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1、5-1-1-1.算式谜（一）教学目标数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜,从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜.横式与竖式亦可以互相转换,本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧.主要横式数字谜问题,因此,会需要利用数论的简单奇偶性等知识解决数字谜问题.知识点拨一、基本概念填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号）,从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式.算符：指 +、-、（）、.二、解决巧填算符的基本方法（1）凑数法：根据所给的数,凑出一个与结果比较接近的数,再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少,从而使等式成立.（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开
2、始,逐步向前推想,从而得到等式.三、奇数和偶数的简单性质（一）定义：整数可以分为奇数和偶数两类（1）我们把1,3,5,7,9和个位数字是1,3,5,7,9的数叫奇数.（2）把0,2,4,6,8和个位数是0,2,4,6,8的数叫偶数.（二）性质：奇数偶数.整数的加法有以下性质：奇数+奇数=偶数;奇数+偶数=奇数;偶数+偶数=偶数.整数的减法有以下性质：奇数-奇数=偶数;奇数-偶数=奇数;偶数-奇数=奇数;偶数-偶数=偶数.整数的乘法有以下性质：奇数奇数=奇数;奇数偶数=偶数;偶数偶数=偶数.例题精讲模块一、巧填算符（一）巧填加减运算符号【例 1】 在下面算式适当的地方添上加号,使算式成立.【考点
3、】巧填算符之凑数法 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 要在八个8之间只添加号,使和为1000,可先考虑在加数中凑出一个较接近1000的数,它可以是888,而88888=976,此时,用去了五个8,剩下的三个8应凑成100097624,这只要三者相加就行了.本题的答案是：888+88+8+8+8=1000【答案】888+88+8+8+8=1000【例 2】 在等号左边9个数字之间填写6个加号或减号组成等式：1 2 3 4 5 6 7 8 9101【考点】巧填算符之凑数法 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级,初赛,第2题【解析】 （不唯一）或 【答案】或 【例 3】 在下面的中
4、填入“+”、“一”,使算式成立：【考点】巧填算符之凑数法 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,初赛,5题【解析】 11+10+9-8-7-6-5-4+3-2-1=0.(答案不唯一)【答案】11+10+9-8-7-6-5-4+3-2-1=0.(答案不唯一)【巩固】 在下面的中填入“+”、“一”,使算式成立： 【考点】巧填算符之凑数法 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,初赛,第2题,6分【解析】 11+10+93+2=65,所以只要将其中和为32的几项的加号改成减号即11-10-9-8+7+6-5+4+3+2=1【答案】11-10-9-8+7+6-5+4+3+2=
5、1【例 4】 在下面算式中合适的地方,只添两个加号和两个减号使等式成立.【考点】巧填算符之凑数法 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 在本题条件中,不仅限制了所使用运算符号的种类,而且还限制了每种运算符号的个数.由于题目中,一共可以添四个运算符号,所以,应把1 2 3 4 5 6 7 8 9分为五个数,又考虑最后的结果是100,所以应在这五个数中凑出一个较接近100的,这个数可以是123或89.如果有一个数是123,就要使剩下的后六个数凑出23,且把它们分为四个数,应该是两个两位数,两个一位数.观察发现,45与67相差22,8与9相差1,加起来正巧是23,所以本题的一个答案是：12345-6
6、78-9100.如果这个数是89,则它的前面一定是加号,等式变为1 2 3 4 5 6 789=100,为满足要求,1 2 3 4 5 6 7=11,在中间要添一个加号和两个减号,且把它变成四个数,观察发现,无论怎样都不能满足要求. 补充说明：一般在解题时,如果没有特别说明,只要得到一个正确的解答就可以了.这类限制比较多的题目的解决过程中,要时时注意按照题目的要求去做,由于题目的要求比较高,所以解决的方法比较少.【答案】12345-678-9100（二）巧填四则混合算符号【例 5】 请将四个4用四则运算符号、括号组成五个算式,使它们的结果分别等于5、6、7、8、9.【考点】巧填算符之凑数法 【
7、难度】2星 【题型】填空【关键词】华杯赛,决赛,第10题,10分【解析】 (44+4)4=5,4+(4+4)2=6,4+4-44=7,4+4+4-4=8,4+4+44=9【答案】(44+4)4=5,4+(4+4)2=6,4+4-44=7,4+4+4-4=8,4+4+44=9【例 6】 在下面式子中的中选择填入使等式成立.12345678910=100【考点】巧填算符之凑数法 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯,4年级,第6题【解析】 12+34+5+6+78+9+10=100【答案】12+34+5+6+78+9+10=100【例 7】 在下面算式合适的地方添上,使等式成立.【考点】巧
8、填算符之逆推法 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 这道题的特点是等号左边的数字比较多,而等号右边的得数是最小的自然数1,可以考虑在等号左边最后一个数字8的前面添“”号.这时,算式变为：1 2 3 4 5 6 781只需让1 2 3 4 5 6 7=9就可以了,考虑在7的前面添“”号,则算式变为1 2 3 4 5 679,只需让1 2 3 4 5 6=2就可以了,同开始时的想法,在6的前面添“”号,算式变为1 23 4 562,这时只要1 2 3 4 58即可.同样,在5前面添“”号,则只需1 2 3 43即可.观察发现,只要这样添：12343就得到本题的一个解为1234+56+78=1.
