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1、高高 等等 数数 学学 -同济六版上册同济六版上册前言：前言：一一、学习高等数学的重要意义学习高等数学的重要意义3.数学带给人美的享受（严谨美，和谐美，对称美，数学带给人美的享受（严谨美，和谐美，对称美，奇异美，）奇异美，）二、数学、初等数学、高等数学二、数学、初等数学、高等数学 1.1.数学：数学：研究研究“数数”和和“形形”的科学的科学2.2.初等数学：初等数学：1717世纪以前的数学。研究的世纪以前的数学。研究的“数数”是常是常数或常量；研究的数或常量；研究的“形形”是孤立的是孤立的，不变的，规则的几不变的，规则的几何形体。何形体。(又称为常量数学又称为常量数学)3.3.高等数学：高等数
2、学：1717世纪以后的数学。研究的世纪以后的数学。研究的“数数”是是变数或变量；研究的变数或变量；研究的“形形”是连续的是连续的，变化的，不规变化的，不规则的几何形体。（又称为变量数学）则的几何形体。（又称为变量数学）三、高等数学主要内容 函数、极限、连续函数、极限、连续 一元函数微分学一元函数微分学 一元函数积分学一元函数积分学 常微分方程常微分方程 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 多元函数微分学多元函数微分学 多元函数积分学多元函数积分学 无穷级数无穷级数四、四、怎样学习高等数学五、具体要求：五、具体要求：六、参考书六、参考书:1.1.重视每一节课重视每一节课.2.2.独立完
3、成作业独立完成作业1.1.微积分微积分同济大学编同济大学编 高等教育出版社高等教育出版社2.2.高等数学辅导高等数学辅导陈文灯主编陈文灯主编七、课时安排七、课时安排考核形式：平时作业、考勤和期末考试；结构：平时作业：10%；考勤：10%；期末考试：80%；八、考核成绩八、考核成绩总课时：180学时；90学时+90学时第一章数学分析基础数学分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限一、集合一、集合第一节 映射与函数二、映射二、映射三、函数三、函数一、集合一、集合1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该
4、集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集例如例如数集的补充规定：数集的补充规定：中排除中排除 0 的集的集中排除中排除 0 和负数的集和负数的集常用数集常用数集:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.1 1）、基本运算：）、基本运算：并集：由所有属于并集：由所有属于A或者属于或者属于B的元素组成的元素组成 的的 集合，记作集合，记作AB。交集：由即属于交集：由即属于A又属于又属于B的元素组成
5、的集的元素组成的集合，记作合，记作AB。差集：所有属于差集：所有属于A而不属于而不属于B的元素组成的的元素组成的 集合，记作集合，记作AB补集：称集合补集：称集合I为全集，称为全集，称IA为为A A的余集或的余集或 补集。补集。直积（笛卡尔乘积）：特例特例:记记为平面上的全体点集。2 2、集合的运算、集合的运算交换律：交换律：ABABBABA，ABABBABA；结合律：结合律：（ABAB）C CAA（BCBC），），分配律分配律：（ABAB）C C（ACAC）（BCBC），），对偶律：对偶律：（ABAB）C CA AC CBBC C，（ABAB）C CAA（BCBC）；）；（ABAB）C CA
6、 AC CBBC C；2 2）、集合的并、交、补运算满足下列法则：）、集合的并、交、补运算满足下列法则：（ABAB）C C（ACAC）（BCBC）；）；3.3.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.（1）有限区间：）有限区间：（2 2）无限区间：无限区间：区间长度区间长度:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.注：以后在不需要辨明所论区间是否包含端点，以及注：以后在不需要辨明所论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，我们就简单的称它是有限区间还是无限
7、区间的场合，我们就简单的称它为为“区间区间”，且常用，且常用 I 表示表示.4.4.邻域邻域:二、映射f1.映射的概念设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f,使得对X中的每个元素x，按法则 f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称 f 为从X到Y的映射。记作定义：元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像.XxYy1、构成映射必备的三要素：2、元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.对应法则 f 是对每个xX，有唯一确定 的y=f(x)与之对应。值域范围 Df Y;定义域 Df =X；注意：对映射若,则称 f 为满射
