《2019-2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、45.1函数的零点与方程的解1理解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系2会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间3能借助函数单调性及图象判断零点个数1函数的零点对于一般函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零2方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)
2、内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条：(1)函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；(2)f(a)f(b)0.1给定二次函数yx22x3，其图象如下：(1)方程x22x30的解是什么？(2)函数的图象与x轴的交点是什么？(3)方程的解与交点的横坐标有什么关系？(4)通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？答案(1)3,1(2)(3,0)，(1,0)(3)相等(4)在每一个交点附近两侧函数值符号异号2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)
3、所有的函数都有零点()(2)若方程f(x)0有两个不等实数解x1，x2，则函数yf(x)的零点为(x1,0)(x2,0)()(3)若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)0.()(4)在a，b上函数f(x)是连续并且单调的函数，若f(a)f(b)1时，令1log2x0，得x，此时无解综上所述，函数零点为0.选D.答案D2若2是函数f(x)x2m的一个零点，则m_.解析2是函数f(x)x2m的一个零点，f(2)0，得4m0，m4.答案4题型二判断函数零点所在的区间【典例2】函数f(x)lnx的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(e，)解析f(
4、1)20，f(2)ln210，f(2)f(3)0，f(x)在(2,3)内有零点答案B判断函数零点所在区间的3个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点针对训练3在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A.B.C.D.解析f20，ff0，零点在上答案C4若函数f(x)x(aR)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A2B0 C1D3解析f(x)x(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证
5、，当a2时，f(1)1210.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.答案A题型三判断函数零点的个数【典例3】(1)f(x)的零点个数为()A3B2 C1D0(2)求函数f(x)log2xx2的零点个数思路导引(1)直接求f(x)0的解；(2)利用图象法判断解析(1)当x0时，由x22x30，得x3；当x0时，由2lnx0，得xe2.故函数f(x)有2个零点，选B.(2)令f(x)0，得log2xx20，即log2xx2.令y1log2x，y2x2.画出两个函数的大致图象，如图所示由图可知，两个函数有两个不同的交点所以函数f(x)log2xx2有两个零点答案(1)B(2
6、)2个变式若本例(1)中的函数改为“f(x)”，则函数的零点个数为()A3B2 C1D0解析解法一：当x0时，由x22x30，得x3；当x0时，函数对应的方程为lnxx230，所以原函数零点的个数即为函数ylnx与y3x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数y3x2与ylnx的图象只有一个交点，从而lnxx230有一个解，即函数ylnxx23有一个零点综上，函数f(x)有2个零点解法二：当x0时，由x22x30，得x3；当x0时，由于f(1)ln112320，f(1)f(2)0，又f(x)lnxx23的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有
7、零点，又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个综上，函数f(x)有2个零点答案B判断函数零点个数的3个方法(1)直接法：直接求出函数的零点进行判断(2)图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题(3)单调性法：借助函数的单调性进行判断若函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示针对训练5函数f(x)(x1)(x23x10)的零点个数是()A1B2 C3D4解析f(x)(x1)(x23x10)(x1)(x5)(x2)，由f(x)0得x5或x1或x2.
8、故函数f(x)的零点有3个选C.答案C6函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2 C3D4解析令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点答案B课堂归纳小结1函数的零点(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)0的解，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数解，有几个实数解(3)函数F(x)f(
9、x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实数解，也就是函数yf(x)的图象与yg(x)的图象交点的横坐标2判断函数yf(x)零点的存在性的两个条件(1)函数的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线(2)由f(a)f(b)0就可判断函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点但应用时应注意以下问题：并非函数所有的零点都能用这种方法找到如yx2的零点在x0附近就没有这样的区间只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法利用上述结论只能判别函数yf(x)在区间(a，b)上零点的存在性，但不能确定其零点的个数.1函数y4x2的零点是()A2B(2,0)C.D.解析令y4x20，得x.函数y4x
10、2的零点为.答案D2对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()A方程f(x)0一定有实数解B方程f(x)0一定无实数解C方程f(x)0一定有两实数解D方程f(x)0可能无实数解解析函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但未必函数yf(x)在(1,3)上有实数解答案D3函数ylgx的零点所在的大致区间是()A(6,7)B(7,8) C(8,9)D(9,10)解析因为f(9)lg910，所以f(9)f(10)0，所以ylgx在区间(9,10)上有零点，故选D.答案D4函数f(x)lnx3x2的零点个数是_解析解法一：由f(x)lnx3x20，得lnx23x，设g(
