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1、第四章 截切体与相贯体的投影 立体的结构形状是多种多样的。由平面立体与曲立体的结构形状是多种多样的。由平面立体与曲面立体所组成的机器零件结构也是千变万化的，经常面立体所组成的机器零件结构也是千变万化的，经常会看到平面立体与曲面立体的结构，而这些形体有时会看到平面立体与曲面立体的结构，而这些形体有时并非是单一和完整的，往往会出现基本形体被截切或并非是单一和完整的，往往会出现基本形体被截切或立体相贯的情况。立体相贯的情况。结束立体截切与相贯的实例立体截切与相贯的实例框架框架连轴器连轴器三通管三通管结束4-1 4-1 截切体的投影截切体的投影二、回转体截切的投影4-2 4-2 相贯体的投影相贯体的投
2、影一、平面体截切的投影结束4-1 4-1 截切体的投影截切体的投影1.1.平面体截切的例子平面体截切的例子单面截切单面截切单面截切单面截切多面截切多面截切名词名词:截切体截切体 立体被平面截切后的形体。立体被平面截切后的形体。截平面截平面 用以截切立体的平面。用以截切立体的平面。截交线截交线 截平面与立体表面的交线。截平面与立体表面的交线。一、平面体截切截交线截交线截断面截断面结束2.2.截交线的分析截交线的分析 截交线性质截交线性质:1 1）为由直线组成的）为由直线组成的封闭封闭的平面多边形的平面多边形;边数取决于截到的棱面数边数取决于截到的棱面数(指完全切掉的情况指完全切掉的情况)2 2）
3、是截平面与棱面的）是截平面与棱面的公有线公有线。3 3）其形状取决于立体的形状与截平面的空间位置。）其形状取决于立体的形状与截平面的空间位置。结束3.3.截交线的求法截交线的求法 求截交线的基本思想求截交线的基本思想 因为截交线是截平面与棱面的公有线，所以求交线转化为：因为截交线是截平面与棱面的公有线，所以求交线转化为：求棱线与截平面的穿点。求棱线与截平面的穿点。求平面截交线的步骤求平面截交线的步骤：(1)(1)空间分析空间分析-分析截交线的形状。交线取决于：分析截交线的形状。交线取决于：(a)(a)平面体形状平面体形状 。(b)(b)截平面的位置。截平面的位置。(2)(2)投影分析投影分析-
4、分析截交线的投影特性，如积聚性分析截交线的投影特性，如积聚性,类似性等。类似性等。(3)(3)作图作图-找穿点；连截交线多边形；判断虚实线。找穿点；连截交线多边形；判断虚实线。结束 空间分析空间分析：截交线为四边形截交线为四边形 投影分析投影分析：V V面上截交线有积聚面上截交线有积聚性，性，H H、W W 面上截交线有类似性。面上截交线有类似性。作图作图：先画出完整四棱锥：先画出完整四棱锥-找穿找穿点点-连截交线多边形连截交线多边形-判别虚实判别虚实 例例1 1 试求正四棱锥被一正垂面截切后的三视图。试求正四棱锥被一正垂面截切后的三视图。结束1111 找出最低点找出最低点的主视图的主视图11
5、和左视图和左视图11及俯视图及俯视图1 1 。1 1结束11111 1 找出最高点找出最高点的三个视图。的三个视图。33333 3结束11111 133333 3 找出棱线上的点找出棱线上的点、点、点的主视图和左视图。的主视图和左视图。242444 22结束11111 133333 3 用圆规量取用圆规量取、的的y y坐标，求出坐标，求出、的水平投影的水平投影242444 22y yy yy yy y 4 4 2 2 结束11111 133333 3242444 2 2 4 4 2 2 顺序连接截交线的左视图、俯视图。顺序连接截交线的左视图、俯视图。结束11111 133333 3242444
6、 2 2 4 4 2 2 补画正四棱锥的轮廓线。补画正四棱锥的轮廓线。结束 擦去多余的图线。擦去多余的图线。结束 补画虚线。补画虚线。虚线勿丢虚线勿丢结束 例例2 2 求平面体被铅垂面截切后的主视图。求平面体被铅垂面截切后的主视图。空间与投影分析空间与投影分析：根据投影：根据投影图可知形体为八棱柱被铅垂图可知形体为八棱柱被铅垂面截切，此铅垂切平面的主面截切，此铅垂切平面的主视图与左视图的相似形为左视图与左视图的相似形为左视图的完整线框。视图的完整线框。结束 先画出完整的八棱柱主视图。先画出完整的八棱柱主视图。结束再画出被铅垂面截切后的主视图。再画出被铅垂面截切后的主视图。1 12 23 34
