【2022高中数学精品教案】4.5.1 函数的零点与方程的解(2).docx

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1、【新教材】4.5.1 函数的零点与方程的解(人教A版)本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法,使学生体会函数与方程之间的关系,通过一些函数模型的实例,让学生感受建立函数模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的广泛应用,进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。课程目标1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数数学学科素养1.数学抽象:函数零点的概念;2.逻辑推理:借助图像判断零点个数;3.数学运算:求函数零点或零点所在区间;4.

2、数学建模:通过由抽象到具体,由具体到一般的思想总结函数零点概念.重点:零点的概念,及零点与方程根的联系;难点:零点的概念的形成教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。教学工具:多媒体。一、 情景导入方程的解为 ,函数的图象与x轴有 个交点,坐标为 . 方程的解为 ,函数的图象与x轴有 个交点,坐标为 . 方程的解为 ,函数的图象与x轴有 个交点,坐标为 .根据以上结论,可以得到:一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .你能将结论进一步推广到吗?要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本,引入新课阅读课本142-143页,思考并完成

3、以下问题1. 函数零点的定义是什么?2. 函数零点存在性定理要具备哪两个条件?3.方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么?要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。三、新知探究1函数的零点对于函数yf(x),把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点点睛函数的零点不是一个点,而是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零2方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0.那么,函数yf

4、(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也就是方程f(x)0的根点睛定理要求具备两条:函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线;f(a)f(b)0.四、典例分析、举一反三题型一 求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出(1) f (x);(2) f (x)x22x4;(3) f (x)2x3;(4) f (x)1log3x.【答案】(1)-3(2)不存在(3)log23(4)3【解析】 (1)令0,解得x3,所以函数f(x)的零点是3.(2)令x22x40,由于22414120,所以方程x22x40无实数根,所以函数f(x)x22x4不存

5、在零点(3)令2x30,解得xlog23.所以函数f(x)2x3的零点是log23.(4)令1log3x0,解得x3,所以函数f(x)1log3x的零点是3.解题技巧:(函数零点的求法)求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.跟踪训练一1已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A. ,0B2,0C. D0【答案】D【解析】当x1时,令2x10,得x0.当x1时,令1log2x0,得x,此时无解综上所述,函数零点为0.题型二 判断函数零点所在区间例2 函数f(

6、x)ln x的零点所在的大致区间是A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(e,)【答案】B【解析】f(1)20,f(2)ln 210,在(1,2)内f(x)无零点,A错;又f(3)ln 30,f(2)f(3)0,f(x)在(2,3)内有零点解题技巧:(判断函数零点所在区间的3个步骤)(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点跟踪训练二1.若函数f(x)x(aR)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是()A2 B0 C1 D3

7、【答案】A【解析】f(x)x(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a2时,f(1)1210,f(2)2110.故f(x)在区间(1,2)上有零点,同理,其他选项不符合,选A.题型三 判断函数零点的个数例3 判断函数f(x)ln xx23的零点的个数【答案】有一个零点【解析】法一图象法函数对应的方程为ln xx230,所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数在同一坐标系下,作出两函数的图象(如图)由图象知,函数y3x2与yln x的图象只有一个交点,从而ln xx230有一个根,即函数yln xx23有一个零点法二判定定理法由于f(1)ln 1123

8、20,f(2)ln 2223ln 210,f(1)f(2)0,又f(x)ln xx23的图象在(1,2)上是不间断的,所以f(x)在(1,2)上必有零点,又f(x)在(0,)上是递增的,所以零点只有一个解题技巧:(判断函数存在零点的3种方法)(1)方程法:若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数(2)图象法:由f(x)g(x)h(x)0,得g(x)h(x),在同一坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数(3)定理法:函数yf(x)的图象在区间a,b上是一条连续不断的曲线,由f(a)f(b)0即

9、可判断函数yf(x)在区间(a,b)内至少有一个零点若函数yf(x)在区间(a,b)上是单调函数,则函数f(x)在区间(a,b)内只有一个零点跟踪训练三1.函数f(x)的图象和函数g(x)log2x的图象的交点个数是_【答案】3【解析】作出g(x)与f(x)的图象如图,由图知f(x)与g(x)有3个交点四、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计4.5.1对数函数的概念1. 零点定义 例1 例2 例3 2. 零点存在性定理 七、作业课本155页2、3、7、11.本节课结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;通过图像进一步掌握零点存在的判定定理.从而解决本节课的三种题型.

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