9、补充说明：一般逆推法常限于数字不太多（如果太多,推的步骤也会太多）,得数也比较小的题目,如例4.在解决这类问题时,常把逆推法和凑数法结合起来使用,我们称之为综合法.所以,在解决这类问题时,把逆推法和凑数法综合考虑更有助于问题的解决.【答案】1234+56+78=1【巩固】 在下列算式中合适的地方添上,使等式成立. , 【考点】巧填算符之凑数法 【难度】3星 【题型】填空【解析】 本题的特点是所给的数字比较多,而得数比较大,这种题目一般用凑数法来做,在本题中应注意可使用的运算符号只有.中,6543=1962,与结果1993比较接近,而19931962=31,所以,如果能用9 8 7 2 1凑出3
10、1即可,而最后两个数合在一起是21,那么只需用9 8 7凑出10,显然,9+87=10,就有：9876543+21=1993中,与1993比较接近的是3456=2070.它比1993大77,现在,剩下的数是1 2 7 8 9,如果把7、8写在一起,成为78,则无论怎样,前面的1、2和最后的9都不能凑成1.注意到89=72,而7+89=79,12=2,792=77.所以这个问题可以如下解决：12+3456789=1993.【答案】9876543+21=1993;12+3456789=1993【例 8】 在下面算式合适的地方添上号,使等式成立.【考点】巧填算符之凑数法 【难度】3星 【题型】填空
11、【解析】 本题等号左边数字比较多,右边得数比较大,仍考虑凑数法,由于数字比较多,在凑数时,应多用去一些数,注意到,所以,它比大,所以只要用剩下的八个3凑出6就可以了,事实了,由于要减去6,则可以这样添：.【答案】【例 9】 在下面合适的地方添上适当的运算符号使算式成立（相邻的几个数可以组成一个数）【考点】巧填算符之凑数法 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯,2年级,第2题【解析】【答案】【例 10】 利用运符号及括号,把数1、3、7、9连成结果等于5的算式【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】走美杯,3年级,初赛,【解析】 本题属于数字谜问题,
12、经过尝试得到【答案】【例 11】 在方框中添加适当运算符号(不能添加括号),使等式成立【考点】巧填算符之逆推法 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯,3年级,初赛【解析】 9+3+4+19-8-5+4=26【答案】9+3+4+19-8-5+4=26（三）巧填算符综合【例 12】 在下列算式中合适的地方,添上+、-、（）等运算符号,使算式成立. 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=19932 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21993【考点】巧填算符之凑数法 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 本题中两道小题的共同特点是：等号左边的数字比较多,且都相
13、同,而等号右边的数是1993,比较大.所以,考虑用凑数法,在等号左边凑出与1993较接近的数.题中,666666666=1998,比1993大5,只要用余下的七个6凑成5就可以了,即6 6 6 6 6 6 6=5.如果把最前面一个6留下来,则只须将剩下的六个6凑成1,即6 6 66 6 61,注意到66=1,6-6=0,可以这样凑 66+6-66-6=1,或666666=1.由于题目中要由1998中减掉5,所以最后的答案是：666+666666-（6-66+6-66-6）=1993或者666+666+666-（6-666666）=1993 题中,等号左边是十二个2,比题中的数字6小,个数也比中
14、的少.所以,要把它们也凑成1993,应该增大左边的数,也就是要多用乘法,仿照题的想法,先凑出1998,可以这样做：222（222）（222）=1998用去了九个2,余下三个2,无论怎样也凑不出5,不行.所以要减少前面用去2的个数,由于2229=1998,所以,我们要用几个2凑出9,即：222+22,这样,凑出1998共用去了八个2,即222（222+22）.此时,还剩下四个2,用四个2凑出5是可以的,即2+2+22=5.这样得到答案为：222（222+22）-（2+2+22）=1993【答案】666+666666-（6-66+6-66-6）=1993;222（222+22）-（2+2+22）=