7、46 65 58 87 7 例例3 3 已知主视图和左视图，求俯视图。已知主视图和左视图，求俯视图。空间与投影分析空间与投影分析：四棱柱被：四棱柱被正垂面和侧垂面截切正垂面和侧垂面截切正垂面正垂面侧垂面侧垂面结束 先画出完整的四棱柱俯视图，再找出相似形。先画出完整的四棱柱俯视图，再找出相似形。正垂面正垂面侧垂面侧垂面侧垂面的侧垂面的类似形类似形侧垂面的侧垂面的类似形类似形正垂面正垂面的类似形的类似形正垂面正垂面的类似形的类似形结束二、回转截切体的投影 求截交线的基本思想求截交线的基本思想 归结为求公有点归结为求公有点 求回转面截交线的步骤求回转面截交线的步骤 截交线是截平面与回转面的公有线截交
8、线是截平面与回转面的公有线 截交线的分析截交线的分析(2)(2)投影分析分析截交线投影特性投影分析分析截交线投影特性,如积聚性如积聚性,类似性等类似性等(3)(3)作图作图-找特殊点，补充中间点，判别可见性找特殊点，补充中间点，判别可见性(1)(1)空间分析截交线形状取决于空间分析截交线形状取决于(a)回转体形状回转体形状 (b)截平面的位置截平面的位置结束1.1.圆柱体上的截交线圆柱体上的截交线3.3.圆球的截交线圆球的截交线2.2.圆锥体上的截交线圆锥体上的截交线4.4.复合回转体体上的截交线复合回转体体上的截交线基本内容基本内容结束1.1.圆柱体上的三种截交线圆柱体上的三种截交线截面为圆
9、截面为圆截面为椭圆截面为椭圆截面为矩形截面为矩形例例1 1 已知主视图和左视图，求作俯视图。已知主视图和左视图，求作俯视图。空间与投影分析空间与投影分析 圆圆柱柱被被水水平平面面和和侧侧平平面面截截切切，截交线的水平投影为矩形；截交线的水平投影为矩形；结束想象空间形状并补画为截切前的圆柱的俯视图。想象空间形状并补画为截切前的圆柱的俯视图。结束找出截交线特殊点投影找出截交线特殊点投影（22）1144（22）（44）1133（11）y y y yy y y y2 24 41 13 3顺序连接特殊点顺序连接特殊点量取宽度量取宽度结束完成作图完成作图结束例例2 2 在圆筒上开一方槽，已知主视图和左视图
10、，求作俯视图。在圆筒上开一方槽，已知主视图和左视图，求作俯视图。空间与投影分析空间与投影分析 圆圆筒筒被被两两个个水水平平面面一一个个侧侧平平面面截截切切，截截交线的水平投影为为两个矩形；交线的水平投影为为两个矩形；结束 想象空间形状并画出圆筒未切之前的俯视图想象空间形状并画出圆筒未切之前的俯视图结束画出方形槽与圆筒内外圆柱面的交线。画出方形槽与圆筒内外圆柱面的交线。1 12 23 34 411223344结束例例3 3 求圆柱被正垂面截切后的俯视图。求圆柱被正垂面截切后的俯视图。空间与投影分析空间与投影分析 截截平平面面为为正正垂垂面面，截截交交线线的的侧侧面面投投影影为为圆圆，水水平投影为
11、椭圆；平投影为椭圆；结束想象空间形状。想象空间形状。结束找特殊点的投影。找特殊点的投影。22（11）4433223311442 23 31 14 4结束22（11）4433223311442 23 31 14 4 找一般位置点找一般位置点、的投影，同样可以找到其它一般点的投影，同样可以找到其它一般点的投影。的投影。yyyy（55）6655665 56 6结束22（11）4433223311442 23 31 14 4（55）6655665 56 6在俯视图上用曲线光滑连接各点，并整理图形轮廓。在俯视图上用曲线光滑连接各点，并整理图形轮廓。结束完成图形完成图形结束 2.2.圆锥上的五种截交线圆锥
