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1、高中数学竞赛专题大全近五年高中数学竞赛真题分类汇编竞赛专题1 集合（50题竞赛真题强化训练）一、单选题1（2018天津高三竞赛）如果集合，C是A的子集，且，则这样的子集C有（）个.A256B959C960D9612（2020浙江温州高一竞赛）已知集合，则().ABC或D或3（2018黑龙江高三竞赛）已知集合，集合.若，则a的值是（）.A3或-1B0C-1D0或-14（2019全国高三竞赛）已知.若集合中任两个元素的和都不能被6整除，则集合中元素的个数最多为（）.A36B52C74D905（2019吉林高三竞赛）集合A=2,0,1,3，集合B=x|-xA,2-x2A，则集合B中所有元素的和为AB
2、CD二、填空题6（2018四川高三竞赛）设集合，若的非空子集满足，就称有序集合对为的“隔离集合对”，则集合的“隔离集合对”的个数为_.（用具体数字作答）7（2018湖南高三竞赛）设集合，若，则实数m的取值范围为_.8（2021全国高三竞赛）已知，集合，若，则的值为_9（2018山东高三竞赛）集合、满足，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则满足条件的所有不同的集合的个数为_10（2018福建高三竞赛）将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组：，则2018位于第_组11（2021全国高三竞赛）在的非空真子集中，满足最大元素与最小元素之和为13的集合个数为_.12（2021全国高
3、三竞赛）已知集合，A是M的子集，当时，则集合A元素个数的最大值为_13（2021全国高三竞赛）设，子集之积数定义为G中所有元素之乘积（空集的积数为零），求X中所有偶数个元素之子集的积数的总和是_14（2020江苏高三竞赛）设，欧拉函数表示在正整数1，2，3，中与互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以，则_15（2021浙江高二竞赛）给定实数集合，定义运算.设，则中的所有元素之和为_.16（2021全国高三竞赛）从自然数中删去所有的完全平方数与立方数，剩下的数从小到大排成一个数列，则_17（2021全国高三竞赛）设正整数m、n，集合，,，满足对任意的，均有：，则_18（20
4、21全国高三竞赛）已知A与B是集合的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为空集.若当时总有，则集合的元素个数最多为_.19（2021全国高三竞赛）设集合，且，则有_个元素20（2021全国高三竞赛）设为集合的子集，若存在正整数，使得对任意整数，总能找到正实数，满足，且在十进制表示下的所有数字（不包括开头的0）都属于集合，则的最小值为_（表示集合的元素个数）. 21（2019江西高三竞赛）将集合1，2，19中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_ .22（2019河南高二竞赛）称1,2,3,4,5,6,7,8,9的某非空子集为奇子集：如果其中所有数之和为奇数，则奇子集的个数为_ .23（
5、2019广西高三竞赛）已知yz0，且集合2x，3z，xy也可以表示为y，2x2，3xz，则x=_.24（2019山东高三竞赛）已知其中a0，b0)和函数的图象均恒过同一个定点，则的最小值为_.20（2019重庆高三竞赛）设A为三元集合(三个不同实数组成的集合)，集合B=x+y|x，yA，xy，若，则集合A=_ .21（2019重庆高三竞赛）函数的最小值为m，最大值为M，则_ .22（2019吉林高三竞赛）已知函数f(x)=-x2+x+m+2，若关于x的不等式f(x)|x|的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为_ .23（2019福建高三竞赛）已知的图象关于点(2,0)对称，则=_ .2