11、x)lnx，h(x)23x，图象如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)lnx3x2有一个零点解法二：函数f(x)在(0，)单调递增，且f30，所以函数f(x)在内有唯一零点答案15已知函数f(x)2xx2，问方程f(x)0在区间1,0内是否有解，为什么？解因为f(1)21(1)20，而函数f(x)2xx2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间1,0内有零点，即方程f(x)0在区间1,0内有解课内拓展课外探究一元二次方程根的分布情况依据函数零点与方程实数根的联系，可以用函数零点的存在性定理及二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象来讨论一元二次方程ax2bxc0的实数根的分布情况设x
12、1，x2是一元二次方程ax2bxc0(a，b，cR，且a0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且mnp)【典例】已知关于x的一元二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两实根，其中一实根在区间(1,0)内，另一实根在区间(1,2)内，求m的取值范围；(2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求m的取值范围解(1)令f(x)x22mx2m1，依题意得函数f(x)x22mx2m1的图象与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，画出函数的大致图象如右图所示由图象得即m.即m的取值范围是.(2)根据函数图象与x轴的两个交点
13、均在区间(0,1)内，画出函数的大致图象如右图所示由图象得即m1.即m的取值范围是.点评解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合思想，根据判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解课后作业(三十四)复习巩固一、选择题1已知二次函数yax2bxc，ac0，则函数的零点个数是()A1B2C0D无法确定解析因为ac0，所以二次方程ax2bxc0有两个不等的实根，故函数有2个零点答案B2下列函数不存在零点的是()AyxByCyDy解析由x0，得x1，故选项A不适合；由2x2x10得x1或x，故选项B不适合；由得x1，得x1，故选项C不适合；选项D中函数无零点故选D.答案D3函数f(x)x
14、x2的零点所在的一个区间是()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析由f(x)xx2，得f(2)2220，f(3)3320，f(2)f(3)0，则不存在实数c(a，b)使得f(c)0B若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a，b)使得f(c)0D若f(a)f(b)0也可能成立，因此A不正确，C正确；若yf(x)满足零点存在性定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确答案C5方程log3xx3的解所在的区间为()A(0,2)B(1,2) C(2,3)D(3,4)解析令f(x)log3xx3，则f(2)log3223log30，所以方程log3xx3
15、的解所在的区间为(2,3)答案C二、填空题6函数yx24的零点是_解析令x240，解得x2，所以函数yx24的零点是2.答案27若f(x)xb的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为_解析解法一：f(x)xb是增函数，又f(x)xb的零点在区间(0,1)内，1b0.解法二：由xb0得xb，又f(x)xb的零点在区间(0,1)内0b1，1b0.答案(1,0)8函数f(x)log2x2x7的零点个数为_，它的一个大致区间是_解析设y1log2x，y22x7，可将y1，y2的图象作出，由图可知y1与y2只有一个交点，则log2x2x70只有一个实数根，函数f(x)只有一个零点f(2)log2222
16、720，f(2)f(3)0，零点的一个大致区间为(2,3)答案1(2,3)三、解答题9判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)1log3x；(4)f(x)(2x3)(x24)解(1)令0，解得x3，所以函数f(x)存在零点，且零点为x3.(2)令x22x40，由于22414120，所以方程x22x40无实数根，所以函数f(x)x22x4不存在零点(3)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x存在零点，且零点为x3.(4)令(2x3)(x24)0，得2x3或x24，所以xlog23或x2，所以函数f(x)(2x3)(x24
17、)存在零点，且零点为log23,2与2.10求函数f(x)lnx|x2|的零点个数解令f(x)0，得lnx|x2|0，即lnx|x2|，令y1lnx，y2|x2|.在同一坐标系中作出函数y1lnx和y2|x2|的图象，如图所示由两图象有2个交点，可知函数f(x)lnx|x2|有2个零点综合运用11若x0是方程x的解，则x0属于区间()A.B.C.D.所以ff0，故函数f(x)的零点所在的区间为，即方程x的解x0属于区间.答案C12函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)解析根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f(
18、x)2xa在区间(1,2)内是增函数，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，所以f(1)0，求解可得0a3.答案C13若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内解析f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，ab0，f(b)0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内答案A14已知函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是_解析当m0时，零点为x，满足题意当m0时，44m0，解得m1且m0，设x1，x2是函数的两个零点，则x1x2，x1x2.若m1，函数只有一个零点1，满足题意；若1m0，则x1，x2一正一负，满足题意综上，实数m的取值范围是10，)答案10，)15若函数f(x)|x22x|a有4个零点，求实数a的取值范围解函数f(x)|x22x|a的零点就是方程|x22x|a0的解由|x22x|a0，得|x22x|a.在平面直角坐标系中，画出函数y|x22x|的图象，再作出直线ya，使它们有4个交点，如图，则实数a的取值范围是(0,1).