12、上的五种截交线过锥顶过锥顶等腰三角形等腰三角形与轴线垂直与轴线垂直圆圆与轴线倾斜与轴线倾斜椭圆椭圆与一条素线平行与一条素线平行抛物线抛物线与轴线平行与轴线平行双曲线双曲线 例例4 4 圆锥体被一正垂面圆锥体被一正垂面P P 截切，已知主视图，求作俯视图和截切，已知主视图，求作俯视图和 左视图。左视图。结束P空间分析：空间分析：截交线为椭圆，如下图所示。截交线为椭圆，如下图所示。投影分析：投影分析：主视有积聚性，俯视、左视为椭圆主视有积聚性，俯视、左视为椭圆 。作图：作图：特殊点；特殊点；用辅助平面法求中间点；用辅助平面法求中间点；用曲线光滑连接各点。用曲线光滑连接各点。结束 由最高点由最高点1
13、 1 的主视图，作出点的主视图，作出点1 1 的左视图与俯视图。的左视图与俯视图。由最低点由最低点5 5 的主视图，作出点的主视图，作出点5 5 的左视图与俯视图。的左视图与俯视图。结束115511（55）1 15 5115511（55）1 15 5 由左视转向点由左视转向点2 2 和点和点8 8 的主视图，作出点的主视图，作出点2 2 和点和点8 8 的左视图与的左视图与俯视图俯视图。结束y yy y228822（88）2 2 8 8y yy y115511（55）1 15 5结束228822（88）2 2 8 8y yy y 用辅助平面法找出点用辅助平面法找出点3 3 和点和点7 7 的俯
14、视图与左视图。的俯视图与左视图。33（77）y yy y3 3 7 7(3(3)(7(7)光顺地连出截交线椭圆的俯视图与左视图，并判断可见性。光顺地连出截交线椭圆的俯视图与左视图，并判断可见性。结束 3.3.圆球的截交线圆球的截交线圆球的截交线是圆。截交线的投影为直圆球的截交线是圆。截交线的投影为直线、圆或椭圆三种情况。线、圆或椭圆三种情况。结束例例5 5 求作球面开槽后的投影。求作球面开槽后的投影。空间与投影分析空间与投影分析 对对称称于于球球面面中中心心的的槽槽的的左左右右两两个个侧侧平平面面和和水水平平面面与与球球面面的的交交线线都都是是圆圆弧弧，平平面面彼此相交是直线。彼此相交是直线。
15、结束想象空间形状想象空间形状结束找出截交线上特殊点投影。找出截交线上特殊点投影。11111 1结束11111 1作出过作出过1 1点的侧平面圆的侧面投影。点的侧平面圆的侧面投影。结束11111 1作出水平截切面所在圆的水平投影。作出水平截切面所在圆的水平投影。结束11111 1找出各段圆弧。找出各段圆弧。结束作出截平面的交线，并判断可见性。作出截平面的交线，并判断可见性。结束例例6 6 求作复合回转体的截交线投影。求作复合回转体的截交线投影。空间与投影分析空间与投影分析 复复合合回回转转体体由由同同轴轴圆圆锥锥和和两两个个直直径径不不等等的的圆圆柱柱组组成成，被被水水平平面面截截切切，截截交交
16、线线为为双双曲曲线线和和圆圆柱柱上的平行于轴线的直线。上的平行于轴线的直线。结束想象空间形状。想象空间形状。结束作出圆锥面上双曲线的投影。作出圆锥面上双曲线的投影。结束作出大圆柱面和小圆柱面平行与轴线的两条直线的投影。作出大圆柱面和小圆柱面平行与轴线的两条直线的投影。结束本节结束本节结束结束平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯三体相贯三体相贯1.1.定义：相交两立体表面的交线称为相贯线。定义：相交两立体表面的交线称为相贯线。2.2.相贯线的形状相贯线的形状 (1)(1)取决于相贯表面的形状、大小和相对位置取决于相贯表面的形状、大小和相对位置 (2)(2)其投
17、影取决于相贯物体对投影面的相对位置其投影取决于相贯物体对投影面的相对位置 3.3.相贯线的主要性质相贯线的主要性质:共有性共有性和和表面性表面性4.4.相贯线作图的实质相贯线作图的实质:找出相贯线上若干共有点的投影找出相贯线上若干共有点的投影4-2 4-2 相贯体的投影相贯体的投影结束求相贯线的一般步骤：求相贯线的一般步骤：1.1.空间分析空间分析，分析相贯两立体的形状与相对位置，分，分析相贯两立体的形状与相对位置，分析它们相对于投影面的位置。析它们相对于投影面的位置。2.2.投影分析投影分析，分析相贯线的积聚投影，并选择常用的，分析相贯线的积聚投影，并选择常用的作图方法（表面取点法、辅助平面