15、1993【例 13】 在+、-、（）中,挑出合适的符号,填入下面的数字之间,使算式成立,每个空都必须填入运算符号： 9 8 7 6 5 4 3 2 1=1 9 8 7 6 5 4 3 2 11000【考点】巧填算符之逆推法 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 这两道题等号左边的数字各不相同,且从大到小排列,题目要求在每个数字之间都要填上运算符号,这是解题中要注意到的.中,等号右边的得数是最小的自然数1,而等号左边共有九个数字.先考虑用逆推法：由于等号左边最后一个数字恰好是1,与等号右边相同,所以,可以考虑在1的前面添“+”号,这样如果前面8个数字的运算结果是0就可以了,观察注意到,前面8个数
16、字每一个数都比它前面一个数小1,这样,只要把它们分成4组,每两数相减都得1,在两组的前面添“+”号,两组的前面添“-”号,即得到：或,于是得到答案：或再考虑用凑数法：注意到等号左边每一个数都比前一个数小1,所以,只要在最前面凑出一个1,其余的凑出0即可,事实上,恰有凑数法的解答还有很多,请同学们试一试其他的凑法. 中,等号右边是一个较大的自然数1000,而等号左边要在每两个数字之间添上运算符号,考虑用凑数法.由于等号右边是1000,所以,运算结果应由个位是5或0的数与一个偶数的乘积得到.如果这个偶数是8,则在8的左、右两边都应该添“”号,而98=72,而100072不是整数.所以,无论在7 6
17、5 4 3 2 1之间怎样添算符,都不能得到所要的答案.如果这个偶数是6,由于10006不是整数,所以,不能得到所要的结果.如果这个偶数是4,那么在4的两边都应该添“”号,即有：9 8 7 6 543 2 1=1000.在4的右边只有添为才有可能使左边的算式得1000,这时,必须有9 8 7 6 5250,经过试验知,无论怎样添算符,都不能使上面的算式成立.所以,这个偶数不能是4.如果这个偶数是2,那么,在2的两边都应该添“”号,即有9 8 7 6 5 4 321=1000.只要添适当的算符,使9 8 7 6 5 4 3的计算结果是500即可.再用凑数法,注意到987=504,与500很接近,
18、只要能用6 5 4 3凑出“-”4即可.事实上,6543=4,所以只需987（6543）即9876543=500这样,得到本题的答案是：（98765+4+3）21=1000题还可以综合运用逆推法和凑数法：由于等号右边是1000,所以,等号左边1的前面只能添“”或“”号（事实上,“1”与“1”结果是相同的）,由于等号右边的得数较大,考虑在2的前面添“”号,于是9 8 7 6 5 4 3应凑出500,再用与上面相同的凑数法即可解决.【答案】 或 （98765+4+3）21=1000【例 14】 在下列算式中合适的地方,添上（）,使等式成立. 123456789=303 123456789=1395
19、 1+2345+67894455【考点】巧填算符之逆推法 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 本题要求在算式中添括号,注意到括号的作用是改变运算的顺序,使括号中的部分先做,而在四则运算中规定“先乘除,后加减”,要改变这一顺序,往往把括号加在有加、减运算的部分.题目中三道小题的等号左边完全相同,而右边的得数一个比一个大.要想使得数增大,可以让加数增大或因数增大,这是考虑本题的基本思想.题中,由凑数的思想,通过加（ ）,应凑出较接近303的数,注意到,而337=231.较接近303,而231+89=303,就可得到一个解为：.题中,得数比题大得多,要使得数增大,只要把乘法中的因数增大.如果考虑把
20、括号加在7+8上,则有,此时,前面无论怎样加括号也得不到.所以这样加括号还不够大,可以考虑把所有的数都乘以9,即（123+45+67+8）9=693,仍比得数小,还要增大,考虑将括号内的数再增大,即把括号添在（12）或（34）或（56）或（7+8）上,试验一下知道,可以有如下的添加法：题的得数比题又要大得多,可以考虑把（78）作为一个因数,而1+23+45+6（7+8）9=837,还远小于4455,为增大得数,试着把括号加在（123456）上,作为一个因数,结果得33,而33（78）9=4455.这样,得到本题的答案是：（123+45+6）（7+8）9=4455【答案】;（123+45+6）（