6、4（2019河南高二竞赛）已知函数的定义域为D.且点形成的图形为正方形，则实数a=_ .25（2019河南高二竞赛）已知函数，记M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值.当ab满足M(a,b)2时，的最大值为_ .26（2019贵州高三竞赛）已知函数，若m满足，则实数m的取值范围是_ .27（2019广西高三竞赛）设函数，则y的最小值为_ .28（2019广西高三竞赛）已知xyz+y+z=12，则的最大值为_ .29（2019浙江高三竞赛）如图所示，将长度为1的线段分为x、y两段，再将长度为x的线段弯成半圆周ACB，将长度为y的线段折成矩形ABDE的三条边(BD、DE、EA)，构成闭
7、“曲边形”ACBDEA，则该曲边形面积的最大值为_.30（2021全国高三竞赛）在同一平面直角坐标系内，的图象与它的反函数的图象交点的坐标为_31（2021全国高三竞赛）已知函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，若恒成立，则实数a的取值范围是_32（2021全国高三竞赛）已知函数，若函数的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹方程恰好为，若，总有成立，则m的取值范围是_33（2021全国高三竞赛）设常数，函数存在反函数，若关于的不等式对所有的恒成立，则实数的取值范围为_.34（2021全国高三竞赛）设上的函数满足当时，则_35（2021全国高三竞赛）若，则的值为_36（2021全国高三竞赛）
8、设，已知对任意的，都有，则实数a的取值范围是_37（2021全国高三竞赛）已知函数，对任意的实数a、b，对于任意的，有不等式恒成立，则m的取值范围是_38（2021浙江金华第一中学高三竞赛）实数与函数满足，且对任意均有令，则的值域为_39（2021全国高三竞赛）实数x、y满足则x、y的大小关系是_40（2019吉林高三竞赛）已知函数的零点，其中常数ab满足条件，则n的值为_ .41（2021全国高三竞赛）设，对函数，其中表示不超过的最大整数，其值域是_.42（2021全国高三竞赛）已知函数，如果不等式对恒成立，则实数m的取值范围_.三、解答题43（2019全国高三竞赛）设实数a、b、c、d满足
9、.证明：.44（2018天津高三竞赛）设、是方程的三个根，且.求的整数部分；求的值.45（2019全国高三竞赛）设abc均大于1，满足，求的最大值.46（2021全国高三竞赛）已知函数，记的最大值为当b、c变化时，求的最小值47（2018山东高三竞赛）实数、满足，试求的最大值48（2021全国高三竞赛）已知，且满足，求的最大值.49（2021全国高三竞赛）对于区间与函数，定义区间的长度为已知二次函数对于任何长度为1的区间，均有，求证：对于任何长度为2的区间J，均有50（2018湖北高三竞赛）已知正数满足，求的最小值.【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数（50题竞赛真题强化训练）一、单
10、选题1（2018吉林高三竞赛）已知，则对任意，下列说法中错误的是（）ABCD2（2018四川高三竞赛）函数的最大值为（）.AB1CD3（2019全国高三竞赛）函数的值域为（）（表示不超过实数的最大整数）.ABCD4（2010四川高三竞赛）已知条件和条件则是的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（2018全国高三竞赛）在中，则的取值范围是（）.ABCD二、填空题6（2018江西高三竞赛）若三个角、成等差数列，公差为，则_7（2018广东高三竞赛）已知ABC的三个角A、B、C成等差数列，对应的三边为a、b、c，且a、c、成等比数列，则_.8（2019全国高三竞
11、赛）设锐角、满足，且，则_9（2021全国高三竞赛）函数的最小正周期为_10（2021浙江金华第一中学高三竞赛）设为定义在上的函数若正整数满足，则的所有可能值之和为_11（2021全国高三竞赛）在中，则的值为_12（2021全国高三竞赛）已知满足，则的最小值是_13（2020浙江高三竞赛）已知，则的最大值为_.14（2021全国高三竞赛）已知三角形的三个边长成等比数列，并且满足.则的取值范围为_.15（2021全国高三竞赛）设，且，则实数m的取值范是_.16（2021浙江高三竞赛）在中，.若动点，分别在，边上，且直线把的面积等分，则线段的取值范围为_.17（2021浙江高三竞赛）若，则函数的最