8、;若有 则称 f 为单射;若 f 既 是 满 射 又 是 单 射,则称 f 为 双射 或一 一映射.满射：单射：X(数集 或点集)在不同数学分支中有不同的惯用 X()Y(数集)f 称为X 上的泛函X()X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子.名称.例如,说明:1）、逆映射的定义 定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为 f 的逆映射.2、逆映射与复合映射定义：设有两个映射其中，则由映射g和f 可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个映成显然，这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射，这个映射称为映射 g 和
9、f 构成的复合映射，记作即：2）、复合映射三、函数的概念因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域1、函数概念定义域定义域与与对应法则对应法则.说明：当两个函数的定义域及对应法则均相同时，则这当两个函数的定义域及对应法则均相同时，则这两个函数相同，否则就是不同的两个函数相同，否则就是不同的.(1)(1)函数的两要素函数的两要素:(2)定义域及其求法：定义域及其求法：有实际背景的函数要考虑实际意义；对于抽象地用有实际背景的函数要考虑实际意义；对于抽象地用 算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是自变量算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是自变量所能取的使算式
10、有意义的一切实数值所能取的使算式有意义的一切实数值.（自然定义域）（自然定义域）练习练习&作业：作业：P21，4、15练习练习&作业：作业：P21，5M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1)函数的有界性函数的有界性:3、函数的性质、函数的性质说明：说明：(3)当一个函数有界时，界不唯一；当一个函数有界时，界不唯一；(1)函数有界与否与函数有界与否与X有关，是局部概念；有关，是局部概念；(2)函数有界的充分必要条件是既有上界又有下界，函数有界的充分必要条件是既有上界又有下界，表现在函数图像在两平行线之间。表现在函数图像在两平行线之间。但最小上界和最大下界是唯一的；但最小上界和
11、最大下界是唯一的；本部分练习本部分练习&作业：作业：P42，6、72)函数的单调性函数的单调性:定义：定义：设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间区间如果对于如果对于区间区间I 上任意两点上任意两点及及当当时，时，恒有恒有则称函数则称函数f(x)在区间在区间I 上是单调增加（或减少）的。上是单调增加（或减少）的。xyoxyo单增单减函数统称为单增单减函数统称为单调函数。单调函数。有界性和单调性都是有界性和单调性都是局部概念。局部概念。说明：说明：(1)单调性与定义区间单调性与定义区间I 有关，也是局部概念；有关，也是局部概念；(2)单调函数图像特点：增：上升；减：下降。单调函数图像特
12、点：增：上升；减：下降。(3)判断方法：定义法；图像法；导数法。判断方法：定义法；图像法；导数法。本部分练习本部分练习&作业：作业：p21，7、83)3)3)3)、函数的奇偶性、函数的奇偶性、函数的奇偶性、函数的奇偶性:偶函数偶函数偶函数偶函数设设设设D D关于原点对称，关于原点对称，关于原点对称，关于原点对称，对于对于对于对于有有有有则称则称则称则称f f(x x)为为为为偶函数偶函数偶函数偶函数.yxo ox-xyxox-x有有有有则称则称则称则称f f(x x)为为为为奇函数奇函数奇函数奇函数.奇函数奇函数奇函数奇函数解解所以，它是奇函数所以，它是奇函数.例例3 判断下列函数的奇偶性判断
13、下列函数的奇偶性其中其中定义在定义在上上解解所以，它是奇函数所以，它是奇函数.所以，它是偶函数所以，它是偶函数.例例4 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性其中其中定义在定义在上上本部分练习本部分练习&作业：作业：p21，9（重点记结论）、（重点记结论）、104)、函数的周期性、函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.定义：定义：并非每个周期函数都有最小正周期并非每个周期函数都有最小正周期.奇偶性，周期性都是对整个定义域而言的，是整体概念奇偶性，周期性都是对整个定义域而言的，是整体概念.本部分练习本部分练习&作业：作业：p22，114