21、7+8）9=4455【巩固】 在下面的式子里加上（）和,使它们成为正确的等式. 217-498+1124-2=89 217-498+1124-2=1370 217-498+1124-2=728【考点】巧填算符之逆推法 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 本题只要求添括号,而括号在四则运算中的作用是改变运算的先后顺序,即由原来的“先乘除,后加减”改为先做（）中的运算,再做中的运算,然后再按四则运算法做.所以,一般来讲,括号应加在“+”、“-”运算的部分.这道题中的三道小题等号左边完全相同,而右边是不同的数,注意到498=392,所以,括号不可能添在（217-498）上,而且每一道小题都要把21
22、7后面的减数缩小.题中,等号右边的数比较小,所以应考虑用217减去一个较大的数,并且这个数得小于217,最好是一百多,注意到498+112=504,而5044=126.恰有217-126=91,91-2=89,即可得到答案：217-（498+112）4-2=89题中,等号右边的数比较大,所以在减小217后面的减数的同时,要注意把整个算式的得数增大,这可以通过增大乘法中的因数或减小除法中的除数实现.如果这样做：（217-49）8,则既减小了减数,又增大了因数,计算知：（217-49）8=1344.算式中得数是1370.注意到剩下的部分1124-2=26相加恰好得到答案：（217-49）8+112
23、4-21370题中,等号右边的数介于题与题之间,所以,放大和缩小的程度也要适当,由题的计算知：（217-49）8=1344,题的得数是728,而算式左边还有+1124-2,观察发现,1344+1121456,14562=728.这样可以得到题的答案是：（217-49）8+112（4-2）728【答案】217-（498+112）4-2=89;（217-49）8+1124-21370;（217-49）8+112（4-2）728模块二、填横式数字谜（一）策略问题【例 15】 用火柴棍拼成的数字和符号如下图所示,那么用火柴棍拼成一个减法等式最少要用 根火柴.【考点】填横式数字谜之奇偶分析法 【难度】2
24、星 【题型】填空【关键词】迎春杯,三年级,初赛,第4题【解析】 “1”所用的火柴棍是2根,数目最少,所以要尽可能多用,即2-1=1,最少共用12(根) 火柴棍.【答案】根（二）奇偶分析法【例 16】 将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中,2、4、6、8填入等号右边的4个方框中,使等式成立,且等号两边的计算结果都是自然数,这个结果最大为 .【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,五年级,初赛,第9题【解析】 因为左边必是奇数,所以右边最大值为87.（否则为88）经过尝试,得.【答案】【巩固】 将1,3,5,7,9填入等号左边的5个方框中,2,4
25、,6,8填入等号右边的4个方框中,使等式成立,且等号两边的计算结果都是自然数,这个结果最小为 .【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,初赛,六年级,第10题【解析】 由奇偶性可以知道,左边必然为奇数,所以右边的结果也为奇数,而右边必为偶数,故右边的中只能是62,又要求结果最小,所以可以得到.【答案】【例 17】 把18这八个数字写成两个四位数字,使它们的差等于1111.即：【考点】填横式数字谜之奇偶分析法 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 注意到两个四位数字的差是1111,也就是要求被减数上的每一位数,都要比减数上相对应的位上的数大1.而所给的
26、八个数字最小的是1,是奇数,所以被减数各位上的数字都应是偶数,而减数的每一位,都是比被减数上相对应的位上的数小1的奇数.这样就可以得到答案.本题的答案不惟一,下面是其中的三个： 补充说明：这道题的答案共有24个.同学们可以试着写出其他的解.【答案】【例 18】 将19这九个数字分别填入下面算式的九个中,使每个算式都成立.【考点】填横式数字谜之奇偶分析法 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 审题.在题目的三个算式中,乘法运算要求比较高,它要求在从19这九个数字中选出两个,使它们的积是一位数,且三个数字不能重复. 选择解题的突破口.由的分析可知,填出第三个乘法算式是解题的关键. 确定各空格中的数