12、小值为_.18（2021全国高三竞赛）已知等腰直角的三个顶点分别在等腰直角的三条边上，记、的面积分别为、，则的最小值为_19（2021全国高三竞赛）满足方程的实数x构成的集合的元素个数为_20（2021全国高三竞赛）设的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则值为_21（2021全国高三竞赛）中，A、B、C的对边分别为a、b、c，O是的外心，点P满足，若，且，则的面积为_22（2021全国高三竞赛）设的三个内角分别为A、B、C，并且成等比数列，成等差数列，则B为_.23（2021全国高三竞赛）如果三个正实数满足，则_.24（2021全国高三竞赛）设，则_25（2021全国高三竞赛）已
13、知，则的取值范围是_.26（2020全国高三竞赛）在中，边上的中线长为，则的值为_27（2019江苏高三竞赛）已知函数的最小值为6，则实数a的值为_ .28（2019福建高三竞赛）在ABC中，若，AB=2，且，则BC=_ .29（2018全国高三竞赛）设是的三个内角.若,其中,且,则_.30（2018全国高三竞赛）在中，已知、分别是、的对边若，则_31（2018全国高三竞赛）若对任意的，只要，就有，则正数的取值范围是_.32（2018全国高三竞赛）在锐角中，的取值范围是_.33（2019全国高三竞赛）已知单位圆上三个点， 满足 .则_.34（2021全国高三竞赛）在中，则的最大值为_35（20
14、21全国高三竞赛）已知正整数，且，设正实数满足，则的最小值为_36（2021全国高三竞赛）设锐角的三个内角，满足，则的最小值为_37（2019贵州高三竞赛）在ABC中，.则_ .38（2019江西高三竞赛）ABC的三个内角A、B、C满足：A=3B=9C，则_ .三、解答题39（2021全国高三竞赛）在中，三内角A、B、C满足，求的最小值40（2021全国高三竞赛）解关于实数x的方程：（这里为不超过实数x的最大整数）41（2021全国高三竞赛）已知点，其中，且坐标原点O恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由42（2019上海高三竞赛）已知，且，求tanA的最大值.43
15、（2018全国高三竞赛）在中，证明：，当且仅当为正三角形时，上式等号成立.44（2019全国高三竞赛）在ABC中，若，证明:AB9045（2018全国高三竞赛）已知的三个内角满足,，求的值.46（2018全国高三竞赛）已知函数在有最大值2.求实数的值.47（2019全国高三竞赛）求的最小值48（2021全国高三竞赛）求证：对任意的，都有49（2021全国高三竞赛）设是锐角，满足，求证：.50（2019河南高二竞赛）锐角三角形ABC中，求证：.【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题4 平面向量（50题竞赛真题强化训练）一、单选题1（2018全国高三竞赛）已知的外接圆圆心为，.则（）.A.B.CD2（
16、2019全国高三竞赛）设为所在平面内一动点.则使得取得最小值的点是的（）.A外心B内心C重心D垂心3（2018全国高三竞赛）设是所在平面上的一点，用、分别表示向量、若，则是的A内心B外心C重心D垂心4（2019全国高三竞赛）如图，在的边上做匀速运动的三个点、，当时，分别从、出发，当时，恰好同时到达、那么，这个运动过程中的定点是的（）A内心B外心C垂心D重心5（2018全国高三竞赛）如图，在凸四边形中，且.则等于（）.ABCD6（2018全国高三竞赛）已知P为ABC内一点，且满足2PA+3PB+4PC=0，那么，等于.A1:2:3B2:3:4C3:4:2D4:3:27（2020浙江温州高一竞赛）
17、已知单位向量，的夹角为60，向量，且，设向量与的夹角为，则的最大值为（）ABCD8（2018全国高三竞赛）平面上的两个向量、满足，且，.若向量，且.则的最大值是（）AB1C2D49（2018陕西高三竞赛）在边长为8的正方形中，是的中点，是边上一点，且，若对于常数，在正方形的标上恰有6个不同的点，使，则实数的取值范围是ABCD二、填空题10（2018吉林高三竞赛）如图，在直角三角形ABC中，点P是斜边AB上一点，且，那么_.11（2019全国高三竞赛）设的面积为1，边AB、AC的中点分别为E、F，P为线段EF上的动点，则的最小值为_12（2019全国高三竞赛）设是所在平面上一点,满足.若,则_.