14、4、常见函数类型、常见函数类型（1 1）反函数）反函数DWDW 直接函数与反函数的图形，直接函数与反函数的图形，直接函数与反函数的图形，直接函数与反函数的图形，关于直线关于直线关于直线关于直线 y=x 对称对称对称对称.直接函数直接函数直接函数直接函数反函数反函数反函数反函数注意：注意：注意：注意：(1)(1)(1)(1)求反函数的求反函数的求反函数的求反函数的步骤：步骤：步骤：步骤：由由由由y=f(x)分离分离分离分离定义域定义域定义域定义域交换交换交换交换x,yx,y(2)反函数存在定理：反函数存在定理：若若若若 f 是定义在是定义在D上的单调函数，则上的单调函数，则 f f 的反函数的反
15、函数必定存在，且是必定存在，且是 f(D)f(D)上的单调函数上的单调函数上的单调函数上的单调函数本部分练习本部分练习&作业：作业：p22，12（2）、复合函数）、复合函数设设设设y y是是是是u u的函数的函数的函数的函数y y=f f(u u)，而而而而u u又是又是又是又是x x的函数的函数的函数的函数定义：定义：定义：定义：且且且且(x x)的值域是的值域是的值域是的值域是f f(u u)的定义域的的定义域的的定义域的的定义域的子集子集子集子集,y y=f f (x x)叫叫叫叫y y=f f(u u)与与与与u u=(x x)的的的的复合函数复合函数复合函数复合函数.注意注意注意注意
16、:1)1)1)1)不是任何不是任何不是任何不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的两个函数都可以复合成一个复合函数的两个函数都可以复合成一个复合函数的两个函数都可以复合成一个复合函数的;u=(x),则函则函则函则函数数数数x:自变量自变量自变量自变量,u:中间变量中间变量中间变量中间变量,y:因变量因变量因变量因变量.如：如：复合函数可以由复合函数可以由复合函数可以由复合函数可以由两个以上两个以上两个以上两个以上的函数经过复合构成的函数经过复合构成的函数经过复合构成的函数经过复合构成.2)2)3)3)分解复合函数分解复合函数分解复合函数分解复合函数时，时，时，时，必须分解为自变量的必须分解为
17、自变量的必须分解为自变量的必须分解为自变量的简单函数简单函数简单函数简单函数才算完成才算完成才算完成才算完成.如：如：如：如：如：如：如：如：分解方法分解方法分解方法分解方法:从外到里从外到里从外到里从外到里.注意：注意：注意：注意：分段函数指的是分段函数指的是分段函数指的是分段函数指的是一个函数一个函数一个函数一个函数，而，而，而，而非非非非几个函数几个函数几个函数几个函数.在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.（3）、分段函数）、分段函数几个特殊的分段函数举例几个特殊的分段函数举例 1)
18、.绝对值函数绝对值函数yxo 2).符号函数符号函数1-1xyo例例6 6解解例例5 5解本部分本部分练习&作作业：p22，16解解综上所述综上所述例例7 7（4）、初等函）、初等函数数幂函数幂函数幂函数幂函数指数函数指数函数指数函数指数函数对数函数对数函数对数函数对数函数三角函数三角函数三角函数三角函数1)1)1)1)、基本初等函数、基本初等函数、基本初等函数、基本初等函数幂函数幂函数幂函数幂函数,指数函数指数函数指数函数指数函数,对数函数对数函数对数函数对数函数,三角函数三角函数三角函数三角函数和和和和反三角函数反三角函数反三角函数反三角函数反三角函数反三角函数反三角函数反三角函数统称为统
19、称为统称为统称为基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数.是常数是常数是常数是常数)2)2)、初等函数：、初等函数：由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过有限次四则运算有限次四则运算有限次四则运算有限次四则运算和和和和定义：定义：定义：定义：如：如：如：如：有限次的函数复合步骤有限次的函数复合步骤有限次的函数复合步骤有限次的函数复合步骤所构成并可用所构成并可用所构成并可用所构成并可用一个式子一个式子一个式子一个式子表示的函数表示的函数表示的函数表示的函数,称为称为称为称为初等函数初等函数初等函数初等函数.（5）、幂指函）、幂指函
20、数数（6）、隐函数）、隐函数（7）、参数方）、参数方程确定的函数程确定的函数（8）、积分上）、积分上限函数函数限函数函数函数的四则运算函数的四则运算则我们可以定义这两个函数的下列运算：则我们可以定义这两个函数的下列运算：设函数设函数的定义域依次为的定义域依次为和（差）和（差）积积商商例例例例9 9 设设设设且且且且求求求求及其定义域及其定义域及其定义域及其定义域.解解解解 由由由由知知知知:又又又又则则则则则则则则要使要使要使要使定义域为定义域为定义域为定义域为1、函数的基本性质：、函数的基本性质：2、复合函数的合成与分解、复合函数的合成与分解3、基本初等函数和初等函数、基本初等函数和初等函数小结