18、法）。作图方法（表面取点法、辅助平面法）。3.3.求作相贯线上的求作相贯线上的特殊点特殊点。4.4.根据需要求出若干个根据需要求出若干个一般点一般点。5.5.光滑且顺次地连接各点，并判别光滑且顺次地连接各点，并判别可见性可见性。6.6.整理整理轮廓线轮廓线。结束 就是根据投影具有积聚性的特点，由两回转体表面上若就是根据投影具有积聚性的特点，由两回转体表面上若干共有点的已知投影求出其它未知投影，从而画出相贯线的干共有点的已知投影求出其它未知投影，从而画出相贯线的投影。投影。作图方法：作图方法：先找特殊点先找特殊点 再求中间点再求中间点(用表面取点法用表面取点法)连接各点并判可见性连接各点并判可见
19、性一、表面取点法例例 求作两垂直相交的圆柱的相贯线。求作两垂直相交的圆柱的相贯线。结束找特殊点找特殊点(最左点最左点2 2,最右点最右点1 1,),)的三视图的三视图结束找特殊点找特殊点(最低点最低点3 3)的三视图的三视图结束找出中间点找出中间点4 4、点、点5 5的三视图的三视图结束用光滑曲线顺次连接各点用光滑曲线顺次连接各点结束整理图形整理图形结束两圆柱垂直相交在物体中相贯线的三种形式两圆柱垂直相交在物体中相贯线的三种形式结束轴线垂直相交的两圆柱轴线垂直相交的两圆柱直径变化直径变化时，相贯线的变化趋势时，相贯线的变化趋势水平圆柱大水平圆柱大两圆柱直径相等两圆柱直径相等水平圆柱小水平圆柱小
20、结束轴线垂直相交的两圆柱轴线垂直相交的两圆柱位置变化位置变化时，相贯线的变化趋势时，相贯线的变化趋势两轴线垂直相交两轴线垂直相交两轴线垂直交叉两轴线垂直交叉两轴线平行两轴线平行二二、辅助平面法求相贯线 辅助平面法是根据三面共点的原理，利用辅助平面求辅助平面法是根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两曲面表面上的若干共有点，从而求出相贯线的投影。出两曲面表面上的若干共有点，从而求出相贯线的投影。选择适当的平面作为辅助平面。选择适当的平面作为辅助平面。为了简化作图，辅助平面的选择原则是：要使辅助平为了简化作图，辅助平面的选择原则是：要使辅助平面与两立体表面的截交线的投影简单易画，例如由直线或面与两立
21、体表面的截交线的投影简单易画，例如由直线或圆组成的图形。而且辅助平面一般应选投影面平行面。圆组成的图形。而且辅助平面一般应选投影面平行面。辅助平面法求相贯线的原理辅助平面法求相贯线的原理圆柱面圆柱面辅助平面辅助平面圆锥面圆锥面 截交线截交线 截交线截交线相贯线上的点相贯线上的点结束辅辅助助平平面面法法示示意意图图 共有点即相共有点即相贯线上的点贯线上的点结束 例例 求作圆柱与圆锥相贯线的投影。求作圆柱与圆锥相贯线的投影。结束 空间与投影分析空间与投影分析 圆圆柱柱与与圆圆锥锥轴轴线线垂垂直直相相交交，相相贯贯线线为为封封闭闭的的空空间间曲曲线线，其其侧侧面面投投影影已已知知，正正面面投投影影与
22、与水水平平投投影影需需要要作作图图求求出出，可可利利用用辅辅助助平平面面法法求求共共有有点点，根根据据立立体体空空间间位位置置可可知知：取取水水平平面面为为辅辅助助平平面面，它它与与曲曲面面体体的的交线为直线和圆。交线为直线和圆。结束yyPW1PV144yy44 PV2PW233PV3PW3551 1111122 222 24 45 533 3 355 解题步骤解题步骤1.1.利利用用已已知知相相贯贯线线的的侧侧面面投投影影，采采用用辅助平面法；辅助平面法；2.2.求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点、；3.3.求求出出若若干干个个一一般点般点、；4.4.光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并并且且判判别别可可见性；见性；5.5.整理轮廓线。整理轮廓线。相贯线的侧面相贯线的侧面投影为圆投影为圆结束完成图形完成图形结束 在某些特殊情况下相贯线为平面曲线：在某些特殊情况下相贯线为平面曲线：当两直径相同的圆柱正交时，两者必外切于一球，其相贯线为当两直径相同的圆柱正交时，两者必外切于一球，其相贯线为大小相等的两椭圆。大小相等的两椭圆。结束本章结束本章结束结束