18、13（2019全国高三竞赛）在ABC中，已知，设0为ABC的内心，且.则+=_14（2021全国高三竞赛）已知向量，则的最大值是_15（2019全国高三竞赛）在正四面体中，设，记和所成的角为则_16（2019全国高三竞赛）如图，已知是的重心，若过点,且，则_.17（2021全国高三竞赛）中，A、B、C的对边分别为a、b、c，O是的外心，点P满足，若，且，则的面积为_18（2021全国高三竞赛）已知平面单位向量，且，记，则y的最大值为_19（2021全国高三竞赛）已知点A满足，B、C是单位圆O上的任意两点，则的取值范围是_20（2020浙江高三竞赛）已知，为非零向量，且，则的最大值为_.21（2
19、021全国高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_22（2021全国高三竞赛）设P是所在平面内一点，满足，若的面积为1，则的面积为_.23（2021全国高三竞赛）已知为三内角，向量.如果当最大时，存在动点，使得成等差数列，则最大值为_.24（2021全国高三竞赛）如图，在中，是边上一点，且若点满足与共线，则的值为_25（2021全国高三竞赛）若平面向量的模均在区间内，则的取值范围是_26（2019广西高三竞赛）已知点P(2，5)在圆上，直线l：与圆C相交于A、B两点，则_ .27（2019甘肃高三竞赛）ABC的三边分别为a、b、c，点O为ABC的外心，已知，那么的取值范围是_ .28（2
20、019四川高三竞赛）设正六边形ABCDEF的边长为1，则_ .29（2019重庆高三竞赛）已知向量满足，且，若为的夹角，则_ .30（2018山东高三竞赛）在中，的平分线交于，且有若，则_31（2018河北高三竞赛）设点O为三角形ABC内一点，且满足关系式： _.32（2018全国高三竞赛）在等腰ABC中，已知，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD =DB=EF=1若，则的取值范围是_33（2018全国高三竞赛）在平面直角坐标系中，已知O为原点，点，动点C在圆上运动，则的最大值为_34（2019全国高三竞赛）如图，在中，已知为的中点，点、分别在边、上，且，则_35（2018全国高三竞
21、赛）已知为边上的一点, 为内一点,且满足,.则 _.36（2018全国高三竞赛）已知是的外心.若,且,则_.37（2018全国高三竞赛）在ABC中，已知A=，记向量则与的夹角等于_.38（2018全国高三竞赛）如图，设分别为的重心、垂心，为线段的中点，外接圆的半径则 =_39（2019全国高三竞赛）如图，分别是正六边形的对角线、的内分点，且，若、三点共线，则_.40（2019全国高三竞赛）设实常数k使得方程在平面直角坐标系中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上,且,则_.41（2018全国高三竞赛）在中，.沿向量的方向，点将线段分成了等份.设，.则_.42（2019全国高
22、三竞赛）设点在的外部，且.则_.43（2018全国高三竞赛）已知向量、满足，且.则的最小值为_.44（2018江苏高三竞赛）在中，且，设为平面上的一点，则的最小值是_.45（2018贵州高三竞赛）已知O为ABC所在平面上一定点，动点P满足，其，则P点的轨迹为_46（2021全国高三竞赛）已知平面向量，满足，若，那么的最小值为_.47（2019贵州高三竞赛）在ABC中，.则_ .48（2021全国高三竞赛）已知三个非零向量、，满足（其中为给定的正常数）则实数t的最小值为_三、解答题49（2020浙江温州高一竞赛）若平面上的点满足（1）求的最大值；（2）设向量,定义运算若,求的取值范围(其中为坐标
23、原点)50（2021全国高三竞赛）已知点，其中，且坐标原点O恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题5 数列（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1（2020江苏高三竞赛）从集合中取出225个不同的数，组成递增的等差数列，满足要求的数列共有_个2（2021浙江金华第一中学高三竞赛）设，则的值为_3（2021全国高三竞赛）记，则_.4（2021全国高三竞赛）设数列的首项，且求5（2021全国高三竞赛）已知数列满足：，且当为偶数时，；当为奇数时，.若，则_.6（2021浙江高三竞赛）设，满足，且，则数列的通项_.7（2021浙江高三竞赛）已
24、知整数数列，满足，且（，2，9），则这样的数列个数共有_个.8（2021浙江高二竞赛）设，则_.9（2021全国高三竞赛）已知数列满足，则整数k的最小值是_10（2021全国高三竞赛）已知数列满足，则_11（2021全国高三竞赛）数列与满足：，若对任意正整数k，都有，则实数t的最小值为_12（2021全国高三竞赛）数列满足：.则_.13（2021全国高三竞赛）若数列满足：对任意，均有成立，且都是等比数列，其公比分别为，若，且对任意恒成立，则的取值范围为_14（2021全国高三竞赛）数列an满足：(其中an和an分别表示实数an的整数部分与小数部分)，则a2019=_ .15（2019贵州高三竞
