若将y当作自变量，x当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数 称之为函数 的反函数，而 叫做直接函数。12/29/202224蚌埠学院 高等数学设有函数链称为由,确定的复合函数,u 称为称为中间变量中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如,函数有复合函数复合函数复合函数12/29/202225蚌埠学院 高等数学两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:12/29/202226蚌埠学院 高等数学再如：和可以复合成和是由复合而成12/29/202227蚌埠学院 高等数学注：不是任何函数都可以复合成一个函数。或或如：与不能进行复合。12/29/202228蚌埠学院
9、 高等数学4.函数的运算和、差、积、商。注：只有具备公共定义域的函数才能运算。如与与就不能运算。12/29/202229蚌埠学院 高等数学5.初等函数1）基本初等函数 幂函数思思考考幂幂函函数数的的性性质质12/29/202230蚌埠学院 高等数学 指数函数思考指指数数函函数数的的性性质质12/29/202231蚌埠学院 高等数学 对数函数12/29/202232蚌埠学院 高等数学 三角函数 正弦函数余弦函数12/29/202233蚌埠学院 高等数学正切函数余切函数12/29/202234蚌埠学院 高等数学正割函数余割函数12/29/202235蚌埠学院 高等数学 反三角函数 12/29/20
10、2236蚌埠学院 高等数学 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。12/29/202237蚌埠学院 高等数学2）初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。本教材讨论的主要都是初等函数。12/29/202238蚌埠学院 高等数学非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x=0当 x 0取整函数当12/29/202239蚌埠学院 高等数学例例1.解解12/29/202240蚌埠学院 高等数学12/29/202241蚌埠学院 高等数学五五.小结小结基本概念集合,区间,邻域,函数函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性复合函数，反函数，基本初等函数，初等函数12/29/202242蚌埠学院 高等数学思考与判断题 ）是否存在既奇又偶的函数？）是否周期函数的周期有无穷多个？）任何周期函数，必有最小正周期？作业：P21.（习题习题1-1）6（3，4）、）、7（1）、）、18 12/29/202243蚌埠学院 高等数学附：双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1 双曲函数12/29/202245蚌埠学院 高等数学,奇函数,有界函数由图形可以得出：12/29/202246蚌埠学院 高等数学2 反双曲函数12/29/202247蚌埠学院 高等数学12/29/202248