27、字.由前面的分析,满足乘法算式的只有236和248.如果第三式填236.则剩下的数是1,4,5,7,8,9,共两个偶数,四个奇数.由整数的运算性质知,两个偶数必定是前两个式中各填一个,试一试,可以为样填：（答案不是惟一的,这里只填出一个）.如果第三式填248,则剩下的数是1,3,5,6,7,9.其中只有一个偶数和五个奇数,由整数的运算性质知,无论怎样组合都不能填出前两个算式.本题的一个答案是：【答案】（三）整除性质【例 19】 将、这七个数字填在圆圈和方格内,每个数字恰好出现一次,组成只有一位数和两位数的整数算式问填在方格内的数是多少?【考点】填横式数字谜之奇偶分析法 【难度】3星 【题型】填
28、空 a) 题目要求用七个数字组成个数,说明有3个数是一位数,有2个数是两位数很明显,方框里的数和被除数是两位数,其余的被乘数、乘数和除数是位数看得出来,不能做被乘数和乘数,更不能做除数,因而0是两位数的个位数字,但不能是商的个位数字,即不能是方框里的两位数的个位数字,否则会使除数的个位也为0,从而只能是被除数的个位数字;乘数如果是,不论被乘数是几,都将在算式出现两次,与题意不符,所以,乘数不是同样乘数也不能是乘数如果有2,则被乘数只能是6,才能保证方格里的数是不含偶的两位数,但此时2出现重复,所以乘数里面也没有2被除数是个一位数的乘积,其中一个是,另两个中没有,也不能有,因而被除数至少是由于没
29、有比大的数字,所以被除数就是,而且算式是于是方格中的数是12【答案】【例 20】 将19这9个数字分别填入下图的方框中,每个数字恰好用一次,使等式成立;现已将8填入,则最左边的两个方框中所填的两位数是 .【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯,三年级,初赛,第5题【解析】 因为8的两位数倍的乘积还是两位数,所以只有10、11、12,又810=80,出现重复数字,要舍去;811=88,出现重复数字,要舍去;812=96,可以;还剩3、4、5、7四个数字,有45-37=8满足题目,综上9612=45-37=8.【答案】9612=45-37=8【巩固】 从
30、这个数字中选出个互不相同的数字填入下图的方框中,使等式成立.图中已经填好一个数字,请你填入其它数字.【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,3年级,决赛,第6题,10分【解析】 突破口为除数的十位数字为,然后尝试除数的个位,最后的算式为.【答案】【例 21】 在算式：的六个方框中,分别填入,这六个数字,使算式成立,并且算式的积能被整除,那么这个乘积是 ?【考点】填横式数字谜之奇偶分析法 【难度】3星 【题型】填空 a) 先从个位数考虑,有、四种可能;再考虑乘数的百位只能是或,因此只有三种可能的填法：,其中只有能被整除,所以这个积是.【答案】【例 22
31、】 从18这8个数字中选出7个数字填入下式的方框中,使得等式成立.【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯,3年级,决赛,第11题,12分【解析】 最后括号里的结果和一个一位数相乘为2005,所以先将2005分解质因数为：“,所以先确定个位数是5,让括号内凑出401,三位数加一个一位数减去一个两位数为401,经尝试得到答案为：(416+8-23)52005;(418+6-23)52005.【答案】(416+8-23)52005或(418+6-23)52005【巩固】 将09这l0数字填入下图的方框中,使得等式成立.现在已经填入“3”,请将其它9个数字填入.(注：首位不能为0) 【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯,6年级,决赛,第6题,10分【解析】 注意到2005=5401,所以括号里面的部分必须被401整除.如果括号里面的计算结果等于401,则3=5,这不可能;如果括号里面的计算结果等于802,则3=2.5,可以是3012或者3514,经尝试,可得答案： (857+964)3012=2005, (859+764)3012=2005.【答案】(857+964)3012=2005或(859+764)3012=2005答案不唯一8