25、赛）已知集合A=1，2，3，2019，对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为_ .16（2020浙江温州高一竞赛）已知数列满足，数列的前项和为，则使不等式成立的最小正整数的值为_17（2021全国高三竞赛）两数列满足，且对任意正整数n，则为_.18（2021全国高三竞赛）设均为正实数，且则的最小值为_.19（2019河南高二竞赛）等差数列an中，记数列的前n项和为Sn，若对任意的nN+恒成立，则正整数m的最小值为_ .二、解答题20（2021全国高三竞赛）已知正项数列满足记数列的前n项和为，求的值21（2021全国高三竞赛）求证：对于正整数n，令，数列中
26、有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）22（2021全国高三竞赛）数列满足且证明：其中无理数23（2021全国高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有24（2021全国高三竞赛）实数列满足：，求的值25（2021全国高三竞赛）定义在R上的函数，是否存在常数，使得对，有.26（2020浙江高三竞赛）已知数列满足，.（1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围；（2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值.27（2021全国高三竞赛）已知.求证：.28（2021全国高三竞赛）已知n个非负实数和为1求证：29（2021全国高三竞赛）若数列，求证：存在无
27、穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数）30（2021全国高三竞赛）设为给定的正整数，实数及满足如下条件：（1）；（2）；（3）；（4）证明：对一切，均有31（2021浙江金华第一中学高三竞赛）设，且称为好数，如果使上述所定义的满足且求全体好数在数轴上所对应的所有区间的长度之和32（2021全国高三竞赛）设多项式的系数为正整数定义数列：证明：对于任意的整数，均存在质数p，使得，且33（2021全国高三竞赛）已知数列满足（1）求证：（2）是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在请说明理由34（2021全国高三竞赛）设m是任一给定的正整数，正整数
28、列定义如下：，求所有的正整数a，使得是周期的35（2021全国高三竞赛）求常数C的最大值，使得对于任意实数均有36（2021全国高三竞赛）给定整数.求具有下列性质的最大常数，若实数列满足：，则.37（2021全国高三竞赛）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有.求证：（1）；（2）数列为单调数列.38（2021全国高三竞赛）空间中的个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数互不相同的组，且，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形，要使这种三角形的总数最大，各组的点数应是多少?39（2021全国高三竞赛）设数列是公差不为零的等差数列满足设数列的前项和为，且对于任意，在和之间插入个数，使成等差数
29、列记，是否存在正整数，使成立?若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由40（2021全国高三竞赛）圆周上有个1600点以逆时针方向依次标号1，2，1600它们将圆分成1600段圆弧今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：如果前一次第号点被染红，则后一次将此点以逆时针方向转过段圆弧后的那个点染红如此操作下去问圆周上最多可以得到多少个红点?41（2021全国高三竞赛）对于数列，若存在常数使得对任意正整数成立，则称是有界数列已知数列满足递推式，求证：（1）若，则不是有界数列（2）若，则是有界数列42（2021全国高三竞赛）已知正实数数列满足，求数列的通项公式.43（2021全国高三竞赛）求具有下述性质的最大整数m：对全体正整数的任意一个排列，总存在正整数，使得：构成公差为奇数的等差数列（可以认为：两项也是等差的）44（2021全国高三竞赛）求最大的，使对于给定n，任意一个实数列，总存在一个子列满足